Кинематика. Примеры решения задач. Учебное пособие
.pdf
|
(x − 2)2 |
+ |
( y +1)2 |
= 1. |
|
|
42 |
|
|
|
|||
22 |
|
|
|
|||
Таким образом, траекторией движения точки является эллипс, с центром в |
||||||
точке О1(2;-1) |
и полуосями: по оси x – |
4 см; |
по оси y – 2 см. Для определения |
|||
положения точки в моменты времени |
t = 0 и |
t = 1с подставим эти значения в |
||||
уравнения движения (3.6): М0 (6;−1) - координаты начала движения, М(4;0,73) -
координаты точки при t = 1с. Построим в координатной плоскости траекторию движения (рисунок 13).
y
v
|
|
|
|
|
|
|
vy |
·ј |
|
|
|
|
|
vx |
|
|
аx |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
·і |
|
· |
М |
|
|||||||
0,73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
2 |
4 |
6 |
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1см |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3см/с |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 13 – Траектория и вектор скорости точки М
Т.к. проекции скорости на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени, то для нашего случая получаем:
|
|
|
dx |
|
πt |
v |
x |
= |
|
= −4π sin |
; |
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dy |
|
πt |
v |
y |
= |
|
= 2π cos |
. |
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
31
При t =1с:
vx = −10,89 см/с; vy = 3,14 см/с.
Теперь на графике от точки М откладываем соответствующие проекции скорости в выбранном масштабе. При этом проекцию вектора скорости на ось x
откладываем в сторону отрицательных значений оси x. Диагональю построенного прямоугольника является сам вектор скорости (рисунок 13). По модулю скорость определяется по формуле:
v = 
vx2 + v2y = 
(−10,89)2 + (3,14)2 = 12,57 см/с.
Полученный вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки.
Т.к. проекции ускорения на координатные оси равны производным от соответствующих проекций скорости точки по времени, то для нашего случая получаем:
ax = |
dv |
x |
|
= −4π |
|
|
πt |
|
|
|
2cos |
; |
|||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|||
a y = |
dvy |
|
= −2π |
2 |
|
πt |
||
|
|
|
|
sin |
. |
|||
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|||
При t =1с:
аx = −19,72 см/с;
аy = −17,09 см/с.
32
Теперь на графике (рисунок 14) от точки М откладываем соответствующие проекции ускорения в выбранном масштабе. По модулю ускорение определяется по формуле:
а = 
аx2 + а2y = 
(−19,72)2 + (−17,09)2 = 26,09 см/с2 .
Модуль тангенциального ускорения определяем по формуле [2]:
a = |
vx ax |
+ |
vy ay |
= |
(-10,89) ×(-19,72) + 3,14 ×(-17,09) |
= 12,82 см/с2 |
. |
|
|
|
|
||||
τ |
v |
|
12,57 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Положительные знак тангенциального ускорения указывает на то, что движение точки ускоренное, т.е. вектора аτ и v сонаправлены (рисунок 14).
y
|
τ |
|
|
|
|
|
aτ |
|
|
2 |
аx· |
М |
|
|
|
|
|
||
|
а |
|
|
|
|
|
аy·ј |
|
|
|
2 |
an |
6 |
x |
-1 |
|
Гл n |
|
|
8см/с2
Рисунок 14 – Вектор ускорение точки М
Модуль нормального ускорения равен:
|
|
= |
a2 − a2 |
= |
|
= 22,7 см/с2 . |
а |
n |
26,092 −12,822 |
||||
|
|
τ |
|
|
|
33
Вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору тангенциального ускорения и направлен в сторону вогнутости кривизны траектории.
При построении на рисунке векторов тангенциального и нормального ускорений необходимо выполнение следующего равенства:
а = аx ×i + аy × j = аτ + аn .
Радиус кривизны определяем из формулы:
ρ = v2 = 12,572 =
an 22,7
6,96 см.
1.3.1.4 Задача 4
Закон движения точки в пространстве имеет вид:
x =y =
z =
et × t 2 - 2,
sin(t) + t 2 - 2, м. 5(cos(t) -1).
Для момента времени 0,5 с определить скорость, ускорение,
тангенциальное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся системой MathCAD. Введем начальные данные (рисунок 15). Определим скорость точки (рисунок 16).
Определим ускорение точки (рисунок 17), тангенциальное и нормальное
34
ускорения точки (рисунок 18), радиус кривизны траектории для данного положения точки (рисунок 19).
Рисунок 15 – Ввод начальных данных
Рисунок 16 – Определение скорости точки
35
Рисунок 17 – Определение ускорения точки
Рисунок 18 – Определение тангенциального и нормального ускорений точки
36
Рисунок 19 – Определение радиуса кривизны траектории
1.3.1.5 Задача 5
|
|
Ускорение точки |
в декартовых координатах задано выражением |
|||
|
|
= 0,5ti |
+ 0,2t 2 |
|
, см/с2. |
|
|
|
j |
Определить модуль ускорения точки в момент времени |
|||
а |
||||||
t = 2 с.
Решение:
Модуль полного ускорения определяется по формуле:
а = 
аx2 + аy2 + аz2 .
Т.к. ускорение точки в общем виде записывается:
37
а = аx i + аy j + аz k ,
то в данной задаче проекции ускорения на соответствующие оси координат будут иметь следующие значения:
аx = 0,5t ; ay = 0,2t 2 ; az = 0 .
Значения проекций ускорения на координатные оси при t=2 c равны:
аx = 1 см/с2; ay = 0,8 см/с2.
Полученные значения проекций подставляем в формулу для определения модуля полного ускорения точки:
а = 
12 + 0,82 = 
1,64 = 1,28 см/с2 .
1.3.1.6 Задача 6
|
|
Скорость |
точки в декартовых |
координатах задана выражением |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,9ti |
+ t 2 j , |
см/с. Определить модуль |
ускорения точки в момент времени |
|||
v |
||||||||
t = 1,5 с.
Решение:
Проекции скорости на соответствующие оси координат будут равны:
vx = 0,9t ; vy =t 2 ; vz = 0 .
38
Зная проекции вектора скорости, определим значения проекций вектора ускорения в момент времени t = 1,5 с:
аx = |
dvx |
= 0,9 |
2 |
= |
dvy |
= 2t = 3 |
2 |
= |
dvz |
= 0 . |
|
|
см/с ; аy |
|
см/с ; аz |
|
|||||||
dt |
dt |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные значения проекций вектора ускорения подставим в формулу для определения модуля полного ускорения:
а = 
аx2 + аy2 + аz2 = 
0,9 2 +32 = 
9,81 = 3,13 см/с2.
1.3.2 Решение задач при задании движения точки естественном способом
1.3.2.1 Задача 1
Точка движется по горизонтальной прямой по закону s = 3t 2 − 4t + 5 , см.
Определить положение точки на траектории, а также скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с.
Решение:
В данной задаче движение заданно естественным способом. Для определения положения точки в момент времени t = 2 с, достаточно подставить это значение времени в закон изменения дуговой координаты: s = 3t2 − 4t + 5 = 4 см,
и отложить, в выбранном масштабе, на траектории движения (рисунок 20).Т.к.
величина s имеет положительное значение, то откладывать нужно в сторону положительного направления отсчета [4].
39
- О + |
|
|
М |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
v |
|
а |
аτ |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 20 – Траектория, скорость и ускорение точки М
При естественном способе задания движения модуль скорости определяется:
= ds = . = + v s 6t 4
dt
Тогда, для момента времени t = 1 с значение скорости будет:
v = 6 ×1+ 4 = 10 см/с.
Вектор скорости всегда совпадает с направлением движения и направлен по касательной к траектории движения. В данном примере траекторией движения является прямая и скорость имеет положительное значение, поэтому вектор скорости совпадет с траекторией движения и совпадает по направлению с положительным направлением отсчета дуговой координаты.
Определяем модули тангенциального и нормального ускорений, учитывая,
что радиус кривизны траектории ρ = ∞ (траектория движения – прямая линия):
aτ = dv = 6 см/с2; dt
2
an = vρ = 0.
40