Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие

Тангенциальное ускорение в данном случае имеет положительное значение,

также как и скорость, и не зависит от времени, поэтому можно утверждать, что движение равноускоренное.

Модуль полного ускорения точки определяем с помощью теоремы Пифагора:

Направление вектора полного ускорения определится как диагональ прямоугольника построенного на векторах касательного и нормального ускорений. В данной задаче вектор нормального ускорения отсутствует, поэтому полное ускорение равно касательному ускорению, т.е. совпадает с ним как по модулю, так и по направлению (рисунок 20).

1.3.2.2 Задача 2

Точка движется по окружности радиусом R=16 см по закону s = 2πt 2 см.

Определить положение точки на траектории, а также скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с.

Решение:

В данной задаче движение задано естественным способом. Значение дуговой координаты точки в момент времени t=2 c равно:

s = 2πt 2 = 8π см.

Учитывая, что траектория движения точки – окружность, положение точки на траектории определяется центральным углом β:

41

Модуль тангенциального ускорения равен:

aτ = dv = 4π см/с2. dt

Модуль нормального ускорения равен:

Т.к. траекторией движения точки является окружность, то вектор нормального ускорения направлен перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. Тангенциальное ускорение в данном случае имеет положительное значение также как и скорость и не зависит от времени, поэтому можно утверждать, что движение равноускоренное.

Модуль полного ускорения точки определяем по формуле:

Направление вектора полного ускорения определится как диагональ прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений.

1.3.2.3 Задача 3

Скорость точки в декартовых координатах задана выражением v = 1,5i +1,5t j + 0,5t 2k , см/с. Определить касательное ускорение точки в момент времени t = 2 с.

43

Решение:

Модуль касательного ускорения определяется по формуле:

где v = vx2 + vy2 + vz2 .

Проекции скорости на оси координат х, у и z будут равны: vx = 1,5 ; vy = 1,5t ; vz = 0,5t 2 .

Значения проекций скорости на координатные оси при t=2 c равны:

vx = 1,5 см/с; vy = 2 см/с; vz = 3 см/с.

Определим вектор ускорения точки по формуле:

aτ = ddtv .

Внашем случае имеем:

а= 1,5 j + tk ,

т.к.

а = аx i + аy j + аz k ,

44

то проекции ускорения на оси координат x, y и z равны:

аx =0 ; аy = 1,5 ; аz = t .

Значения проекций ускорения на координатные оси при t=2 c равны:

аx = 0 см/с2; аy = 1,5 см/с2; аz = 2 см/с2.

Касательное ускорение точки в момент времени t=2 c:

аτ = 1,5 ×0 + 3×1,5 + 2 × 2 = 2,18 см/с2. 15,25

1.3.3 Решение задач при задании движения точки векторном способом

1.3.3.1 Задача 1

Уравнение движения точки имеет вид r = t 2i + 2t j + 3k . Определить модуль скорости точки в момент времени t = 2 с.

Решение:

Модуль скорости точки определяется по формуле:

v = vx2 + v2y + vz2 .

45

В общем виде уравнение движения точки в декартовых координатах определяется по формуле:

r = xi + y j + zk ,

т.е. соответствующие проекции радиус-вектора движущейся точки на оси координат будут равны:

x = t 2 см; y = 2t см; z = 3 см.

Зная проекции радиус-вектора точки на оси координат, значения проекций вектора скорости в момент времени t = 2 с определим по формулам:

vx = dxdt = 2t = 4 см/с; vy = dydt = 2 см/с; vz = dzdt = 0 .

Полученные значения проекций вектора скорости подставим в формулу для определения модуля скорости точки:

v = vx2 + vy2 + vz2 = 42 + 22 = 20 = 4,47 см/с.

46

2 Кинематика твердого тела

2.1 Краткие теоретические сведения

В инженерной деятельности возникает необходимость решать задачи,

связанные с определением кинематических характеристик твердых тел.

Кинематические характеристики движения тел широко используются в инженерных расчетах. Траектории, скорости и ускорения тел, а также траектории,

скорости и ускорения точек тел применяются при исследовании движения тел,

для определения динамических характеристик этого движения (кинетическая энергия, количество движения, кинетический момент), для нахождения сил,

действующих на тела, в расчетах на прочность и жесткость и в других случаях.

Таким образом, в достаточно большом объеме реальных задач мы сталкиваемся с необходимостью определения кинематических характеристик движения тела.

В теоретической механике различают пять видов движения твердого тела:

1)поступательное;

2)вращательное;

3)плоскопараллельное (плоское);

4)сферическое;

5)общий случай движения твердого тела.

Поступательное и вращательное движения являются простейшими видами движения твердого тела.

Основными задачами кинематики твердого тела являются:

1)задание движения и определение кинематических характеристик движения всего тела в целом;

2)изучение движения каждой из точек тела в отдельности.

47

2.1.1 Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная на этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Таким образом, поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения сводится к задаче кинематики точки.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость v

называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение a -

ускорением поступательного движения. Векторы v и a можно, очевидно,

изображать приложенными в любой точке тела.

1.2 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Движение твердого тела, при котором две его точки, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета, называется вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси. Прямая, точки которой остаются неподвижными,

называется осью вращения. Все точки тела, не принадлежащие оси вращения,

будут двигаться в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, описывая окружности с центрами на этой оси.

Положение вращающегося тела в любой момент времени будет известно,

если задана зависимость угла поворота ϕ (рисунок 22) от времени t:

48

Рисунок 22 – Кинематические характеристики вращающегося тела

Равенство (34) называется уравнением или законом вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси z. Угол поворота измеряется в радианах (рад).

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε .

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной по времени от угла поворота тела:

49

dt

Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла поворота в данный момент времени.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота тела:

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости в данный

момент времени.

Единицы угловой скорости в СИ – рад/с, углового ускорения – рад/с2.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела

называется ускоренным, а если убывает – замедленным. Вращение будет

ускоренным, когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, -

когда разные.

Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, численно

равна произведению угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения:

где v - модуль скорости точки, м/с;

h - расстояние от точки до оси вращения, м;

ω - модуль угловой скорости тела, рад/с.

50