Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

боковых сторон и углом смежности

α при вершине. Имеем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

930 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 2. Плоские кривые

Вертикальная асимптота x = 52 . Находим:

k = lim

; b = lim

−

2x −5

x→∞

Следовательно, y = 12 x + 54 — наклонная асимптота.

График функции имеет вид (рис. 5):

O	x

Рис. 5

§ 5. Кривизна плоской кривой. Круг кривизны

Рассмотрим кривую (2.9)

rG = rG(t ).

Пусть JJGM = rG(t ) — обыкновенная точка кривой (2.9), т. е. rG′(t ) ≠ 0, а M1 — смежная точка кривой (рис. 6).

Определение 2.5. Углом смежности в точке M кривой

(2.9) называется угол между двумя смежными касательными к кривой в точках M и M1 (рис. 6).

Краткий курс дифференциальной геометрии

M1 α

α + α

Рис. 6

Пусть α и α + α — углы, образованные касательными к

кривой в точках M и M1 . Обозначим через s длину дуги

MM1.

Определение 2.6. Кривизной кривой (2.9) в точке M назы-

вается абсолютная величина предела

k =

lim

dα

(2.44)

s→0

Кривизной со знаком называется величина:

k = lim

dα

(2.45)

s→0

Следовательно,

k =

(2.46)

Глава 2. Плоские кривые

Имеем:

y′(t )

tgα =

→α = arctg

y′

x′(t )

x′

Так как

ds = dx2 + dy2 = (x′)2 + (y′)2 dt,

то

(arctg

y′

)

(arctg

y′

)′

x′

(x′)2 +(y′)2 dt

(x′)2 +(y′)2

′

′′

′′ ′

x y

− x y

′

(y′)

((x′)

)

(x )

(y′)

(x′)2

Следовательно,

′

′′

′′ ′

′

′′

′

k =

x y

− x y

, k =

x y

− x y

((x′)2 +(y′)2 )

((x′)2 +(y′)2 )2

(2.47)

(2.48)

(2.49)

Определение 2.7. Радиусом кривизны кривой (2.9) в точке

M называется величина, обратная кривизне k кривой в этой точке, т. е.

ρ =

(2.50)

Из (2.49) следует, что

((x′)2

ρ =

+(y′)2 )2

ρ =

+(y′)2 )2

(2.51)

′

′′

′′ ′

′

′′

′′ ′

x y

− x y

x y

− x y

ОбозначимG через t орт касательной к кривой в ее точке M , а через n — орт нормали к кривой в этой точке, направленной в сторону вогнутости кривой.

Краткий курс дифференциальной геометрии

Определение 2.8. Центром кривизны кривой в точке M

называется точка

		C = rG(t )+ ρnG.	(2.52)
Выбирая направление орта касательной t так, чтобы при
t > 0 угол смежности α был положительным,			получим
k = k, ρ = ρ.	G
	G	касательной выражается формулой
Так как орт t		касательной выражается формулой
		t = i cosα + Gj sinα,	(2.53)

то при выбранном нами ее направлении орт n шется в виде:

nG = −i sinα + Gj cosα.

Учитывая, что tgα = xy′′, находим:

sinα =		tgα	=		y	′

		1+tg2α			(x′)2 +(y′)2

cosα =	1			=	x′
		1+tg2α			(x′)2 +(y′)2

нормали запи-

(2.54)

;

(2.55)

Учитывая в (2.52) формулы (2.51), (2.54) и (2.55), получим

(x′)

+(y′)

(x′)

+(y′)

Gj. (2.56)

= x − y′

+ y + x′

′ ′′

′′ ′

′ ′′

′′ ′

x y

− x y

x y

− x y

Определение 2.9. Соприкасающейся окружностью, или

кругом кривизны кривой в данной ее точке M , называется окружность (круг) с центром кривизны C кривой и радиусом ρ .

Теорема 2.1. Соприкасающаяся окружность кривой (2.9) в ее точке M , не являющейся точкой перегиба, есть предельное положение окружности, проходящей через точку M и

								Глава 2. Плоские кривые
две смежные точки M1 и M2				кривой, когда последние стре-
мятся к совпадению с точкой M .
Доказательство. Пусть R				— радиус окружности, прохо-
дящей через точки M0 , M1 , M2 ,				а C (a, b)				— ее центр. Тогда
F (x, y)≡ (x − a)2 +(y −b )2 − R2 = 0,
			2	+(y1 −b )			2	− R2 = 0,	(2.57)
F (x1 , y1 )≡ (x1 − a)				+(y1 −b )				− R2 = 0,	(2.57)

F (x2 , y2 )≡ (x2 − a)2 +(y2 −b )2 − R2 = 0,

причем	′′			′′	′
′	′′			′′	′	≠ 0.			(2.58)
x y		− x y				≠ 0.			(2.58)

Трижды используя теорему Ролля и переходя к пределу при M1 → M , M2 → M , получим систему трех уравнений для оп-

ределения радиуса R и центра C0 (a, b) искомой окружности:

(x − a)2 +(y −b)2 − R2

= 0,

(x − a)x′+(y −b)y′ = 0,

(x − a)x′′+(y −b)y′′+

(x′)2 +(y′)2 = 0.

Имеем:

′

+(y

′

a − x = −λy ,

→

λ =

(x )

)

λx

′

′′

′ .

b − y =

x y

− x y

Следовательно,

a =

x − y′

(x′)2 +(y′)2

b =

y + x′

(x′)2 +(y′)2

′ ′′

′′ ′ ;

′ ′′

′′ ′

;

x y

− x y

x y

− x y

((x′)2

+(y′)2 )

R =

′

′′

′′ ′

x y

− x y

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Краткий курс дифференциальной геометрии

т. е.

C0 ≡ C; R=ρ.

(2.62)

Ч. т. д.

§ 6. Формулы Френе плоской кривой

Выберем в качестве параметра t кривой длину ее дуги, отсчитываемой от фиксированной точки

		drG	rG = rG(s).			(2.63)
G		drG		G		G
Пусть t	=		— орт касательной в точке M , а t	= t	+	t —
Пусть t	=		— орт касательной в точке M , а t	= t	+	t —
		ds	1
		ds

орт касательной в точке M1 (рис. 7).

			M1	t1
			M1	A
				A
			t1	t
M0	M	t	t1	α B
M0	M		O	t

Рис. 7

Помещая начала этих ортов в начало координат, получим равнобедренный треугольник OAB , с единичными длинами

Глава 2. Плоские кривые

Следовательно,

dtG

= lim

sin

dα

= k.

s→0

С другой стороны, дифференцируя t 2

=1, получим

= 0.

Из (2.65) и (2.66) следует:

= kn.

Дифференцируя тождества

t nG = 0, nG2 =1,

получим:

dnG

G dn

(kn) n + t

0, n

= 0.

Пусть

=αt

+ βn.

Подставляя (2.70) в (2.69), получим:

k +α = 0,

β = 0.

Формулы

drG

dnG

= t ,

= kn,

= −kt

называются формулами Френе плоской кривой.

Имеем:

d 2rG

d 3rG

dk G

dnG

dk G

2 G

= kn,

+ k

− k

t .

ds2

ds3

(2.65)

(2.66)

(2.67)

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

(2.72)

(2.73)

Краткий курс дифференциальной геометрии

Совмещая точку M с началом отсчета дуг (s = 0), получим разложение функции rG = rG(s) в репере {M ; t ; nG} в окрестности точки M :

2 G

+ O(s

(s)= ts +

kns

n − k

(2.74)

т. е.

1 dk

(s)= s −

n +...

(2.75)

6 ds

Обозначим через ξ

и η координаты смежной с M0

точки

кривой. Из (2.75) следует

= s

−

k2 s3 +...

(2.76)

1 dk

η =

+...

6 ds

Следовательно,

в окрестности точки M0

малый участок

кривой можно заменить частью соприкасающейся с ней пара-

болы с параметром p =	1	:
болы с параметром p =	k	:
	k
ξ2	= 2		1	η (рис. 8).	(2.77)
ξ2	= 2		k	η (рис. 8).	(2.77)
			k

n r′ M0

Рис. 8

Глава 2. Плоские кривые

§ 7. Эволюта и эвольвента
Определение 2.10. Эволютой кривой
rG = rG(t )	(2.78)

называется кривая, описанная центрами кривизны данной кривой. Эвольвентой кривой (2.78) называется кривая, для которой данная кривая является эволютой.

Пусть M (X , Y ) — координаты текущей точки эволюты

кривой (2.78). Тогда из формулы (2.56) для определения центра кривизны кривой получаем параметрические уравнения ее эволюты:

	(x′)2 +(y′)2			(x′)2 +(y′)2
X = x − y′	′ ′′	′′ ′	; Y =y + x′	′ ′′	′′ ′ .	(2.79)
	x y	− x y		x y	− x y

Обозначая через r1 радиус-вектор текущей точки эволюты, запишем ее уравнение в виде:

r = rG	+ ρnG.	(2.80)
1

Дифференцируя (2.80) по параметру s с использованием формул Френе (2.72), получим:

drG1	G		d ρ G		G		d ρ G
	= t	+		n	− ρkt	=		n.	(2.81)
ds			ds				ds

Следовательно:

1) касательная к эволюте совпадает с нормалью исходной кривой;

drG

d ρ

→

d ρ

→ s

− s

= ρ

− ρ

(2.82)

т. е. разность радиусов кривизны исходной кривой в двух ее точках равна длине дуги эволюты, заключенной между соответствующими точками.

Краткий курс дифференциальной геометрии

Из этих утверждений следует, что если с исходной кривой сматывать в натянутом состоянии нить, то любая фиксированная точка M этой нити будет описывать эвольвенту исходной кривой (эволюты).

Таким образом, для данной кривой существует единственная эволюта и бесчисленное множество эвольвент.

§ 8. Натуральное уравнение плоской кривой

Определение 2.11. Натуральным уравнением кривой назы-

вается уравнение

ρ = ρ(s).

(2.83)

Теорема 2.2. Натуральное уравнение определяет кривую с точностью до ее произвольного расположения на плоскости.

Доказательство. Из уравнения


	dα	=		1
	ds		ρ(s)
находим:
α = ∫s		ds			+α0 .
		ρ(s)
	s0

Подставляя значение α в уравнения dx = cosαds; dy = sinαds,

полученные из формулы

drds = tG = iGcosα + Gj sinα,

находим:

x = ∫s	cosαds + x0 ;	y = ∫s	sinαds + y0 ,
s0		s0

(2.84)

(2.85)

(2.86)

(2.87)

(2.88)

где x0 , y0 — координаты начальной точки M0 , которая соответствует значению s = s0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]