Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие

3.1.2 Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

где Va - абсолютная скорость;

Vr - относительная скорость;

Vе - переносная скорость.

Это соотношение изображено на рисунке 1.2 в виде параллелограмма скоростей.

Vr Va

α

М Ve

2

1

1 – траектория относительного движения; 2 – траектория переносного движения.

Рисунок 39 – Параллелограмм скоростей

Модуль абсолютной скорости точки определяется в общем случае по формуле:

71

где α - угол между относительной и переносной скоростями.

В случае, если:

3.1.3 Теорема о сложении ускорений при сложном движении

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:

где ac - вектор ускорения Кориолиса.

Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного

ускорения точки в сложном движении, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки:

где ωe - вектор угловой скорость переносного движения, направленный по оси переносного вращения в ту сторону, откуда вращение

72

видно против хода часовой стрелки.

Кориолисово ускорение характеризует изменение относительной скорости в переносном движении и изменение направления переносной скорости в относительном движении [3].

Направление вектора ac можно определить, воспользовавшись одним из двух правил.

Правило векторного произведения: вектор ускорения Кориолиса aс

направлен перпендикулярно плоскости, образованной векторами угловой скорости переносного движения ωe и относительной скорости Vr , в ту сторону,

откуда кратчайший поворот от вектора угловой скорости переносного движения

ωe к вектору относительной скорости Vr виден против хода часовой стрелки

(рисунок 40).

_

Vr

Рисунок 40 – Правило векторного произведения для определения ускорения Кориолиса

Правило Жуковского: направление вектора ускорения Кориолиса aс

получим, если вектор линейной относительной скорости Vr спроецировать на

плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и полученную проекцию повернуть на 90° по направлению переносного вращения

(рисунок 41).

73

3.2 Вопросы для самоконтроля

Какое движение точки называется сложным?

Какое движение называется относительным?

Какое движение называется переносным?

Какое движение называется абсолютным?

Как определяется абсолютная скорость точки?

Как определяется модуль абсолютной скорости точки?

Как определяется абсолютное ускорение точки?

Как определяется модуль ускорения Кориолиса?

Как определить направление вектора ускорения Кориолиса с помощью правила векторного произведения?

Как определить направление вектора ускорения Кориолиса с помощью правила Жуковского?

В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?

3.3 Примеры решения задач

3.3.1 Задачи на поступательное переносное движение

3.3.1.1 Задача 1

Призма АВ, составляющая угол 45° с горизонтом, движется прямолинейно вдоль оси Ох с постоянным ускорением 0,1 м/с2. По этой плоскости спускается тело Р с постоянным относительным ускорением 0,12 м/с2; начальные скорости плоскости и тела равны нулю, начальное положение определяется координатами х

= 0, у = h (рисунок 42). Определить траекторию, скорость и ускорение абсолютного движения тела Р, считая его материальной точкой.

75

тогда

x

ур = h - 2p .

Траекторией абсолютного движения точки Р является прямая.

Абсолютную скорость определим с помощью теоремы о сложении скоростей при сложном движении:

Va = Vr +Ve .

Для определения относительной скорости мы мысленно останавливаем переносное движение и рассматриваем только относительное движение вдоль оси

Аx1. Модуль относительной скорости определяется как первая производная по времени от закона движения:

Vr = dх1 = 0,12t . dt

Вектор относительной скорости будет направлен вдоль оси х1.

Для определения переносной скорости мысленно останавливаем относительное движение и рассматриваем только поступательное движение наклонной плоскости с телом. Модуль переносной скорости определяется как первая производная по времени от закона переносного движения:

Vе = dх = 0,1t . dt

78

где относительное ускорение аr и переносное ускорение аe включают в себя

только тангенциальные составляющие, т.к. относительное движение – прямолинейное и переносное движение тела – поступательное прямолинейное).

Ускорение Кориолиса в данной задаче равно нулю, т.к. переносное движение

поступательное.

Для определения относительного ускорения мысленно остановим переносное движение и рассмотрим только относительное движение, тогда

модуль относительного ускорения определим:

Относительное движение – прямолинейное, модуль тангенциального ускорения положительный, как и модуль скорости, поэтому направление вектора относительного ускорения совпадает по направлению с вектором относительной скорости (рисунок 45).

Для определения переносного ускорения мысленно остановим относительное движение тела и рассмотрим только переносное движение наклонной плоскости с телом. В данном случае переносное движение -

прямолинейное, потому модуль ускорения определим:

Вектор переносного ускорения совпадает по направлению с вектором переносной скорости (рисунке 45).

Зная направления и модули относительного и переносного ускорений,

определяем направление и модуль абсолютного ускорения по правилу сложения векторов (правило параллелограмма). Направление вектора абсолютного скорости

80