Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие
.pdf
Вектор скорости точки тела направлен по касательной к траектории точки перпендикулярно плоскости, содержащей ось вращения и точку, в сторону вращения тела (рисунок 22).
Ускорение точки определяется как сумма его касательной (тангенциальной) aτ и нормальной an составляющих:
|
|
= |
aτ + |
|
n . |
(38) |
|
a |
a |
||||||
Модули касательного aτ и нормального an |
ускорения точки определяется |
||||||
по формулам (39) и (40). |
|
|
|
|
|
||
aτ |
= h×| ε |, |
(39) |
|||||
an |
= h ×ω 2 . |
(40) |
|||||
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории точки (в
сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в противоположную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное ускорение всегда направлено по радиусу h к оси вращения (рисунок 22).
Модуль ускорения точки будет определяться по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
a = a2 |
+ a2 |
= h × ε 2 + ω 4 , |
(41) |
|||
|
τ |
n |
|
|
|
|
где a – ускорение точки, м/с2.
51
2.1.3 Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела – движение, при котором все точки тела движутся по траекториям, лежащих в плоскостях,
параллельных некоторой условно неподвижной плоскости.
Для того, чтобы задать положение тела, совершающего плоское движение,
необходимо задать положение плоской фигуры, принадлежащей телу и лежащей в плоскости, параллельной заданной неподвижной плоскости. Положение плоской фигуры в данной плоскости (рисунок 23) будет задаваться положением произвольного отрезка AB, принадлежащего фигуре.
Положение отрезка можно задать, если определить положение какой-либо точки отрезка (полюса) и угол наклона отрезка к какой-либо оси. Следовательно,
закон плоскопараллельного движения имеет вид:
Рисунок 23 – Плоская фигура
x |
A |
= x |
A |
(t) |
|
|
|
|
|
||
yA = yA (t) , |
(42) |
||||
|
|
|
|
|
|
ϕ = ϕ(t) |
|
||||
52
где xA , уA - координаты полюса в декартовой системе координат, м;
ϕ - угол поворота тела, рад.
Плоскопараллельное движение можно разложить на поступательное движение тела вместе с точкой, выбранной за полюс, и вращательное движение вокруг оси, проходящей через полюс. В связи с этим кинематическими характеристиками тела при плоском движении будут являться скорость vА и
ускорение аА полюса, а также угловая скорость ω и угловое ускорение ε тела.
Для определения скоростей точек тел, совершающих плоское движение,
используются три способа:
1)теорема о проекциях скоростей двух точек на прямую, проходящую через эти точки;
2)теорема о сложении скоростей точек при плоском движении;
3)определение скоростей с помощью мгновенного центра скоростей.
Для определения ускорений точек тел, совершающих плоское движение,
используются два способа:
1)теорема о сложении ускорений точек при плоском движении;
2)определение ускорений с помощью мгновенного центра ускорений.
Одним из тел, совершающих плоское движение, является каток. Скорости точек катка лучше всего определять с помощью мгновенного центра скоростей.
Мгновенный центр скоростей (МЦС) – это точка, связанная с телом,
скорость которой в данный момент равна нулю. Если данную точку выбрать за полюс, то движение тела можно представить как мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через МЦС, а скорости точек тела в данный момент времени определять по формуле (37).
Для катка, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности, в
каждый момент времени скорость точки касания катка с поверхностью будет равна нулю. Эта точка будет являться мгновенным центром скоростей, который обозначается P (рисунок 24).
53
Рисунок 24 – Скорости точек катка
При определении ускорений точек за полюс, как правило, выбирают центр катка. Центр катка С движется прямолинейно, поэтому ускорение полюса можно определить по формуле:
τ |
ɺ |
(43) |
aС = aС = vC . |
||
2.2 Вопросы для самоконтроля
Какие существуют виды движения твердого тела?
Какие движения твердого тела называют простейшими?
Какое движение твердого тела называют поступательным?
В чем состоит теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении?
Какое движение твердого тела называют вращательным?
Какой вид имеет закон движения вращающегося тела?
Что называется угловой скоростью тела?
Что называется угловым ускорением тела?
Как направлены вектора угловой скорости и углового ускорения?
Когда вращение тела будет ускоренным?
54
Когда вращение тела будет замедленным?
Как определяется скорость произвольной точки вращающегося тела?
Как направляется скорость произвольной точки вращающегося тела?
Как определяется нормальное ускорение произвольной точки вращающегося тела?
Как определяется касательное ускорение произвольной точки вращающегося тела?
Как направляется нормальное ускорение произвольной точки вращающегося тела?
Как направляется касательное ускорение произвольной точки вращающегося тела?
Как определяется ускорение произвольной точки вращающегося тела?
Как направляется ускорение произвольной точки вращающегося тела?
Какое движение называется плоским?
Какой вид имеет закон плоского движения твердого тела?
Какие кинематические характеристики имеет тело, совершающее плоское движение?
Как определяется скорость точки тела, совершающего плоское движение?
Как определяется ускорение точки тела, совершающего плоское движение?
Что такое МЦС?
Как определить положение МЦС?
Как определить положение МЦС катка, катящегося без скольжения?
Как определить ускорение центра катка?
Что такое МЦУ?
Как определить положение МЦУ?
55
2.3 Примеры решения задач
2.3.1 Задача 1
В механизме, представленном на рисунке 25, закон движения рейки 1 имеет вид x(t) = 3t 3 − 2t 2 + 2 ,см. Колеса механизма имеют размеры: R2=70 см; r2=50 см; R3=30 см; r3=25 см; R4=55 см; r4=35 см.
Рисунок 25 – Механизм
В момент времени t1=1 c определить скорость и ускорение рейки 1,
угловые скорость и ускорение колеса 4, а также скорость и ускорение точки М. В
промежутке времени с момента начала движения (t0=0 c) до момента времени t2=3 c построить графики скорости и ускорения рейки 1, графики угловой скорости и углового ускорения колеса 4, а также скорости и ускорения точки М.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся системой MathCAD. Введем начальные данные (рисунок 26).
1 Определим скорость и ускорение рейки 1 для момента времени t (рисунок
27).
56
Рисунок 26 – Ввод начальных данных
Рисунок 27 – Определение кинематических характеристик тела 1
57
2 Проведем кинематический анализ. Выразим угловую скорость колеса 4
через скорость рейки 1. Определим угловую скорость колеса 4 для момента времени t (рисунок 28).
Рисунок 28 – Кинематический анализ
3 Определим угловое ускорение колеса 4 для момента времени t (рисунок
29).
4 Определим скорость и ускорение точки М для момента времени t
(рисунок 30).
5 Покажем на рисунке направление и характер вращения (ω z и ε z) колеса 4,
вектора скорости и ускорение рейки 1, а также вектора скорости,
тангенциального, нормального и полного ускорений точки М (рисунок 31).
58
Рисунок 29 – Определение углового ускорения тела 4
Рисунок 30 – Определение кинематических характеристик точки М
59
Рисунок 31 – Направление векторов кинематических характеристик
6 Построим для заданного механизма в промежутке времени с момента начала движения (t0=0 c) до момента времени t1=3 c графики скорости и ускорения груза 1, графики угловой скорости и углового ускорения колеса 4, а
также скорости и ускорения точки М с помощью двумерных графиков [5] (рисунок 32).
2.3.2 Задача 2
Механическая система состоит из двух грузов (1 и 2), двух ступенчатых блоков (3 и 4) и катка 5, связанных невесомыми нерастяжимыми нитями (рисунок
33 а). Радиусы блоков и катка соответственно равны r3 = 20 см, r4 = 25 см,
R3 = 50 см, R4 = 30 см, R5 = 40 см.
60