Кинематический анализ плоского многозвенного механизма. Методические указания

2.3. Звено О2B вращается.

Скорость точки B уже найдена, угловую скорость определим по формуле

2.4. Звено СD движется плоскопараллельно.

Известна скорость точки С по модулю и по направлению и линия скорости точки D. МЦС звена CD (точка Р2) находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям в точках C и D (см. рис. 2.7). В данный момент времени звено вращается вокруг точки Р2 с угловой скоростью

CD VC 0,87 3,09 c 1,

CP2 0,28

где CР2 – мгновенный радиус вращения точки C,

CР2 = 2,83 ∙ 0,1 = 0,28 м.

Направление вращения определим по направлению скорости точки C. Точки D и E принадлежат звену СD, их радиусы вращения

DР2 = 4,35 ∙ 0,1 = 0,44 м;

EР2 = 2,86 ∙ 0,1 = 0,29 м.

Скорости точек D и E соответственно:

VD CD DP2 = 3,09 ∙ 0,44 = 1,36 м/с;

VE CD EP2 = 3,09 ∙ 0,29 = 0,90 м/с.

Вектор скорости VD направлен перпендикулярно радиусу вращения DР2, вектор скорости VE направлен перпендикулярно радиусу вращения EР2 по направлению угловой скорости CD

(см. рис. 2.7).

2.5. Звено EK движется плоскопараллельно.

Известна скорость точки Е по модулю и по направлению и линия скорости точки K. МЦС звена EK (точка Р3) находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям в точках E и K (см. рис. 2.7). В данный момент времени звено вращается вокруг точки Р3 с угловой скоростью

21

где EР3 – мгновенный радиус вращения точки E,

EР3 = 5,30 ∙ 0,1 = 0,53 м.

Направление вращения определим по направлению скорости точки E. Мгновенный радиус вращения точки K

KР3 = 1,65 ∙ 0,1 = 0,16 м.

Скорость точки K

VK EK KP3 = 1,65 ∙ 0,16 = 0,27 м/с.

Вектор скорости VK направлен перпендикулярно радиусу вращения KР3 по направлению угловой скорости EK (см. рис. 2.7).

2.6. Звено KО3 вращается.

Скорость точки K известна, угловая скорость звена определяется по формуле

Для сравнения значений скоростей и угловых скоростей, определенных разными способами, результаты занесем в таблицу.

3. Определение ускорения точки В и углового ускорения звена АВ по теореме Эйлера

Необходимо определить ускорение только точек А и В, поэтому построим не весь механизм, а только звенья, которым принадлежат эти точки. Звенья механизма строим в заданном положении в масштабе 1 см – 0,1 м. У треугольника АВС покажем только сторону АВ (рис. 2.8).

22

aBAвр

Рис. 2.8

Расчет начинаем со звена, у которого задано движение. 1. Звено О1А вращается.

Ускорение точки А раскладывается на две составляющие: aA aAц aAвр.

Определим составляющие ускорения по формулам

aцA O21A O1A= 22 ∙ 0,3 = 1,2 м/с2; aврA O1A O1A 0,

так как звено вращается с постоянной угловой скоростью O1A = 0.

Вектор центростремительного ускорения aAц направлен к оси вращения, то есть к точке О1. Ускорения строим в масштабе 1 см –

1м/с2.

2.Звено АВ движется плоскопараллельно. Ускорение точки В определим по теореме Эйлера:

aB aA aBA.

За полюс возьмем точку А, потому что ее ускорение известно. Точка В вокруг точки А движется по окружности, поэтому ускорение aBA также раскладывается на две составляющие:

aBA aBAц aBAвр.

Определим модули и направления составляющих. Центростремительное ускорение

23

aBAц 2ABC AB = 1,432 ∙ 0,6 = 1,22 м/с2.

Вектор центростремительного ускорения aBAц направлен

к центру вращения, к точке А.

Вращательное ускорение определяется по формуле

aBAвр AB AB.

Модуль вращательного ускорения aBAвр определить нельзя, потому что угловое ускорение звена АВ неизвестно. Но можно показать линию вращательного ускорения aBAвр , она проходит перпенди-

кулярно центростремительному ускорению aBAц (см. рис. 2.8). Точка В, кроме звена АВ, принадлежит звену О2В, которое вращается, поэтому ускорение aB также раскладывается на две составляющие:

aB aBц aBвр.

Определим модули и направления составляющих. Центростремительное ускорение равно

aBц O22B O2B = 2,42 ∙ 0,4 = 2,30 м/с2.

Вектор центростремительного ускорения aBц направлен к цен-

тру вращения, к точке О2.

Вращательное ускорение определяется по формуле aBвр O2B O2B.

Модуль вращательного ускорения aврA определить нельзя, потому что угловое ускорение звена О2В неизвестно. Покажем линию вращательного ускорения aBвр , которая направлена перпендикуляр-

но центростремительному ускорению aBц (см. рис. 2.8).

Подставим все составляющие ускорений в теорему Эйлера и получим развернутый вид формулы Эйлера:

aBц aBвр aAц aBAц aBAвр.

Это векторное уравнение будем решать двумя способами: а) графически, построением многоугольника ускорений; б) аналитически, проецируя его на координатные оси.

24

Графическое решение

Построим многоугольник ускорений, при этом ускорение точки В будем строить дважды. Один раз, сложив геометрически уско-

рения aBц и aBвр (левая часть равенства), второй раз, сложив ускорения aAц, aBAц и aBAвр (правая часть). Построение начинаем с известных по модулю и по направлению ускорений, а два неизвестных вектора aBAвр и aBвр получим построением. Все ускорения в много-

угольнике ускорений строим в масштабе 1 см – 0,5 м/с2. Направления ускорений указаны на механизме (см. рис. 2.8).

Для построения многоугольника ускорений выносим точку В за пределы механизма. Построим левую часть уравнения Эйлера.

Для этого из точки В строим вектор aBц, через конец которого проводим линию вращательного ускорения aBвр перпендикулярно ускорению aBц (рис. 2.9, а).

aBвр

aBвр

Рис. 2.9

Построим правую часть уравнения. Из той же точки В строим вектор ускорения aAц, к его концу добавим ускорение aBAц , затем через конец вектора проводим линию вращательного ускорения aBвр перпендикулярно центростремительному (рис. 2.9, б). Точка пере-

25

сечения пунктирных линий (линий ускорений) даст нам искомые ускорения. Векторы вращательных составляющих ускорений aBAвр и aBвр направлены в точку пересечения этих линий (рис. 2.10, а).

Окончательный вид многоугольника ускорений показан на рис. 2.10, б. Ускорение aB направлено из начала первого вектора (точка В) в конец последнего, в точку пересечения вращательных составляющих ускорений aBAвр и aBвр .

Рис. 2.10

Для определения модулей ускорений на многоугольнике ускорений измерим соответствующие векторы, умножим на масштаб и запишем численные значения:

aB = 4,78 ∙ 0,5 = 2,39 м/с2; aBAвр = 6,09 ∙ 0,5 = 3,04 м/с2.

Угловое ускорение звена АВ равно

ABC aBAвр 3,04 5,07 c 2.

AB 0,60

26

aBAвр aBц sin aBвр cos aцA sin ; aBAвр aBц sin39 aBвр cos39 aцA sin77 =

= 2,30 ∙ 0,63 + 0,48 ∙ 0,78 + 1,20 ∙ 0,97 = 2,99 м/с2.

Модуль ускорения аВ определим по теореме Пифагора:

aB (aBц )2 (aBвр)2 2,32 0,482 5,5204 2,35 м/с2.

Угловое ускорение звена АВ равно

AB aBAвр 2,99 4,98 c 2. AB 0,60

Значения искомых ускорений aB и AB , найденные двумя способами, близки, следовательно, решение правильное.

Направление углового ускорения AB определяем по направлению вращательного ускорения aBAвр .

4.Построение мгновенного центра ускорений для звена АВ

Для построения МЦУ используем рис. 2.11, на нем построены

вмасштабе все ускорения.

4.1.Построим вектор полного ускорения aBA , сложив геомет-

рически его составляющие: aBA aBAц aBAвр (рис. 2.12).

4.2. Измерим угол μ, который составляет полное ускорение aBA с радиусом вращения АВ. Угол μ = 68º.

Для проверки определим угол μ аналитически:

tg AB 5,07 5,07 2,48, arctg 2,48 68 .2AB 1,432 2,04

Значения углов совпадают, значит, угол μ определен правильно.

4.3.От ускорения aA aAц отложим угол μ по направлению угловогоускорения AB ипроведем прямуючерезточку А(см.рис.2.12).

4.4.Построим вектор полного ускорения aB , сложив геомет-

рически его составляющие: aB aBц aBвр.

28

4.5.От ускорения aB отложим угол μ по направлению углового ускорения AB и проведем прямую через точку В (см. рис. 2.12).

4.6.МЦУ (точка Q) получается как точка пересечения прямых

АQ и ВQ.

Рис. 2.12

5. Определение ускорения точки М (АМ = МВ) через МЦУ

5.1. Соединим точку М с МЦУ. Измерим расстояние MQ и, умножив на масштаб для размеров механизма (1 см – 0,1 м), определим радиус вращения точки М:

MQ = 1,8 ∙ 0,1 = 0,18 м.

5.2. Определим модуль ускорения точки М двумя способами: а) по формуле

aM MQ 4AB 2AB = 0,181,434 5,072 = 0,98 м/с2;

б) из отношения

где радиус вращения AQ измеряется на рисунке и с учетом масштаба равен

AQ = 2,1 ∙ 0,1 = 0,21 м.

5.3. Построим вектор ускорения aM , который также должен составлять угол μ с радиусом вращения MQ. Для этого отложим

29

угол μ от радиуса вращения MQ против направления углового ускорения AB и проведем из точки М вектор ускорения aM в масштабе (см. рис. 2.12).

Примечания.

1.В данном примере для лучшего понимания порядка построения плана скоростей и многоугольника ускорений показаны промежуточные рисунки на разных этапах решения задачи. Студентам при выполнении задания

вотчетах нужно показывать только окончательный вид плана скоростей и ускорений. Рисунки выполняются на миллиметровке.

2.В отчет должны входить следующие рисунки: схема механизма для построения плана скоростей (рис. 2.2); план скоростей (рис. 2.6, б); схема механизма с мгновенными центрами скоростей (рис. 2.7); схема механизма для определения ускорений со всеми ускорениями, с осями для проецирования, сМЦУ(объединенныерис.2.11и2.12);многоугольникускорений(рис.2.10,б).

30