Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

930 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 3. Пространственные кривые

Винтовая линия (3.68) лежит на прямом круговом цилиндре радиуса a

x2 + y2 = a2 ,

(3.72)

осью которого служит ось Oz . Из (3.69) следует, что главная

нормаль винтовой		линии параллельна радиусу-вектору
JJJG	Gj sin t ),	но противоположно направлена. Сле-
OP = a(iGcost +

довательно, главная нормаль винтовой линии есть перпендикуляр, опущенный из данной точки M кривой на ось цилинд-

		G	G	b
ра (3.72). Так как t			k =		= соnst, то кривая пересекает
ра (3.72). Так как t			k =	a2 +b2	= соnst, то кривая пересекает
				a2 +b2
образующие цилиндра				(3.72) под постоянным углом ϕ =
= arccos	b
		. Справедлива следующая теорема:
	a2 + b2	. Справедлива следующая теорема:

Теорема 3.3. Кривая rG = rG(t ) тогда и только тогда явля-

ется обыкновенной винтовой линией, когда ее кривизна и ее кручение постоянны и отличны от нуля.

Необходимость признака следует из формулы (3.71).

Определение 3.11. Обобщенной винтовой линией называ-

ется кривая, у которой постоянно отношение кручения и кривизны, т. е.

τ	= const = ctgϕ.	(3.73)
k

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.4. Обобщенная винтовая линия расположена на прямом цилиндре, направляющая которого — произвольная линия, отличная от прямой

x = x(t ), y = y (t ),

(3.74)

прямолинейные образующие параллельны оси Oz , а касательные пересекают прямолинейные образующие под постоянным углом ϕ .

Краткий курс дифференциальной геометрии

Уравнения обобщенной винтовой линии имеют вид:

x = x(t ), y = y (t ), z = tctgϕ.

(3.75)

§ 13. Натуральные уравнения кривой

Определение 3.10. Натуральными уравнениями простран-

ственной кривой называются уравнения

k = k (s), τ =τ (s).

(3.76)

Как и в случае натурального уравнения плоской кривой уравнения (3.76) определяют кривую с точностью до расположения ее в пространстве.

Примеры.

1.k = 0, τ = 0 — прямая линия.

2.k = const ≠ 0, τ = 0 — окружность радиуса ρ = 1k .

3.k = const ≠ 0, τ = const ≠ 0 — обыкновенная винтовая ли-

ния.

4.k = k (s), τ = k (s)ctgϕ, ϕ=const — обобщенные винто-

вые линии.

Глава 4. Теория поверхностей

Глава 4. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 1. Способы задания поверхности

Поверхность в трехмерном евклидовом пространстве задается одним из следующих способов

1. Одним уравнением, связывающим декартовы координа-

ты x, y, z :

	F (x, y, z)= 0.	(4.1)
2.	Уравнением, разрешенным относительно z :
	z = f (x, y).	(4.2)
3.	Вектор-функцией двух скалярных аргументов:
	rG = rG(u,v).	(4.3)
4.	Параметрически:
	x = x(u,v), y = y (u,v), z = z (u,v).	(4.4)

В дальнейшем предполагается, что функции (4.1) — (4.4) непрерывны и обладают непрерывными производными порядка k ≥ 2 .

Примеры.

1.x2 + y2 + z2 − R2 = 0 — сфера радиуса R с центром в начале координат.

2.z = x2 + y2 — параболоид вращения с осью z .

3. rG = R(iGsin v cosu + Gj sin vsin u + k cos v)

(4.5)

— сфера радиуса R с центром в начале координат.

Краткий курс дифференциальной геометрии

§ 2. Координатные линии на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность S задана вектор-функцией двух скалярных аргументов u и v :

rG = rG(u, v).

(4.6)

Придавая одному из параметров фиксированное значение v = v1 или u = u1 , получим на поверхности линию

rG = rG(u, v1 )		(4.7)
или
rG = rG(u1, v)		(4.8)
с касательным вектором
∂r	def G	(4.9)
	= r	(4.9)
∂u	u
∂u
или
∂r	def G	(4.10)
	= r .	(4.10)
∂v	v
∂v
Назовем область на поверхности S регулярной, если в ка-
ждой ее точке выполняется неравенство
[rGu , rGv ]≠ 0		(4.11)
и каждая линия u пересекается с каждой линией v		в одной

точке.

Линия (4.7) называется линией u или линией v = const, а линия (4.8) называется линией v или линией u = const.

В дальнейшем будем рассматривать только регулярную область U на поверхности S , т. е. требовать выполнения неравенства (4.11) в каждой точке области U S.

Глава 4. Теория поверхностей

Определение 4.1. Линии u и линии v называются коор-

динатными линиями. Параметры u и v называются криволинейными координатами точки M S. Сеть линий u и v на

U S называется координатной сетью. Угол ω(u, v)								между
касательными rG	и rG называется координатным углом. Урав-
u	v
нения
	u = u (t ),				v = v(t )			(4.12)
определяют на поверхности S линию
		rG = rG(u (t ),v(t ))						(4.13)
с касательными векторами
		dr	= rG	du	+ rG	dv	.	(4.14)
		dt	= rG		+ rG		.	(4.14)
		dt	u dt		v dt
Из (4.14) следует, что все касательные ко всем кривым на
поверхности S в точке M лежат в одной плоскости,								опреде-
ляемой точкой M	и векторами ru и rv (рис. 14).

v =vv1= v2 v = v3

u = u3

u = u2 u = u1

Рис. 14

Краткий курс дифференциальной геометрии

Определение 4.2. Касательной плоскостью к поверхности

S в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем линиям на поверхности, проходящим через точку M .

Определение 4.3. Нормалью к поверхности S в точке M называется прямая, проходящая через точку M и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности S в точке M.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

	G	G	G G			(4.15)
	(R − r		(u,v)ru rv )= 0,			(4.15)
или в координатах:
	X − x(u,v)	Y − y (u,v) Z − z (u,v)
	X − x(u,v)	Y − y (u,v) Z − z (u,v)
	xu		yu	zu	= 0.	(4.16)
	xv		yv	zv

Неравенство (4.11) эквивалентно требованию, чтобы ранг якобиевой матрицы

∂x		∂y

	∂u	∂u
	∂x	∂y
	∂x	∂y
	∂v	∂v
	∂v	∂v

∂z
	def x

∂u = u
∂z		xv

∂v

y	z	(4.17)
u	u	(4.17)
yv	zv

равнялся двум.

Если поверхность задана уравнением (4.1), а кривая на ней уравнением (3.2), то, дифференцируя уравнение

F (x(t ), y (t ), z (t ))= 0	(4.18)
по t , получим
∂∂Fx x′(t )+ ∂∂Fy y′(t )+ ∂∂Fz z′(t )= 0.	(4.19)

Глава 4. Теория поверхностей

G	JJG		∂F	,	∂F	,	∂F	(гради-
Следовательно, векторы r′(t ) и	N	=	∂x	,	∂y	,		(гради-
			∂x		∂y		∂z

ент) ортогональны. Уравнение касательной плоскости к по-

верхности S в точке M (x, y, z)		запишется в виде:
(X − x)∂F	+(Y − y)	∂F +	(Z − z)∂F	= 0.	(4.20)
∂x		∂y	∂z
Вектор	JG	G G
	JG	G G			(4.21)
	N =[ru ,rv ]				(4.21)

является направляющим вектором нормали к поверхности. Следовательно, уравнения нормали к поверхности в точке M запишутся в виде:

− x(u,

− y (u,

− z (u,v)

Орт нормали

[rGu ,rGv ]

где

EG − F 2

E = rG2 ,

F = rG

rG,

G = rG2 .

Действительно,

[rGu , rGv ]2

rGu

rGv

2 sin2 ϕ; (rGu rGv )2

rGu

rGv

2 cos2 ϕ.

Из (4.25) следует:

[rGu , rGv ]2

rGu

rGv

2 (1−cos2 ϕ)=

rGu

rGv

2 −(rGu rGv )2 ,

т. е.

[rGu , rGv ]2 = EG − F 2 ,

откуда следует формула (4.23).

(4.22)

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

Краткий курс дифференциальной геометрии

§ 3. Первая квадратичная форма

Так как drG = ds (формула (3.22)), то

ds2 = drG2 = (rGu du + rGv dv)2 = rGu2du2 + 2rGu rGv dudv + rGv2dv2 .

Следовательно,

def

ds2 = F1 (d )= E (u,v)du2 + 2F (u,v)dudv +G (u,v)dv2 . (4.27)

Определение 4.4. Первой квадратичной формой поверх-

ности S, или ее линейным элементом, называется квадратич-

ная форма (4.27).

Из формулы (4.27) следует, что линейный элемент линий u и v выражается формулами:

ds2 = E (u,v)du2 ,		ds2 = G (u,v)dv2 .		(4.28)
Условие E ≡1 означает, что за параметр u выбрана длина
дуги линии u. Аналогично G ≡1 означает,			что за параметр v
выбрана длина дуги линии v.
Рассмотрим на поверхности две линии ld			и lδ	, проходящие
через точку M S и определяемые направлениями (рис. 15):
drG = rGdu + rGdv,		δrG = rGδu + rGδv.		(4.29)
u	v	u	v
	δr	lδ

	M	dr

Рис. 15

Глава 4. Теория поверхностей

Полярная форма от первой квадратичной формы (4.27) имеет вид:

def
Φ1 (d,δ ) = E (u, v)duδu + F (u, v)×	(4.30)

×(duδv + dvδu)+G (u, v)dvδv.

§4. Метрика на поверхности

Определение 4.5. Метрикой на поверхности S называются способы определения на ней длин ограниченных линий на поверхности, углов между линиями и площадей областей

US.

1.Из формулы (4.27) и равенства drG = ds следует, что

длина L отрезка линии ld определяется формулой:

t2
L = ∫	Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 ,							(4.31)
t1
где	u = u (t ),			v = v(t )
	u = u (t ),			v = v(t )				(4.32)
— заданная линия.
Учитывая (4.32) в (4.31), получим:
t2		2				2
L = ∫	′	2		′ ′	′	2	dt.	(4.33)
L = ∫	E (ut )		+ 2Fut vt +G (vt )				dt.	(4.33)
t1
2. Углом Ψ между линиями ld и lδ					в точке M (u,v)			назы-

вается угол между касательными к этим линиям в этой точке. Следовательно,

	drG δrG			Φ1 (d,δ )
cos Ψ =	G	G	=			=
				F1 (d )	F1 (δ )
	dr	δr

=Eduδu + F (duδv + dvδu)+Gdvδv

Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

(4.34)

Краткий курс дифференциальной геометрии

Обозначим через ω угол между координатными линиями u и v , т. е. угол между векторами ru , rv . Имеем dr = rGu du,

δrG = rGvδv. Следовательно,

cosω =	F (u,v)duδv	=	F (u,v)	,	(4.35)
	E (u,v)du2 G (u,v)δv2		E (u,v) G (u,v)

т. е.

cosω =	F	.	(4.36)

	EG

Из (4.36) следует, что координатная сеть ортогональна тогда и только тогда, когда

F = 0.

(4.37)

3. Рассмотрим на поверхности S область U , определяемую значениями параметров u и v из плоской области D . Элемент dσ площади поверхности есть площадь параллело-

грамма, построенного на векторах ru du, rv dv					(du > 0,dv > 0)
(рис. 16). Следовательно,
dσ =	[rGu du, rGv dv]	=	[rGu , rGv ]	dudv.	(4.38)

rv dv	v
	v
M
	rudu
	u

Рис. 16

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]