Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие
.pdf
Рисунок 32 – Графики изменения кинематических характеристик
Груз 1 перемещается вниз вертикально или по наклонной плоскости в соответствии с законом S1 = et +3 + 5t4 − 3t3 , приводя в движение остальные тела системы.
Определить кинематические характеристики тел системы в момент времени t1 = 5 с. Построить графики изменения кинематических характеристик тела 5 с течением времени. В начальный момент система находилась в покое.
Проскальзыванием нитей по ободам тел пренебречь. При определении ускорений за полюс катка принять его центр.
61
а)
б)
а) заданная механическая система; б) кинематические характеристики тел.
Рисунок 33 – Механическая система
Решение:
1 Определим скорости и угловые скорости тел:
v1 = Sɺ1 = 8et +3 + 20t3 − 9t 2 ,
62
при t1 = 5 с |
v = 8e8 |
+ 20 ×53 - 9 ×52 |
= 26122,66 |
см/с. |
|
1 |
|
|
|
Проведем кинематический анализ. Выразим скорости и угловые скорости тел через скорость тела 1 и покажем их на рисунке (рисунок 33 б):
vА = v1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ω = |
|
vA |
= |
|
|
v1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v |
B |
= ω × R = |
|
v1 |
|
× R3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ω4 |
= |
|
vB |
|
|
= |
v1 × R3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r × r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
v = v = ω |
4 |
× r = |
v1 × R3 × r4 |
= |
|
v1 × R3 |
= v |
B |
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
r3 × r4 |
|
|
|
r3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v |
|
= ω |
|
|
× R = |
v1 |
|
× R3 |
× R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
D |
4 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 × r4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
vE = vD |
|
= |
v1 × R3 × R4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 × r4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ω = vE = v1 × R3 × R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
2R |
|
r × r × 2R |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v = ω × R = |
v1 × R3 × R4 |
R = |
v1 × R3 × R4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
С |
5 |
5 |
|
|
|
|
r × r × 2R |
5 |
|
|
r × r × 2 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
||||||||
Для момента времени t1 = 5 с:
v1 = 26122,66 см/с = 26,12 м/с;
63
ω = |
|
|
v1 |
= |
26122,66 |
=1306,13 |
рад/с; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
r3 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ω4 |
|
|
= |
|
v1 × R3 |
= |
|
26122,66 ×50 |
= 2612, 27 |
рад/с; |
|
|||||||||||||
r3 × r4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 × 25 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v2 |
= |
v1 × R3 |
|
= |
26122,66 ×50 |
= 65306,65 |
см/с= 65,31 м/с; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ω = |
v1 × R3 × R4 |
= |
26122,66 ×50 × 30 |
= 979,6 |
рад/с; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
r3 × r4 × 2R5 |
|
20 × 25 × 2 × 40 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
vС |
= |
v1 × R3 × R4 |
|
= |
26122,66 ×50 ×30 |
= 39184 см/с= 39,18 м/с. |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r3 × r4 × 2 |
|
20 × 25 × 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 Определим ускорения и угловые ускорения тел. Для этого вычислим первые производные по времени от соответствующих скоростей и угловых скоростей.
|
|
τ |
|
ɺ |
= 8e |
t +3 |
+ 60t |
2 |
-18t , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a1 = a1 |
= v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
при t1 = 5 с a = 8e8 + 60 ×52 -18 ×5 = 25257,66 см/с2= 25, 26 м/с2; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= v1 × R3 = 25257,66 ×50 = 63144,15 см/с2= 63,14 м/с2; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
v1 |
|
|
a1 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25257,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ε3 |
|
ɺ |
= |
|
ɺ |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ω3 |
|
r3 |
r3 |
|
|
|
20 |
|
|
|
=1262,88 рад/с ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25257,66 × 50 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
v1 × R3 |
|
|
a1 × R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ε4 |
|
ɺ |
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= 2525,77 |
|
|||||||
= ω4 |
|
r3 × r4 |
|
r3 × r4 |
|
|
20 × |
25 |
рад/с |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
v1 × R3 × R4 |
|
a1 × R3 × R4 |
|
25257,66 ×50 ×30 |
|
|
|||||||||||||||||||
ε5 |
= ω5 = |
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|||
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
× r4 × 2R5 |
|
r3 × r4 × 2R5 |
|
20 × 25 × 2 × 40 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= 947,16 рад/с2;
64
aС |
= v1 × R3 × R4 |
= 25257,66 ×50 × 30 = 37886, 49 см/с2= 37,89 м/с2. |
|||
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
r3 × r4 × 2 |
|
20 × 25 × 2 |
|
3 Построим графики изменения кинематических характеристик тела 5 в
системе MathCAD
Рисунок 34 – График vC (t)
65
Рисунок 35 – График aC (t)
66
Рисунок 36 – График ω5 (t)
67
Рисунок 37 – График ε5 (t)
68
3 Кинематика сложного движения материальной точки
3.1Краткие теоретические сведения
Вряде случаев при решении задач кинематики оказывается целесообразным рассматривать движение точки по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. В большинстве случаев это одновременное движение точки относительно движущегося тела, т.е. если материальная точка движется относительно твердого тела, с которым связывают (условно)
подвижную систему отсчета, и твердое тело определенным образом движется относительно земли, с которой связывают (условно) неподвижную систему отсчета, то такое движение точки называется сложным.
Например, пассажира, перемещающегося по палубе движущегося корабля,
можно считать совершающим сложное движение по отношению к берегу. Это движение состоит из перемещения по отношению к палубе корабля, связанной с подвижной системой отсчета, и движения вместе с палубой по отношению к берегу, связанного с неподвижной системой отсчета. Таким образом, сложное движение пассажира раскладывается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить, путем введения дополнительной
(подвижной) системы отсчета, сложное движение точки на более простые широко используется при кинематических расчетах.
3.1.1 Основные определения
Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета О1x1y1z1
(рисунок 38) называют абсолютным движением. Скорость и ускорение точки в
69
этом движении называют абсолютной скоростью (Va ) и абсолютным ускорением
( аа ).
z1 |
|
|
|
M |
z |
|
|
|
x |
O |
|
|
|
y |
O1 |
|
y1 |
x1
Рисунок 38 − Сложное движение точки
Движение точки М относительно подвижной системы Оxyz координат называется относительным. Скорость и ускорение точки в этом движении
называют относительной скоростью (Vr ) и относительным ускорением ( аr ).
Движение подвижной системы координат Оxyz и связанных с ней точек пространства относительно неподвижной системы отсчета О1x1y1z1 называется переносным движением. Скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М,
называется переносной скоростью (Ve ) и переносным ускорением ( аe ).
Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимостей между характеристиками относительного,
переносного и абсолютного движений. Эти зависимости устанавливаются с помощью теорем.
70