Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие
.pdf
a |
= aτ |
+ a =176 + 828 =1004 |
см/с2, |
aу |
e |
c |
|
1 |
|
|
|
тогда
a = |
|
|
= 7186,4 |
|
a2 |
+ a2 |
см/с2. |
||
a |
ах |
ау |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
Направление вектора абсолютного ускорения показано на рисунке 54.
|
|
|
z |
|
у1 |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
_ |
_ |
|
|
|
аау1 |
||
аах1 |
|
|
|
аа |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
О |
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x φ
M
А
x1
Рисунок 54 – Определение вектора абсолютного ускорения
3.3.2.2 Задача 2
Полое кольцо радиуса r жестко соединено с валом АВ, и притом так, что ось вала расположена в плоскости оси кольца. Кольцо заполнено жидкостью,
движущейся в направлении стрелки с постоянной относительной скоростью u.
Угловая скорость вала ω постоянна. Определить абсолютные скорости и ускорения точек М1 и М2 (рисунок 55).
Решение:
91
М2
|
М1 |
|
|
r |
|
r |
ω |
|
z1 |
||
|
||
А |
В |
Рисунок 55 – Сложное движение точек М1 и М2
Точки М1 и М2 жидкости совершают сложное движение, т.к. они одновременно участвуют в двух движениях: в криволинейном движении жидкости внутри кольца и во вращательном движении кольца с жидкостью относительно вала АВ.
С кольцом свяжем подвижную систему отсчета, тогда движение частиц жидкости внутри кольца, т.е. относительно подвижной системы отсчета, будет относительным. С валом АВ свяжем неподвижную систему отсчета (ось z1), тогда вращение кольца относительно оси, т.е. движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной, будет являться переносным движением. Очевидно,
что движение частицы жидкости относительно АВ, т.е. движение точки относительно неподвижной системы отсчета будет абсолютным движением.
Абсолютную скорость определим с помощью теоремы о сложении скоростей при сложном движении:
Va = Vr +Ve .
В данной задаче значения модулей относительной скорости для всех точек жидкости известны из условия задачи:
92
Vr |
= Vr = u |
1 |
2 |
Вектор относительной скорости для каждой точки будет направлен по касательной к кольцу (рисунок 56).
|
Vr2 |
М2 |
Vr1 |
|
|
|
|
|
|
Vа1 |
М1 |
|
|
|
|
Va2 |
r |
Vе1 |
|
Ve2 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
ω |
|
z1 |
|
|
|
|
|
А |
|
В |
Рисунок 56 – Сложение скоростей при сложном движении
Для определения переносной скорости мысленно останавливаем относительное движение и рассматриваем только вращение точек с кольцом относительно оси z1. Модуль переносной скорости определяем как скорость точки вращающегося тела:
Ve1 = ω ×2r ;
Ve2 = ω ×3r ,
где 2r и 3r – расстояния от точек М1 и М2 до оси z1, соответственно;
ω – значение угловой скорости переносного движения.
Векторы переносной скорости перпендикулярны плоскости чертежа, т.е.
плоскости кольца и направлены по направлению вращения (рисунок 56).
93
Зная направления и модули относительной и переносной скоростей,
определим направление и модуль абсолютной скорости по правилу сложения векторов (правило параллелограмма).
Значение абсолютной скорости определим с помощью теоремы Пифагора,
т.к. векторы относительной и переносной скорости перпендикулярны:
Vа1 = 
Vr1 2 + Ve1 2 = 
u 2 + ω 2 4r 2 ,
V |
а2 |
= V |
r2 |
2 + V |
2 |
= u 2 + ω 2 9r 2 . |
|
|
e2 |
|
|||
Абсолютное ускорение определим с помощью теоремы о сложении ускорений при сложном движении, которая, в нашем случае, имеет вид:
aa = arτ + arn + aeτ + aen + ac .
По условию в данном примере относительное тангенциальное ускорение
аrτ=0, т.к. относительная скорость u=const; переносное тангенциальное ускорение аеτ=0, т.к. переносная угловая скорость ωе=const.
Для определения относительного ускорения мысленно остановим переносное движение и рассмотрим только относительное движение, тогда относительное ускорения определим:
аn |
= an |
= |
u2 |
. |
|
||||
r |
r |
|
r |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Относительное движение криволинейное, поэтому вектор относительных нормальных ускорений направлен перпендикулярно касательной к центру кривизны траектории (рисунок 57).
94
|
|
|
z |
|
|
|
М2 |
|
|
|
an |
arn |
|
y |
|
r2 |
М1 |
||
|
|
1 |
|
|
|
an |
a |
|
|
|
e |
c |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
1 |
|
r |
ω x |
|
|
ωe |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
В |
Рисунок 57 – Направление ускорений
Для определения переносного ускорения мысленно остановим относительное движение точек жидкости и рассмотрим только переносное движение точек относительно оси z1. В данном случае переносное движение -
вращательное, потому переносные нормальные ускорения равны:
аеn = ωе2 × 2r ,
1
аеn = ωе2 ×3r .
1
Вектора переносных нормальных ускорений направлены к оси вращения z.
Направления векторов показаны на рисунке 57.
Модули ускорений Кориолиса для точек М1 и М2 равны
|
= 2 |
|
ωe |
|
× |
|
Vr1 |
|
|
|
×sin(Ðω |
|
|
|
|
|
|
||||||
ас1 |
|
|
|
|
e ;Vr1 ) = 2×ωе ×u ×1 = 2ωе ×u , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
aс2 |
= 2 |
|
ωe |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
×sin(Ðω |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Vr 2 |
|
|
|
e ;Vr 2 ) = 2×ωe ×u ×0 = 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
95
Направление ускорения Кориолиса показано на рисунке 57, его можно определить по одному из известных правил (правило Жуковского, правило векторного произведения).
Модуль абсолютного ускорения определим методом проекций. Для этого спроецируем теорему о сложении ускорений на оси координат х, y и z и найдем проекции вектора абсолютного ускорения на соответствующие оси:
- для точки М1
aax1 = ac1 = 2ω ×u ,
aay |
= -arn = - |
u2 |
, |
||
r |
|||||
1 |
1 |
|
|
||
a = −an |
= −ω2 × 2r ; |
||||
az |
e |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
- для точки М2
aax |
= 0 , |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
aay |
= -arn - aen = - |
u2 |
-ω2 ×3r , |
||
r |
|||||
2 |
2 |
2 |
|
||
aaz1 = 0 .
Модули абсолютных скоростей точек М1 и М2 равны:
|
|
|
|
= 4ω2 ×u2 + |
u4 |
+ 4ω4r2 |
|
|
a = a2 |
+ a2 |
+ a2 |
, |
|||||
r2 |
||||||||
a1 |
ах |
ау |
аz |
|
|
|
||
aa2 = 
aах2 + aау2 + aа2z = ur2 +3ω2 ×r. .
96
Список использованных источников
1 Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учебник / А. А.
Яблонский, В. М. Никифорова.- 11-е изд., стер. - CПб. : Лань, 2004. - 768 с. : ил.
2 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений / под общ. ред. А.
А. Яблонского.- 18-е изд., стер. - Москва : КноРус, 2011. - 386 с.
3 Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики: учебник для втузов /
С. М. Тарг. - 18-е изд., стер. - М.: Наука, 2008. - 416 с.
4 Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для втузов в 3-х томах: Т.1. Статика и кинематика. / М. И. Бать, Г. Ю.
Джанелидзе, А. С. Кельзон - 9-е изд., перераб. - М.: Наука, 1991. - 672с.
5 Очков, В. Ф. MathCAD 14 для студентов, инженеров и конструкторов /
В. Ф. Очков. – СПб.: БХВ-Петербург, 2007. - 368 с.
97