Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

930 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 3. Пространственные кривые

§ 7. Формулы Френе пространственной кривой

Дифференцируя тождество
		t 2 =1						(3.30)
по натуральному параметру s , получим:
G			dt
t					= 0.			(3.31)
			ds
Следовательно, вектор	dt			=		d 2rG	ортогонален касательной.
						ds2
	ds
Так как вторые производные от радиуса-вектора r								независи-

мо от параметризации лежат в соприкасающейся плоскости

(теорема 3.2), то он коллинеарен орту

n главной нормали.

Значит,

= kn.

(3.32)

Направление орта

выбирается в

сторону

вогнутости

кривой, т. е.

k > 0.

(3.33)

Дифференцируя тождества

t nG = 0,

nG2

=1,

(3.34)

получим

dnG

= 0,

+ t

= 0.

(3.35)

Следовательно,

= −kt

+τb.

(3.36)

Инвариант τ называется кручением кривой (3.1) в точке M .

Краткий курс дифференциальной геометрии

Имеем:

d t , n

+ t ,

(3.37)

= k [n, n]+

,−kt

+τb

= −τn.

Таким образом, для кривой rG = rG(s) справедливы формулы

drG G		dtG G		dnG	G	G	db	G
	= t ,		= kn,		= −kt	+τb,		= −τn. (3.38)
ds		ds		ds			ds

Они называются формулами Френе пространственной кривой. Из (3.38) следует, что кривизна кривой — это скорость изменения направления орта касательной, а кручение — скорость изменения направления орта бинормали.

§ 8. Формулы для кривизны и кручения

Имеем:

2 G

d r

= kb;

(3.39)

d 3rG

d 2rG

dnG

2 G

dk G

+ k

= −k

t +

+ kτb;

(3.40)

ds ds

2 G

3 G

= k2τ.

(3.41)

−k

kτ

Глава 3. Пространственные кривые

Следовательно,

2 G

3 G

2 G

, d

r2 , d

k =

τ=

(3.42)

drG

d 2rG

Пусть кривая задана в общей параметризации, т. е. уравнением

rG = rG(t ).

(3.43)

По правилу дифференцирования сложнойфункциинаходим:

2 G

= k

ds dt

2 G

3 G

2 G

ds dt

d 3rG ds

d 2rG

ds d 2 s

drG d 3s

dt dt

ds dt

drG

d 2rG

d 3rG

ds 6

=τ

drG

d 2rG 2 ds 6

=τk

drG

Следовательно,

drG

d 2rG

drG

d 2rG

d 3rG

k =

;

τ=

(3.44)

2 G

Пример 1. Найти кривизну и кручение винтовой линии

rG(t )= ia cost + Gjasin t + btk.

(3.45)

Краткий курс дифференциальной геометрии

Решение. Имеем:

rG′(t ) = a(−i sin t + Gj cost )+ bk ,

rG′′(t )= a(−iGcost − Gj sin t ),

(3.46)

rG′′′(t )= a(iGsin t − Gj cost ).

Следовательно,

[rG′, rG′′]

= a2b2 + a4 = a a2 + b2 ,

rG′

= a2 + b2 ,

G′

G′′ G′′′

−asin t

a cost

−a cost

−asin t

= a

, r , r

asin t

−a cost

k =

[rG′, rG′′]

a a2 +b2

)

r′

(3.47)

′ G′′

G′′′

)

τ =

(r , r , r

[rG′, rG′′]2

a2 (a2 +b2 )

a2 +b2

Пример 2. Доказать, что кривая

= 1

+3t + 2t

)

i +

(

2 − 2t + 5t

)

+ 1

−t

)

(3.48)

(

плоская.

Решение. Имеем:

rG′ = (3 + 4t )iG +(10t − 2)Gj − 2tk ,

−

r′′ = 4i

+10 j

r′′′ =

Из формул (3.44) следует, что τ ≡ 0,

т.е. кривая — плоская.

Ее плоскость определяется точкой M кривой и векторами rG′ и

rG′′ в этой точке. Следовательно, она определяется уравнением:

(JGR − rG(t ),rG′(t ), rG′′(t ))= 0,

(3.49)

Глава 3. Пространственные кривые

или в координатной форме:

X −

(

)

Y −

(

− 2t + 5t2

)

Z −

(

)

1+3t + 2t2

1−t2

3 + 4t

10t − 2

−2t

= 0. (3.50)

−2

§ 9. Сферические индикатрисы касательной, главной нормали и бинормали

Определение 3.7. Сферической индикатрисой касательной, главной нормали и бинормали называется кривая на сфере единичного радиуса с центром в начале координат, описанная

концами соответственно векторов t ,		n или b , когда их нача-
ла закреплены в начале координат. Пусть Mt ,			Mn , Mb —
концы этих векторов. Тогда		JJJJG
JJJJG	JJJJG		(3.51)
OM t = tG,	OM n = nG,	OM b = b

— уравнения этих индикатрис. Из формул Френе следует, что касательные к индикатрисам касательных и бинормалей коллинеарны главной нормали кривой, а касательная к индикат-

рисе главных нормалей параллельна плоскости {M , tG, bG}, на-

зываемой спрямляющей плоскостью кривой в точке M .

§ 10. Проекции кривой на грани репера Френе

Совместим начало отсчета дуг с точкой M0 и разложим функцию rG(s) в ряд Маклорена:

rG(s)= rG′(0)s +	1	rG′′(0)s2	+	1	rG′′′(0)s3	+O(s3 ).	(3.52)
	2			6

Краткий курс дифференциальной геометрии

Обозначим через ξ,η, ζ координаты точки M смежной с точкой M0 . Из (3.52), (3.38), (3.40) следует:

(s)= s −

+ 16 kτs3bG +O(s3 ).

Имеем:

ξ = s +O(s),

η = 12 ks2 +O(s2 ),

ζ = 16 kτs3 +O(s3 ).

кривой,

(3.53)

(3.54)

Ограничиваясь членами наинизших порядков, находим проекции кривой на грани репера Френе в окрестности точки M0 , определенные с точностью до бесконечно малых более

высокого порядка.

1. На соприкасающуюся плоскость:

η =	1	kξ2	↔ξ2 =	2	η.	(3.55)
	2			k

2. На спрямляющую плоскость:

ζ = 1 kτξ3.			(3.56)
6
3. На нормальную плоскость:
ζ 2 = 2	τ2	η3.	(3.57)
9	k

Следовательно, приближенно проекцией кривой на соприкасающуюся плоскость является парабола, на спрямляющую плоскость — кубическая парабола, на нормальную плоскость — полукубическая парабола (рис. 13 a, б, в, г).

Глава 3. Пространственные кривые

M0	t
	τ > 0	M0	t
		M0	t
a		б
bG		b
M0	t	M0	nG
	τ < 0
в		г
	Рис. 13
Вблизи точки M0	кривая располагается по одну сторону
от спрямляющей плоскости (там, куда направлен орт n			глав-

ной нормали), но по разные стороны от соприкасающееся плоскости. Она касается оси M ξ и имеет в точке M точку перегиба. Если кручение положительно, то ξ и ζ одного зна-

ка, если отрицательно — разных знаков.

Следовательно, если кручение положительно, то кривая пересекает соприкасающуюся плоскость снизу вверх, если отрицательно, то сверху вниз.

Краткий курс дифференциальной геометрии

§ 11. Соприкасающаяся сфера

Определение 3.8. Соприкасающейся сферой кривой rG = rG(s)

в точке M называется предельное положение сферы, проходящей через точку M и три смежные с ней точки M1, M2 , M3 , когда они стремятся к совпадению с точкой M .

Имеем:

= 0,

(s)= (r (s)−C0 )

− R

= 0,

(s1 )= (r

(s1 )−C0 )

− R

(s<s1 < s2 < s3 ) (3.58)

(s2 )

= 0,

= (r

−C0 )

− R

(s3 )

= 0.

= (r

−C0 )

− R

Применяя шесть раз теорему Ролля и переходя к пределу

при si → s

(i =1, 2, 3),

получим систему уравнений для опре-

деления центра C0

и радиуса R соприкасающейся сферы:

0 )

(rG(s)−C

− R2 = 0,

(r (s)−C0 )

r′(s)= 0,

(3.59)

(s))

+(rG(s)

(rG′

−C0 ) rG′′(s)= 0,

2rG′(s) rG′′(s)+ rG′(s) rG′′(s)

+(rG(s)−C0 ) rG′′′(s)= 0.

Глава 3. Пространственные кривые

ИспользуяформулыФрене, приводим систему (3.59) к виду:

(rG(s)

0 )

2 = 0,

−C

− R

(rG(s)

−C0 ) tG = 0,

(3.60)

nG = 0,

1+ k (rG(s)−C0 )

2tG + dkds nG

(rG(s)

0 ) (−k

−C

+ kτb )= 0.

Положим

(s)

+ Zb.

(3.61)

−C0

+Yn

Из (3.60) и (3.59) следует:

X = 0; Y = −

= −ρ;

= −

d ρ

;

(3.62)

k τ ds

τ ds

dk 2

(3.63)

Величина

r =

(3.64)

называется радиусом кручения кривой. Имеем:

(s)+

d ρ

= r

ρn − r

(3.65)

= ρ

+ r

d ρ

(3.66)

Определение 3.9. Осью кривизны кривой в ее точке M называется прямая, проходящая через центр C соприкасающейся окружности и параллельная бинормали кривой в этой точке.

Из (3.65) следует, что прямая CC0 является осью кривизны кривой, причем

Краткий курс дифференциальной геометрии

JJJG			d ρ
JJJG
CC0	=	r		.	(3.67)
CC0	=	r	ds	.	(3.67)
			ds

§ 12. Винтовые линии

Определение 3.9. Обыкновенной винтовой линией называется кривая, описываемая точкой M , которая равномерно вра-

щается вокруг фиксированной прямой l и в то же время равномерным движением переносится параллельно этой прямой.

Принимая за ось Oz прямую l , где O — произвольная точка прямой l , приводим уравнения обыкновенной винтовой линии к виду:

x = a cost, y = asin t, z = bt.

(3.68)

Первые два уравнения системы (3.68) показывают, что проекция P точки M на плоскость xOy движется по окруж-

ности радиуса a с центром в начале координат, причем параметр t есть центральный угол XOP (X Ox). Из (3.68) следу-

ет, что орты tG, nG, bG винтовой линии определяются формулами:

= −i

sin t + j

cost +

k ,

a2 +b2

+b2

a2 +b2

(3.69)

= −i cost − j sin t;

= i

sin t − j

cost +

k ,

a2 +b2

так как

ds =

(x′)2 +(y′)2 +(z′)2 dt = a2 + b2 dt,

(3.70)

а по формулам (3.47)

k =

, τ =

(3.71)

a2 +b2

+b2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]