Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие

ускорения показано на рисунке 45, а модуль удобно определять с помощью

теоремы косинусов:

y А

Раe

аr аa

Рисунок 45 – Определение вектора абсолютного ускорения

3.3.1.2 Задача 2

Клин, движущийся по закону S=8t-2t2 см, перемещает вдоль вертикальных направляющих стержень АВ (рисунок 46). Определить абсолютную скорость и ускорение стержня АВ, при t=1 c.

Решение:

Точка А стержня АВ совершает сложное движение, т.к. она одновременно участвует в двух движениях: в поступательном движении клина по неподвижной горизонтальной плоскости и в прямолинейном движении по наклонной плоскости клина.

81

В

y х1

А

О

Рисунок 46 – Механизм

Разложим сложное движение точки А стержня на относительное и переносное. С наклонной плоскостью можно связать подвижную систему отсчета x1, тогда движение точки А вдоль наклонной плоскости, т.е. относительно подвижной системы отсчета, будет относительным. С горизонтальной плоскостью свяжем неподвижную систему отсчета Оxy, тогда движение наклонной плоскости по горизонтальной поверхности, т.е. движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной, будет являться переносным движением. Движение точки A со стержнем АВ будет абсолютным движением.

Вектор относительной скорости направлен вдоль оси x1, вектор переносной скорости – вдоль оси х, а вектор абсолютной скорости – вдоль стержня АВ

(рисунок 47). Вектора относительной и переносной скоростей являются сторонами параллелограмма, а вектор абсолютной скорости его диагональю.

Переносная скорость определяется как первая производная по времени от закона движения:

При t = 1 с

Vе = 8 - 4×1 = 4 см/с.

82

Отрицательный знак показывает, что вектор переносного ускорения направлен в сторону отрицательного отсчета координаты S.

В

х1

аe А

Рисунок 49 – Относительное, переносное и абсолютное ускорения.

Вектора относительного и переносного ускорений являются сторонами параллелограмма, а вектор абсолютного ускорения его диагональю (рисунок 50).

ae

Рисунок 50 – Определение абсолютного ускорения точки

Абсолютное ускорение по формуле:

аа = аe × tg 450 = 4 ×1 = 4 см/с2.

84

3.3.2 Задачи на вращательное переносное движение

3.3.2.1 Задача 1

Шайба М движется вдоль стержня ОА по закону ОМ(t)=6t2– t см,

одновременно с этим стержень ОА вращается относительно неподвижной оси z (рисунок 51) по закону φ(t) = 4t2 + 2t рад. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение шайбы М в момент времени t1 =2 с.

Решение:

Шайба совершает сложное движение, т.к. она одновременно участвует в двух движениях: в прямолинейном движении шайбы вдоль стержня ОА и во вращательном движении стержня ОА с шайбой относительно оси z (в плоскости

Oxy).

z

Рисунок 51 – Сложное движение шайбы М

Свяжем со стержнем ОА подвижную систему отсчета Оx1, тогда прямолинейное движение шайбы М вдоль стержня ОА будет относительным.

Система отсчета Оxyz будет неподвижна, тогда вращение стержня ОА

относительно оси z является переносным движением. Движение шайбы М относительно неподвижной системы отсчета Оxyz будет абсолютным движением.

85

Для определения скорости и ускорения необходимо знать положение точки в заданный момент времени. Определим положение точки при t1 =2 с:

ОМ = 6×22 - 2 = 22 см.

Для определения относительной скорости мысленно останавливаем переносное движение и рассматриваем только относительное движение вдоль оси

Оx1. Относительная скорость определяется как первая производная по времени от закона движения:

Vr = d (OM ) =12t −1 . dt

При t1 =2 с

Vr = 23 см/с.

Вектор относительной скорости будет направлен вдоль стержня ОА в

сторону увеличения координаты ОМ, т.к. движение прямолинейное и относительная скорость Vr положительная (рисунок 52).

Для определения переносной скорости мысленно останавливаем относительное движение и рассматриваем только вращение шайбы М со стержнем ОА относительно оси z. Модуль переносной скорости определяем как скорость точки вращающегося тела:

Ve = ωe ×OM .

Значение угловой скорости переносного движения:

86

Рисунок 52 – Определение вектора абсолютной скорости

ωe = ddtϕ = 8t + 2. .

При t1 =2 с

ωe = 8×2 + 2 =18 рад/с.

Направление переносной угловой скорости совпадает с положительным направлением угла поворота ϕе , т.к. значение ωe положительное.

Тогда переносная скорость равна:

Ve =18×22 = 396 см/с.

Вектор переносной скорости будет лежать в плоскости Oxy

перпендикулярно стержню ОА и направлен по направлению ωe (рисунок 52).

87

Зная направления и модули относительной и переносной скоростей,

определим направление и модуль абсолютной скорости по правилу сложения векторов (1.2).

Т.к., векторы относительной и переносной скорости перпендикулярны, то модуль абсолютной скорости определяем по формуле :

Vа = Vr 2 +Ve2 = 232 + 3962 = 396,7 см/с.

Абсолютное ускорение определим с помощью теоремы о сложении ускорений при сложном движении, которая в развернутом виде имеет вид:

aa = arτ + arn + aeτ + aen + ac .

Для определения относительного тангенциального ускорения мысленно остановим переносное движение и рассмотрим только относительное движение,

тогда относительное тангенциальное ускорение определится как вторая производная по времени от закона движения ОМ:

Так как значение тангенциального ускорения положительно, как и значение относительной скорости, то направление ускорения совпадает по направлению с положительным направлением отсчета координаты ОМ (рисунок 53).

Относительное нормальное ускорение точки М определим как:

аn = Vr2 r ρ ,

где ρ – радиус кривизны траектории относительного движения точки М.

88

Угловое ускорение переносного движения направлено в сторону угловой скорости, т.к. знаки у ωе и εе совпадают.

Тогда

аτе = 8×22 =176 см/с2 .

Вектор переносного тангенциального ускорения направлен перпендикулярно ОМ в сторону εе , т.е. совпадает по направлению с вектором переносной скорости.

Значение нормального переносного ускорения равно:

аеn = ωе2 ×ОМ = 182 ×22 = 7128 см/с2.

Вектор переносного нормального ускорения направлен перпендикулярно вектору переносного тангенциального ускорения к центру кривизны траектории переносного движения, т.е. от точки М к точке О (рисунок 53).

Значение ускорения Кориолиса определяется по формуле:

aс = 2 ωe × vr ×sin(ωe , Vr ) = 2×18×23×1 = 828 см/с2.

Направление ускорения Кориолиса показано на рисунке 53, его можно определить по одному из известных правил (правило Жуковского, правило векторного произведения).

Модуль и направление абсолютного ускорения находим с помощью метода проекций. Т.к. все ускорения лежат в одной плоскости, то спроецируем теорему о сложении ускорений на оси х1 и у1 (рисунок 54):

aaх1 = aτr − aen =12 − 7128 = −7116 см/с2,

90