Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Н. А. Морозов, Ю. Л. Власов

КИНЕМАТИКА. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Рекомендовано Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки 151600.62 Прикладная механика, 221000.62 Мехатроника и робототехника, 151900.62 Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств

Оренбург

2014

УДК 531.1(07) ББК 22.213я7 М 80

Рецензент – профессор, доктор технических наук В. М. Кушнаренко

Морозов, Н.А.

М80 Кинематика. Примеры решения задач: учебное пособие / Н. А. Морозов, Ю. Л. Власов; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2014 – 97 с.

ISBN

Вданном учебном пособии приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения ряда задач кинематики. Рассмотрены примеры решения задач кинематики материальной точки при естественном и координатном способах задания движения, а также для случая сложного движения точки. Решены задачи на нахождение кинематических твердых тел, совершающих поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение.

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по направлениям подготовки 151600.62 Прикладная механика, 221000.62 Мехатроника и робототехника, 151900.62 Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств.

УДК 531.1(07) ББК 22.213я7

ISBN

© Морозов Н.А. Власов Ю.Л., 2014

© ОГУ, 2014

2

4

5

Введение

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения материальных точек и абсолютно твердых тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Кинематика представляет собою, с одной стороны, введение в динамику,

так как установление основных кинематических зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное практическое значение, например, при определении кинематических характеристик движения частей машин и механизмов.

Данное учебное пособие содержит 3 раздела, соответствующие разделу

«Кинематика» дисциплины «Теоретическая механика». В каждом разделе пособия приведены краткие теоретические сведения, необходимые для самостоятельного решения задач, и рассмотрены соответствующие примеры.

Первый раздел пособия посвящен решению задач кинематики материальной точки при векторном, естественном и координатном способах задания движения.

Во втором разделе решены задачи на нахождение кинематических характеристик твердых тел, совершающих поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение. В третьем разделе описано нахождение кинематических характеристик материальной точки при сложном движении для случаев поступательного и вращательного переносных движений, рассмотрены соответствующие примеры задач.

В каждом разделе пособия предложен перечень вопросов для самоконтроля изучения теоретического материала главы.

6

1 Кинематика материальной точки

1.1 Краткие теоретические сведения

1.1.1 Способы задания движения материальной точки

Задать движение материальной точки это значит установить математический способ определения положения точки относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени. Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: векторный, координатный и естественный.

1.1.1.1 Векторный способ задания движения точки

Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Оху.

Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор r , проведенный из начала координат О в точку М (рисунок 1).

z

M

r

k rz=z j

i

y

rx=x

x ry=y

Рисунок 1 – Задание движения точки векторным способом

7

При движении точки М вектор r будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, r является переменным вектором

(вектором-функцией), зависящим от аргумента t:

Выражение (1) определяет закон движения точки в векторной форме, так

как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор r

и найти положение движущейся точки.

Аналитически вектор задается его проекциями на координатные оси. В

где x, y, z – декартовы координаты точки М;

i , j, k - единичные векторы (орты) координатных осей x, y и z

соответственно (рисунок 1).

Вектор r может быть задан и другими способами, например, его модулем и углами с осями координат.

1.1.1.2 Координатный способ задания движения точки

Положение точки можно задать непосредственно ее декартовыми координатами x, y, z, изменяющимися в процессе движения точки. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени,

надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости:

8

Уравнения (3) – уравнения движения точки в прямоугольной системе координат.

Движение точки также можно задать в полярной, цилиндрической и сферической системах координат.

Уравнения движения точки в полярной системе координат имеют вид

(рисунок 2):

ρ = ρ(t),

ϕ = ϕ(t). (4)

М

ρ

φ

О

Рисунок 2 – Задание положения точки в полярных координатах

Уравнения движения точки в цилиндрической системе координат (рисунок

3):

z = z (t ).

9