Кинематический анализ плоского многозвенного механизма. Методические указания

пересечения линий неизвестных ускорений. Окончательный вид многоугольника ускорений показан на рис. 1.14, б.

Рис. 1.14

Б. Аналитическое решение

При аналитическом решении векторное уравнение проецируется на координатные оси, одна из которых направлена вдоль прямой АВ, другая перпендикулярно прямой. Из решения полученной системы уравнений определяются искомые ускорения.

1.5.2. Определение ускорений через МЦУ

МЦУ – это точка, принадлежащая телу или находящаяся вне его, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для тела, движущегося плоскопараллельно, всегда можно построить МЦУ.

Вращательная составляющая плоского движения не зависит от выбора полюса, поэтому, зная угол μ, который составляет полное ускорение с радиусом вращения, и ускорения двух точек плоской фигуры, можно построить для нее МЦУ.

11

Для определения угла μ построим полное ускорение вращения точки В вокруг полюса А, сложив геометрически его составляющие

aBA aBAц aBAвр , и измерим угол между ускорением aBA и радиусом

вращения АВ, так как центр вращения – это полюс А.

Этот же угол для сравнения определим аналитически. Тангенс угла между полным ускорением и радиусом вращения определяется по формуле

Значения угла μ, полученные разными способами, не должны сильно отличаться.

Ускорения aA и aB должны составлять со своими радиусами вращений угол μ, поэтому для построения МЦУ откладываем от векторов ускорений aA и aB угол μ по направлению углового уско-

рения ε и под этим углом через точки А и В проводим прямые (рис. 1.15). МЦУ (точка Q) получается как точка пересечения прямых АQ и ВQ.

Если известно положение МЦУ и угловые скорость и ускорение, можно определить ускорение любой точки плоской фигуры. Например, определим ускорение точки М (рис. 1.16). Соединим точку М с МЦУ и измерим радиус вращения.

Модуль ускорения определим по формуле aM MQ 4 2

ния aM , полученные разными способами, не должны намного отличаться.

12

Для построения вектора aM отложим от радиуса вращения АQ угол μ против углового ускорения ɛ и проведем вектор aM .

2. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПЛОСКОГО МНОГОЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА

Задан плоский механизм (рис. 2.1). Звенья механизма соединяются с неподвижными опорами и друг с другом шарнирами. Положение механизма задается углом φ. Звено О1А вращается с постоянной угловой скоростью O1A .

Дано: а = 0,50 м; О1А = 0,30 м; АВ = 0,60 м; DC = 0,50 м; b = 0,45 м; О2В = 0,40 м; АС = 0,35 м; СЕ = 0,30 м; c = 0,40 м; О3K = 0,30 м; ВС = 0,30 м; ЕK = 0,60 м; φ 60 ; O1A = 2 c 1.

Определить:

1)скорости всех указанных точек и угловые скорости всех звеньев механизма по плану скоростей;

2)скорости всех указанных точек и угловые скорости всех звеньев механизма через МЦС;

3)ускорение точек А и В и угловое ускорение звена АВ по теореме Эйлера;

4)построить МЦУ звена АВ;

5)ускорение середины звена АВ (точка М) через МЦУ.

Решение

1. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев по плану скоростей

Построим механизм в соответствии с размерами в заданном положении в масштабе 1 см – 0,1 м (рис. 2.2). Расчет начнем с того звена, у которого задана угловая скорость.

O2 VA

А

О1А

Рис. 2.2

1.1. Звено О1А вращается.

Скорость точки А определяется по формуле

VA O1A O1A = 2 ∙ 0,3 = 0,6 м/с.

Вектор скорости VA направлен перпендикулярно радиусу вращения О1А в сторону вращения. Из произвольно выбранного центра плана скоростей (точка о) строим в масштабе скорость VA

(масштаб: 1 см – 0,25 м/с). Конец вектора скорости обозначаем соответствующей строчной буквой (точка а).

1.2. Звено АВС движется плоскопараллельно.

За полюс возьмем точку А, потому что ее скорость известна. Скорость точки В определяем по теореме Эйлера:

VB VA VBA.

14

Для построения скорости VB необходимо геометрически сложить скорости VA и VBA . Для этого через конец вектора скорости VA проведем линию скорости VBA . Эта линия проходит перпендикулярно звену АВ, так как VBA – это скорость вращения точки В во-

круг полюса А и звено АВ является радиусом вращения (см. рис. 2.2). Точка В, кроме звена АВ, принадлежит звену О2В, которое вращается, поэтому линия скорости VB проходит через центр плана скоростей перпендикулярно звену О2В (рис. 2.3, а). Конец вектора скорости VB (точка b) получим как точку пересечения двух линий скоростей (пунктирные линии). Вектор скорости VB направлен из центра плана скоростей в точку b (рис. 2.3, б).

b

b

Рис. 2.3

Скорость точки А была построена в масштабе, поэтому все остальные скорости при построении получаются в том же масштабе, то есть для определения модулей скоростей на плане скоростей измеряют соответствующие отрезки, умножают на масштаб и записывают ответ:

VB оb = 3,86 ∙ 0,25 = 0,96 м/с; VBA = ab = 3,48 ∙ 0,25 = 0,87 м/с.

Направления векторов скоростей берутся с плана скоростей, так как план скоростей представляет собой пучок скоростей, выходящих из центра плана скоростей.

Для определения угловой скорости треугольника АВС воспользуемся формулой

15

VBA ABC AB,

откуда

ABC VABBA 00,,8760 1,45 c 1.

Точка С принадлежит треугольнику АВС, ее скорость определяется по теореме Эйлера. Линия скорости точки С неизвестна, поэтому скорость VC будем строить дважды, принимая за полюс раз-

ные точки. Взяв за полюс точку А, получим

VC VA VCA.

Для векторного построения через конец скорости VA проведем линию скорости VCA перпендикулярно стороне АС. Затем возьмем за полюс точку В и будем строить VC по формуле

VC VB VCB.

Через конец вектора скорости VB проведем линию скорости VCB перпендикулярно стороне ВС. Точку с получим как точку пересечения линий скоростей VCA и VCB (рис. 2.4, а). Вектор скорости VC направлен из центра плана скоростей в точку с (рис. 2.4, б).

VC ос = 3,47 ∙ 0,25 = 0,87 м/с.

1.3. Звено О2B вращается.

Скорость точки B уже найдена, поэтому угловую скорость определим по формуле

16

1.4. Звено СD движется плоскопараллельно.

За полюс возьмем точку C. Для определения скорости точки D запишем теорему Эйлера:

VD VC VDC .

Через конец вектора скорости VC перпендикулярно звену СD проведем линию скорости VDC до пересечения с линией скорости

точки D. Линия скорости точки D проходит через центр плана скоростей вертикально по направлению движения поршня, потому что точка D, кроме звена СD, принадлежит поршню, который движется поступательно по направляющим. Конец вектора скорости VD по-

лучим как точку пересечения двух пунктирных линий (рис. 2.5, а):

VD оd = 5,39 ∙ 0,25 = 1,35 м/с; VDC сd = 6,17 ∙ 0,25 = 1,54 м/с.

Для определения угловой скорости звена СD воспользуемся формулой

VDC CD CD,

откуда

CD VCDDC 10,,5450 3,08 c 1.

Точка Е принадлежит звену СD. Для определения ее скорости воспользуемся вторым следствием из теоремы Эйлера. Определим положение точки е на плане скоростей из пропорции

Вектор скорости VE направлен из центра плана скоростей в точку e (рис. 2.5, б):

VE оe = 3,68 ∙ 0,25 = 0,92 м/с.

1.5. Звено EK движется плоскопараллельно.

За полюс возьмем точку E. Для определения скорости точки K запишем теорему Эйлера:

VK VE VKE .

Через конец скорости VE перпендикулярно звену EK проведем линию скорости VKE до пересечения с линией скорости точки K, проходящей через центр плана скоростей перпендикулярно звену KО3 (рис. 2.6, а). Вектор скорости VK направлен из центра плана скоростей в точку k – точку пересечения линий скоростей VKE и VK

(рис. 2.6, б):

VK оk = 1,10 ∙ 0,25= 0,27 м/с; VKE ek = 4,06 ∙ 0,25 = 1,02 м/с.

Угловую скорость звена KE определим по формуле

EK VEKKE 10,,0260 1,69 c 1.

1.6.Звено KО3 вращается.

Скорость точки K известна, угловую скорость звена определим по формуле

2. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев через МЦС

Построим механизм в соответствии с размерами в заданном положении в масштабе 1 см – 0,1 м (рис. 2.7). Расчет начнем с того звена, у которого задана угловая скорость.

2.1. Звено О1А вращается.

Скорость точки А определим по формуле

VA O1A O1A = 2 ∙ 0,3 = 0,6 м/с.

Вектор скорости VA направлен перпендикулярно радиусу

вращения О1А в сторону вращения (рис. 2.7). Скорости строим в масштабе 1 см – 0,25 м/с.

2.2. Звено АВС движется плоскопараллельно.

Известна скорость точки А по модулю и по направлению и линия скорости точки В. МЦС звена АВ (точка Р1) находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям в точках А и В (см. рис. 2.7). В данный момент времени звено вращается вокруг точки Р1 с угловой скоростью:

ABC VA 0,60 1,42 c 1,

AP1 0,42

где АР1 – мгновенный радиус вращения для точки А.

Механизм построен в масштабе, поэтому при графическом решении все необходимые радиусы вращения измеряем на рисунке (см. рис. 2.7) и записываем с учетом масштаба для расстояний:

АР1 = 4,2 ∙ 0,1 = 0,42 м.

19