Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие

1.2 Вопросы для самоконтроля

Что называется кинематикой?

Как формулируются основные задачи кинематики?

Какие способы задания движения точки существуют?

Как определяется закон движения точки при каждом из способов задания ее движения?

Чему равен вектор скорости точки в данный момент времени и какое направление он имеет?

Как определяется вектор скорости точки при координатном способе задания движения?

Как определяется модуль скорости точки при координатном способе задания движения?

Как определяется вектор скорости точки при естественном способе задания движения?

Как определяется модуль скорости точки при координатном способе задания движения?

Как направлены естественные координатные оси в каждой точки кривой?

Как определяется ускорение точки при различных способах задания движения?

Как определяются тангенциальное и нормальное ускорения точки?

Как характеризуют изменение скорости тангенциальное и нормальное ускорения точки?

При каком движении равно нулю нормальное ускорение точки и при каком

– тангенциальное?

21

1.3 Примеры решения задач

1.3.1 Решение задач при задании движения точки координатным способом

1.3.1.1 Задача 1

Движение точки по плоскости задано уравнениями:

x = 2t

, см.

y = 8t 2 +1

Определить траекторию и начало движения точки, а также положение точки

М, ее скорость и ускорение в момент времени t1 = 1/ 2 с.

Решение:

1 Определение траектории движения точки и положения точки при t = t1 .

Для определения траектории движения точки в явном виде необходимо исключить параметр t в уравнениях движения. Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3.1). Каноническую форму уравнения траектории движения получаем, исключая из закона движения (3.1) параметр t.

Для этого выражаем t из первого уравнения и подставляем его во второе уравнение:

t = x / 2,

y = 2x 2 + 1.

Таким образом, траекторией движения точки является парабола.

22

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории,

необходимо выделить область определения полученной функции. Не все точки параболы, определяемой этой функцией, являются точками траектории. Т.к. время всегда имеет положительные значения, определим положение точки в начале движения, подставив t = 0 в закон движения:

Получим начальное положение точки М0 (0;1).

Построим в координатной плоскости траекторию движения, отбросив ветвь параболы, находящуюся левее положения М0 (рисунок 9).

Подставив в закон движения значение t =1/2 с, получим положение точки

M(1;3).

y

Рисунок 9 – Траектория движения точки

2 Определение скорости точки М при t = t1 .

При координатном способе задания движения точки в плоскости скорость определяется с помощью уравнения вектора скорости:

23

v = vx ×i + vy × j .

Дифференцируя уравнения движения по времени t, находим проекции скорости точки на оси x и y:

vx = dx = xɺ = 2 см/с; dt

v y = dy = yɺ = 16t. dt

Проекция скорости на ось x не зависит от времени. Определим численное значение проекции скорости на ось y при t = 1/2 с:

vy = 8 см/с.

Теперь на графике (рисунок 10) от точки М откладываем соответствующие проекции скорости в выбранном масштабе и в соответствующем направлении (т.к

значения проекций положительны то составляющие скорости совпадают с положительными направлениями соответствующих осей), достраиваем до прямоугольника, диагональю которого является сам вектор скорости. Модуль скорости определяем по формуле:

v = vx2 + v2y + vz2 = xɺ2 + yɺ2 + zɺ2 = 22 + 82 = 8,25 см/с.

Точка движется от М0 к М вверх, так как скорость всегда совпадает с направлением движения и направлена по касательной к траектории. Таким образом, определено значение и направление вектора скорости (рисунок 10).

3 Определение ускорения точки М.

24

При координатном способе задания движения точки, ускорение определяется с помощью уравнения вектора ускорения:

y

vy·ј

v

Рисунок 10 – Скорость точки М

а = аx × i + аy × j .

Учитывая, что проекции ускорения на координатные оси равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени, то для данного случая получаем:

Проекции ускорения не зависят от времени t. На графике от точки М откладываем соответствующие проекции ускорения в выбранном масштабе, В

данной задаче проекция ускорения на ось Оx равна 0, поэтому вектор ускорения

25

совпадает с проекцией на ось Оy. По модулю ускорение определяется по

формуле:

Таким образом, определили значение и направление вектора ускорения

(рисунок 11).

y

аy·ј=а

8см/с2

1М0

x

0 1 2

Рисунок 11 – Ускорение точки М

1.3.1.2 Задача 2

Движение точки задано уравнениями:

x = 4t − 2t 2 , y = 2t − t 2 (см).

Определить траекторию и начало движения точки, а также скорость и ускорение точки в момент времени t = 1 c .

Решение:

26

Определить траекторию движения точки можно, избавившись от времени в уравнениях движения . Умножаем обе части второго уравнения на (-2), получим

x = 4t − 2t 2 ;

−2 y = −4t + 2t 2 ,

искладывая их, получаем:

x − 2 y = 0 ,

или

y = 12 x .

Таким образом, траекторией движения точки является прямая. Для определения положения точки в моменты времени t = 0 и t = 1с подставим эти значения в уравнения движения: М0 (0;0) - координаты начала движения, М(6;3) -

координаты точки при t = 1с. Построим в координатной плоскости траекторию движения. Т.к. время всегда имеет положительные значения, траекторией является полупрямая (рисунок 12).

Т.к. проекции скорости на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени, то для нашего случая получаем:

vx = dxdt = xɺ = 4 + 2t; vy = dydt = yɺ = 2 + t.

При t =1с:

27

Т.к. проекции ускорения на координатные оси равны производным от соответствующих проекций скорости точки по времени, то для нашего случая получаем:

ax = dvx = 2 см/с2; dt

a y = dvy = 1 см/с2. dt

Теперь на графике (рисунок 12) от точки М откладываем соответствующие проекции ускорения в выбранном масштабе. По модулю ускорение определяется по формуле:

а = аx2 + а2y = 22 + 12 = 2,24 см/с2 .

В данном примере вектора скорости и ускорения лежат на одной прямой и совпадают по направлению, поэтому точка движется ускоренно.

1.3.1.3 Задача 3

Движение точки задано уравнениями:

Определить траекторию и начало движения точки, скорость, ускорение,

нормальное и тангенциальное ускорения, а также радиус кривизны траектории точки в момент времени t = 1 с.

29

Решение:

Определить траекторию движения точки можно, исключив параметр

времени в уравнениях движения. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin 2 α + cos2 α = 1.

Возведем их в квадрат:

и сложив, получим:

или

30