Кинематический анализ плоского многозвенного механизма. Методические указания

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Строительный факультет

Кафедра механики

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО МНОГОЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА

Методические указания

Санкт-Петербург

2017

1

УДК 531.31 (076)

Рецензент д-р техн. наук, профессор В. М. Петров (СПбГАСУ)

Кинематический анализ плоского многозвенного меха-

низма: метод. указания / сост. Н. К. Лукашевич; СПбГАCУ. – СПб., 2017. – 32 c.

Содержатся общие сведения по кинематике поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела. Рассмотрены разные способы определения скоростей и ускорений при плоском движении твердого тела. Приведен пример расчета плоского многозвенного механизма. Для лучшего понимания порядка построения плана скоростей и многоугольника ускорений показаны промежуточные рисунки на разных этапах решения задачи.

Предназначены для выполнения расчетно-графической работы по кинематике студентами специальности 15.03.03 «Прикладная механика».

Табл. 1. Ил. 28. Библиогр.: 6 назв.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2017

2

1.КИНЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКИХ МНОГОЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ

Плоский многозвенный механизм – это механизм, состоящий из соединенных между собой шарнирами стержней и плоских фигур, движущихся параллельно некоторой плоскости. Звенья плоского механизма могут двигаться поступательно, вращательно или плоскопараллельно. Расчет плоских многозвенных механизмов заключается в определении скоростей и ускорений точек механизма, а также угловых скоростей и ускорений звеньев по заданным кинематическим характеристикам.

1.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе все время движения.

При поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела равны по модулю и по направлению. Для определения скоростей и ускорений используют формулы кинематики точки.

При поступательном прямолинейном движении положение тела описывается одним уравнением x x(t).

Скорость тела определяется как первая производная, ускорение – как вторая производная от закона движения по времени:

Движение является ускоренным, если знаки скорости и ускорения совпадают, замедленным – если не совпадают.

Вектор скорости направлен по движению.

Вектор ускорения при ускоренном движении направлен так же, как вектор скорости, при замедленном – в противоположную сторону.

1.2. Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение, при котором две точки, принадлежащие телу или неразрывно с ним связанные,

3

остаются неподвижными все время движения. Через эти точки проходит ось, которая называется осью вращения.

Все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны, все остальные точки описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Вращательное движение задается углом поворота (t). Основные кинематические характеристики – угловая скорость ω

и угловое ускорение :

ddt ; ddt .

Скорость точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

определяется по формуле

V h ,

где h – радиус вращения.

Радиус вращения – это кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу вращения по направлению угловой скорости (рис. 1.1).

Ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, раскладывается на две составляющие:

a a ц a вр,

где a ц – центростремительное ускорение и a вр – вращательное; их модули определяются по формулам

aц 2h; aвр h.

Вектор центростремительного ускорения направлен к оси вращения. Вектор вращательного ускорения направлен перпенди-

кулярно центростремительному ускорению по направлению углового ускорения (рис. 1.2).

Рис. 1.1 Рис. 1.2 4

Если знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают, движение является ускоренным, если не совпадают – замедленным.

Модуль полного ускорения

a (aц)2 (aвр)2 или a h 4 2 .

Тангенс угла между полным ускорением и радиусом вращения не зависит от радиуса вращения и определяется по формуле

1.3. Плоское движение твердого тела

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Плоская фигура – сечение тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости (рис. 1.3).

Для изучения плоского движения твердого тела достаточно рассмотреть движение плоской фигуры в плоскости XY (рис. 1.4).

Положение прямой АВ и, следовательно, плоской фигуры однозначно задается тремя уравнениями:

XA = XA (t); YA = YA (t);= (t),

где точка А называется полюсом. За полюс принимают точку плоской фигуры, у которой известны скорость и ускорение.

5

Следствие 1 (правило проекций): проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны:

ПрABVA = ПрABVB,

где ПрABVA – проекция скорости точки A; ПрABVB – проекция скорости точки B на прямую AB (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Следствие 2: концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят ее на части, пропорциональные соответствующим расстояниям между точками.

AB – неизменяемый отрезок. Концы векторов скоростей точек A, C и B, согласно следствию, лежат на прямой ab (рис. 1.7) и делят ее на отрезки, размеры которых можно определить из отношения

Рис. 1.7

1.4.2. Определение скоростей через МЦС

МЦС – это точка, принадлежащая телу или находящаяся вне его, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

7

Плоское движение можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через МЦС перпендикулярно плоской фигуре (рис. 1.8), то есть МЦС одновременно является мгновенным центром вращения. При этом угловая скорость и скорости точек плоской фигуры определяются по формулам вращательного движения.

Например, если известна скорость точки А (рис. 1.9), угловая скорость плоской фигуры определяется как

VAPA ,

скорости точек В и С равны соответственно

VB BP; VC CP,

где АР, ВР и СР – мгновенные радиусы вращения точек.

Направление вращения тела определяется по направлению вектора известной скорости, а векторы скоростей всех остальных точек – по направлению полученной угловой скорости.

МЦС и, соответственно, мгновенная ось вращения при движении механизма меняют свое положение, поэтому при расчете для каждого звена, движущегося плоскопараллельно, необходимо определять МЦС.

В общем случае МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек плоской фигуры (рис. 1.10).

Если у плоской фигуры, движущейся плоскопараллельно, в какой-то момент времени скорости двух точек направлены параллельно и при этом не перпендикулярны прямой, проходящей через эти точки, то в данном положении механизма движение плоской

8

фигуры является мгновенно-поступательным. МЦС не существует,0. Скорости всех точек плоской фигуры будут равны по модулю и по направлению: VA VB VC (рис. 1.11).

Линия скорости точки В

Рис. 1.10 Рис. 1.11

Для каждого звена, движущегося плоскопараллельно, строится свой мгновенный центр скоростей.

1.5. Определение ускорений при плоском движении

При плоском движении ускорения точек плоской фигуры определяют различными способами. В данной работе рассмотрены два способа определения ускорений точек.

1.По теореме Эйлера.

2.Через мгновенный центр ускорений (МЦУ).

1.5.1. Определение ускорений по теореме Эйлера

Теорема Эйлера: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса:

aB aA aBA ,

где aA – ускорение полюса А; aBA – ускорение вращения точки В

вокруг полюса. За полюс выбирается точка, ускорение которой известно.

Точка В вокруг точки А движется по окружности, поэтому ускорение aBA раскладывается на две составляющие:

9

aBA aBAц aBAвр.

Подставим все составляющие ускорений в теорему Эйлера и получим развернутый вид формулы Эйлера:

aB aAц aBAц aBAвр.

Геометрически сложив три вектора ускорений, получим ускорение точки В (рис. 1.12).

Рис. 1.12

Векторное уравнение можно решить, если в нем содержится не больше двух неизвестных. Неизвестными могут быть модули или направления векторов. Уравнение Эйлера можно решить двумя способами: графически и аналитически.

А. Графическое решение

Графическое решение заключается в построении многоугольника ускорений (плана ускорений). При этом векторы ускорений складываются геометрически, начиная с известных по модулю и по направлению векторов. Все ускорения строят в одном масштабе. Неизвестные ускорения получаются построением. Модули искомых ускорений измеряются на многоугольнике ускорений и записываются с учетом масштаба.

Например, если заданы aA , ω и известна линия ускорения точки В (рис 1.13), то можно определить модуль и направление центростремительного ускорения aBAц и показать линию вращательного ускорения aBAвр , перпендикулярную радиусу вращения АВ.

Из произвольно выбранной точки В последовательно складываются известные ускорения, потом строятся линии неизвестных (рис. 1.14, а). Вектор ускорения будет направлен из точки В в точку

10