Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие
.pdf
Глава 2. Плоские кривые
Совмещая точку M0 с началом координат и направляя касательную к кривой по оси абсцисс, т. е. полагая x0 = 0, y0 = 0, α0 = 0, получим по формулам (2.85) и (2.88) единственную кривую с заданным радиусом кривизны ρ(s).
§ 9. Огибающая семейства плоских кривых
Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых на плоскости
F (x, y,C )= 0, C R. |
(2.89) |
Определение 2.12. Огибающей семейства (2.89) называется кривая, которая в каждой своей точке касается кривой семейства.
Теорема 2.3. Огибающая семейства (2.89) определяется системой уравнений:
F (x, y,C )= 0,
|
∂F (x, y,C ) |
(2.90) |
|
|
|
= 0. |
|
∂C |
|||
|
|
Доказательство. Точки касания являются предельными положениями общих точек двух смежных кривых семейства:
|
|
F (x, y,C )= 0, |
|
|
|
|
(2.91) |
|
|
F (x, y,C + C )= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как C ≠ 0 , то система (2.91) равносильна системе |
|||
F |
(x, y,C )= 0, |
|
|
|
(x, y,C + C )− F (x, y,C ) |
(2.92) |
|
F |
|||
|
|
|
= 0. |
|
C |
||
|
|
||
31
Краткий курс дифференциальной геометрии
Переходя к пределу при C → 0 , получим систему (2.90). Исключая из (2.90) C и подставляя C (x, y) в первое уравнение, получим уравнение огибающей семейства.
Пример 1. Найти огибающую семейства прямых |
|
y = 2Cx + C2 . |
(2.93) |
Дифференцируя (2.93) по C, получим: 2x + 2C = 0 → C = −x.
Следовательно, огибающая семейства определяется уравнением
y = −x2 , |
(2.94) |
т. е. является параболой.
Пример 2. Найти огибающую семейства линий
F (x, y,C )≡ (y +C )2 −(x +C )3 = 0. |
(2.95) |
||
Дифференцируя по C, находим: |
|
|
|
2(y +C )= 3(x +C )2 . |
(2.96) |
||
Исключая y +C , получаем: |
|
|
|
9(x +C )4 = 4(x + C )3 . |
(2.97) |
||
Следовательно, |
|
|
|
x +C = 0, |
|
||
|
4 |
|
(2.98) |
|
. |
||
x +C = |
9 |
|
|
|
|
|
|
При C = −x получаем прямую |
|
|
|
y = x. |
|
|
(2.99) |
Определение 2.13. Дискриминантной кривой семейства
(2.89) называется кривая
32
Глава 2. Плоские кривые
|
∂F = 0, |
∂F = 0, |
|
(2.100) |
|
∂x |
∂y |
|
|
т. е. кривая, состоящая из особых точек семейства. Имеем: |
||||
∂F |
= −3(x +C )2 ; |
∂F = 2 |
(y + C ). |
(2.101) |
∂x |
|
∂y |
|
|
Следовательно, прямая (2.99) является дискриминантной |
||||
кривой семейства (2.95). При C = |
4 |
− x, получим огибающую |
||||||
9 |
||||||||
семейства (2.95): |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
y = x − |
4 |
y = x − |
20 |
. |
(2.102) |
|||
27 |
27 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Так как кривые семейства (2.95) — полукубические параболы, то дискриминантная прямая (2.99) — множество их точек возврата, а прямая (2.102) касается каждой полукубической параболы семейства (2.95) в одной точке (рис. 9).
y
O |
x |
Рис. 9
33
Краткий курс дифференциальной геометрии
Глава 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
§ 1. Способы задания пространственной кривой
Пространственная кривая задается одним из следующих способов.
1. Дифференцируемойвектор-функциейскалярногоаргумента
rG = rG(t ). |
(3.1) |
2. Параметрически |
|
x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ). |
(3.2) |
3. Системой двух функционально независимых уравнений
F (x, y, z) = 0,
(3.3)Φ(x, y, z)= 0,
где функции F и Φ дифференцируемы и ранг якобиевой матрицы
∂F |
∂F |
∂F |
|
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
(3.4) |
|
∂Φ |
∂Φ |
|
|
|
∂Φ |
|
||
|
∂x |
∂y |
|
|
|
∂z |
|
||
равен двум.
§ 2. Касательная и нормальная плоскость
Из определения касательной к кривой (3.1) в ее обыкновенной точке M , где MJG = rG(t ) и rG′(t )≠ 0, следует, что вектор
rG′(t )= lim |
r |
(3.5) |
t→0 |
t |
|
— направляющий вектор касательной.
34
Глава 3. Пространственные кривые
Пусть |
JG |
— радиус-вектор текущей точки N касательной. |
||||
R |
||||||
Из коллинеарности векторов r′ |
|
JJJG |
JG |
G |
||
и MN |
= R − r (рис. 10) следует |
|||||
|
|
G G |
|
G |
|
|
|
|
R − r = |
′ |
|
(3.6) |
|
|
|
λr . |
|
|||
N
M
r′
r RG
O
Рис. 10
Нормальные уравнения касательной к кривой (3.1) запишутся в виде:
X − x(t ) |
= |
Y − y (t ) |
= |
Z − z (t ) |
. |
(3.7) |
x′(t ) |
y′(t ) |
z′(t ) |
Определение 3.1. Нормальной плоскостью к кривой (3.1) в
ее обыкновенной точке M называется плоскость, проходящая через точку M и перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.
Следовательно, уравнение нормальной плоскостиимеет вид: x′(t )(X − x(t ))+ y′(t )(Y − y (t ))+ z′(t )(Z − z (t ))= 0. (3.8)
Пример. Найти уравнения касательной и нормальной плоскости в точке M0 (a; 0; 0) винтовой линии
x = a cost, y = asin t, z = bt. |
(3.9) |
35
Краткий курс дифференциальной геометрии
Имеем: |
|
x′(t )= −asin t, y′(t )= a cost, z′(t )= b. |
(3.10) |
Точка M0 (a, 0, 0) характеризуется нулевым значением параметра t . Следовательно, направляющий вектор касательной
rG′(0) = aj +bk. |
(3.11) |
Уравнения (3.7) и (3.8) принимают вид |
|
X = a, bY - aZ = 0; |
(3.12) |
aY +bZ = 0. |
(3.13) |
§ 3. Касательная в особой точке пространственной кривой
Определение 3.2. Точка M0 (x0 , y0 z0 ) кривой (3.1) называ-
ется особой, если в этой точке (т. е. приt = t0 ) |
|
||||||||||||
x′(t0 ) = 0, y′(t0 ) = 0, z′(t0 ) = 0. |
(3.14) |
||||||||||||
Рассмотрим прямую, проходящую через точку M0 и смеж- |
|||||||||||||
ную с ней точку M1 данной кривой. Ее уравнения |
|
||||||||||||
|
X − x0 |
= |
|
Y − y0 |
= |
Z − z0 |
. |
(3.15) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
− x |
y |
− y |
0 |
|
z |
− z |
0 |
|
|
||
1 |
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
В пределе, когда t1 →t0 , |
секущая M0 M1 обратится в каса- |
||||||||||||
тельную. Разложим разности |
x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 |
в ряд Тей- |
|||||||||||
лора. Например, для x1 − x0 получим: |
|
|
|
|
|||||||||
x1 − x0 = x(t1 )− x(t0 )= (t1 −t0 )x′(t0 )+
+ 12 (t1 −t0 )2 x′′(t0 )+... + n1! (t1 −t0 )n x(n) (t0 )+ O((t1 −t0 )n ). (3.16)
36
Глава 3. Пространственные кривые
Аналогичные разложения получают для y1 − y0 , z1 − z0 . Пусть m — наименьшее натуральное число, при котором
по крайней мере одна производная порядка m функций x(t ), y (t ), z (t ) в точке t0 отлична от нуля, тогда как все производные этих трех функций порядка k < m равны нулю в точке M0 .
Тогда уравнение касательной к кривой (3.1) в точке M0 |
запи- |
||||||
шется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
X − x0 |
= |
Y − y0 |
= |
Z − z0 |
. |
(3.17) |
|
x(m) (t0 ) |
y(m) (t0 ) |
z(m) (t0 ) |
||||
|
|
|
|
|
|||
§ 4. Длина дуги пространственной кривой
Определение 3.3. Длиной дуги кривой с концами A и B
называется предел периметров вписанных в эту дугу ломаных, все длины звеньев которых стремятся к нулю.
Теорема 3.1. Длина L дуги AB кривой (3.1) определяется формулой:
L = ∫b |
(x′)2 +(y′)2 +(z′)2 dt. |
(3.18) |
a |
|
|
Доказательство. Обозначим через Ln периметр ломаной
AM1M2 ... Mn−1B (рис. 11).
Mi−1 Mi B ≡ Mn
M1
M0 ≡ A
Рис. 11
37
Краткий курс дифференциальной геометрии
Имеем:
n
= ∑
i=1
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Ln = ∑Mi−1Mi = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
(xi |
− xi−1 )2 +(yi |
− yi−1 )2 + (zi − zi−1 )2 = |
(3.19) |
||||||
n |
|
xi |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
= ∑ |
|
|
+ |
yi + |
|
zi |
ti , |
|
|
i=1 |
|
ti |
|
|
ti |
|
ti |
|
|
где
A ≡ M0 , B ≡ Mn , t0 = a1 |
, tn = b, |
(3.20) |
|
xi = xi − xi−1 , yi = yi − yi−1 , |
zi = zi − zi−1. |
||
|
В пределе при ti → 0 , получим (3.18).
Из (3.18) следует, что дифференциал дуги ds определяется формулой:
ds = dx2 + dy2 + dz2 . |
(3.21) |
|||||||
Следовательно, |
|
|||||||
|
ds |
|
= |
|
drG |
|
. |
(3.22) |
|
|
|
|
|||||
§ 5. Соприкасающаяся плоскость
Определение 3.4. Соприкасающейся плоскостью кривой
(3.1) в точке M называется предельное положение плоскости, проходящей через данную точку M и две смежные с ней точки M1 и M2 , когда последние стремятся к совпадению с точ-
кой M .
Теорема 3.2. Соприкасающаяся плоскость к кривой (3.1) определяется уравнением:
G |
G |
G G |
(3.23) |
(R − r |
, r′, r′′)= 0, |
||
38
Глава 3. Пространственные кривые
или в координатной записи:
X − x(t ) x′(t )
x′′(t )
Y − y (t ) y′(t )
y′′(t )
Z − z (t ) |
|
|
|
|
|
||
z′(t ) |
|
= 0. |
(3.24) |
z′′(t ) |
|
|
|
Доказательство. Обозначим: |
|
||
f (τ )= Ax(τ )+ By (τ )+ Cz (τ )+ D. |
(3.25) |
||
Для плоскости |
MM1M2 |
(рис. 12) выполняется |
система |
уравнений: |
|
|
|
f |
(t )= 0, f |
(t1 )= 0, f (t2 )= 0. |
(3.26) |
|
u |
M2 |
|
|
|
|
|
M |
M1 |
|
|
|
rG(t2 ) |
|
|
rG(t ) |
rG(t1 ) |
|
|
O |
|
|
|
|
Рис. 12 |
|
|
По теореме Ролля из (3.26) следует, что |
|
|
|
f ′(τ1 )= 0, f ′(τ2 )= 0, (t<τ1 < t1 <τ2 |
< t2 ), |
(3.27) |
|
f ′′(τ0 ) |
= 0 (τ1 <τ0 <τ2 ). |
|
|
|
|
||
39
Краткий курс дифференциальной геометрии
В пределе, когда M1 → M , M2 → M , то τ1 →t, |
τ2 →t, |
τ0 →t . Следовательно, |
|
f (t )= 0, f ′(t )= 0, f ′′(t )= 0, |
(3.28) |
т. е. |
|
Ax(t )+ By (t )+Cz (t )+ D = 0, |
|
|
(3.29) |
Ax′(t )+ By′(t )+Cz′(t )= 0, |
|
Ax′′(t )+ By′′(t )+Cz′′(t )= 0. |
|
Из (3.29) следует, что вектор NJG = (A, B, C ) нормали соприкасающейся плоскости перпендикулярен векторам rG′(t ) и rG′′(t ), т. е. выполняется условие (3.23). Ч. т. д.
Из доказанной теоремы следует, что соприкасающаяся плоскость проходит через касательную к кривой (3.1) в точке
Mи содержит вектор rG′′(t ).
§6. Главная нормаль и бинормаль пространственной кривой
Определение 3.5. Главной нормалью пространственной кривой в ее точке M называется прямая, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке и лежащая в ее соприкасающейся плоскости.
Определение 3.6. Бинормалью пространственной кривой
в ее точке M называется прямая, проходящая через точку M и перпендикулярная соприкасающейся плоскости.
ОбозначимG через n орт (единичный вектор) главной нор-
мали, через b — орт бинормали.
Определение 3.7. Репером Френе пространственной кри-
вой в ее точке |
M называется декартова система координат, |
определяемая |
точкой M и тремя базисными векторами |
G G G |
|
t , n, b. |
|
40 |
|