Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

2.Два выражения называют тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Используя это определение, выясните, являются ли выражения 2 (х – 1) и 2 х – 2 тождественно равными на множестве:

а) {0, 2, 4, 6};

б) натуральных чисел.

3.Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)2 – n2 делится на 7.

4.Среди следующих записей укажите тождество:

а) ( a, b R) [2 a + 3 b = 6 a b]; б) ( a, b R) [2 a – 3 b = 3 b – 2 a]; в) ( a, b R) [2 a · 3 b = 3 b · 2 a]; г) ( a, b R) [2 a : 3 b = 3 b · 2 a].

5.Докажите, что нижеприведенные высказывания истинны:

а) ( a R) а (2 а + 1) – а2 (а + 2) + (а3 – а + 3) = 3; б) ( a, b, с R) а (b – c) – b (a – c) = c (b – a).

6.Тождество а + b + с = а + с + b можно доказать так:

Действуя аналогично, докажите тождества:

1)а + b + с = b + с + а;

2)а + b + с = с + а + b;

3)а + b + с = b + а + с;

4)а + b + с = с + b + а.

7. Проанализируйте логическую структуру следующих определений и установите, есть ли в них логические ошибки.

а) Уравнение — это когда есть неизвестное число, обозначенное буквой.

б) Уравнения называют равносильными, если множества их корней равны.

в) Корень уравнения — это число, при подстановке которого уравнение обращается в истинное числовое равенство.

81

8.Установите,какиеизследующихпаруравненийравносильны на множестве действительных чисел:

9. Решите уравнения и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

10.Однусторонуквадратаувеличилина8м,другуюуменьшили на 4 м. Выбрав обозначение для стороны квадрата, запишите:

а) длины сторон полученного прямоугольника; б) периметр этого прямоугольника; в) его площадь.

11.Расстояние 23 км от станции до деревни лыжник прошел за 2,5 часа. Первые полтора часа он шел со скоростью на 2 км/ч большей, чем в последний час. Обозначив буквой V скорость лыжника в последний час, составьте выражения для:

а) начальной скорости лыжника; б) пути, пройденного за первые 1,5 часа;

в) всего пути от станции до деревни.

12.Является ли решением неравенства (213 + х) – 191 < 404 – х

число:

а) 96; б) 196; в) 296.

13.Докажите, что выражение а2 – 12 а + 37 при любом действительном значении а принимает положительное значение.

14.Каково значение истинности следующих высказываний

(х R):

82

а) –5 х < –30 х > 6; б) х < 12 х < 10; в) х < 12 х < 20.

15. Равносильны ли на множестве действительных чисел сле-

17. Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см? Укажите одно из таких значений.

8.3. Задания для самоконтроля

Изучив тему «Выражения. Уравнения. Неравенства», студент должен уметь:

•распознавать по записи выражения (числовые и с переменными), числовые равенства и неравенства, уравнения и неравенства с одной переменной;

•уметь применять свойства арифметических операций над числами для тождественных преобразований выражений (числовых и переменной);

•находить значения числовых выражений, заданных на множестве натуральных и рациональных чисел;

83

•обосновывать преобразования уравнений (неравенств), используя теоремы об их равносильности;

•решать несложные уравнения и неравенства с одной переменной.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.Вычислите значение выражения:

а) 21 + (35 · 2 : 8 – 14 : 5); б) (7 · 6 + 4 – 23) : (7 · 9 – 17);

в) (19 + 2) : 14 · 28 – (14 – 100).

2.Какие математические факты (правила, свойства) используются при выполнении тождественных преобразований выражений:

а) порядок арифметических действий; б) переместительное свойство сложения;

в) переместительное свойство умножения; г) сочетательное свойство сложения; д) сочетательное свойство умножения;

е) распределительное свойство умножения относительно сложения;

ж) распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Сформулируйте правило порядка выполнения арифметических действий при нахождении значения выражения и запишите, используя символы, все названные свойства сложения и умножения. Приведите примеры их применения.

3.Кроме свойств сложения и умножения при вычислении значений выражений используют свойства вычитания и деления. Чтобы разобраться с ними, заполните таблицу по аналогии с первой строкой:

84

=68 – (30 + 5) = честь сумму, можно

=68 – 30 – 5 = вычесть из него пер-

=(68 – 30) – 5 = вое слагаемое, а за-

=145 – (100 – 2) =

=(145 – 100) + 2 =

=45 + 2 = 47

=300 : 3 + 27 : 3 = на число, можно раз-

=100 + 9 = 109 делить на это число каждое слагаемое­ и полученные частные сложить

=1028 : (2 · 2) =

=(1028 : 2) : 2 =

=514 : 2 = 257

4. Расставьте скобки так, чтобы равенства были истинными:

а) 4 + 2 · 3 = 18; б) 31 – 10 – 3 = 24; в) 54 – 12 + 8 = 34.

6. Можно ли утверждать, что следующие высказывания истинные:

85

а) ( у R) [5 · (7 у – 2) – 7 (5 у – 2) = 4]; б) ( у R) [4 · (8 а + 3) – 8 (4 а – 3) = 36].

7.Может ли сумма 32 + х быть меньше разности 32 – х? А могут ли они быть равными? Если да, то при каком значении х?

8.Какое из выражений 3 с : 5 и 3 с : 6 имеет большее значение при заданном с? Могут ли значения этих выражений быть равными? Если да, то при каком значении с?

9.Проектная задача: «Тождественные преобразования вы-

ражений в начальном курсе математики»

I. Как определяют понятие числового выражения в начальном курсе математики?

II. Какие задачи, связанные с числовыми выражениями, решают младшие школьники?

III. Каковы теоретические основы тождественных преобразований, выполняемых младшими школьниками?

86

глава 9. ТекстовЫЕ задачИ

9.1. Методы и способы решения текстовых задач

1.Текстовой задачей называют задачу, которая сформулирована на естественном языке, в ней описывается количественная сторона какого-либо процесса, явления или события и требуется найти неизвестное значение некоторой величины по известным другим характеристикам.

Используя данную трактовку понятия «текстовая задача», объясните,почемуследующиезадачиможносчитатьтекстовыми.

а) В столовую привезли 9 банок сока по 3 л в каждой и 10 банок сока по 2 л в каждой. Сколько всего литров сока привезли в столовую?

б) Путешественники проехали всего 860 км, из них на автобусе на 460 км меньше, чем на поезде. Сколько часов они были

впути, если скорость автобуса 50 км/ч, а поезда — 66 км/ч?

2.В задачах из упражнения 1 выделите условия и требования.

3.Можно ли следующие тексты назвать текстовыми задачами? а) Катя пришла в гости к бабушке. У нее она нашла интерес-

ную книгу. Сначала она прочитала 18 страниц, а потом — еще 13. Сколько километров прошла Катя?

б) На первой полке лежали 40 книг, на второй — 30, а на тре- тьей—на6книгбольше,чемнавторой.

4.Решение текстовой задачи складывается из трех этапов: составление математической модели, работа с составленной моделью, формулирование ответа на вопрос задачи. Какой может быть математическая модель текстовой задачи, если она решается:

а) арифметическим методом; б) алгебраическим методом; в) геометрическим методом?

5.Известно, что в 4-м классе а — мальчиков и b — девочек. Запишите в таблице для каждой реальной ситуации математическую модель:

87

3.Девочек на 5 меньше, чем мальчиков

4.Девочекв2разабольше,чеммальчиков

5.Девочек в 3 раза меньше, чем мальчиков

6.Если в данный класс придут еще одна девочка и три мальчика, то девочек и мальчиков станет поровну

7.Если из класса уйдут три девочки, то мальчиков станет в 2 раза больше

6.Решитьоднуитужетекстовуюзадачуразличнымиарифметическими способами — это значит составить для нее различные математические модели, используя арифметические действия над числами.

Используя сказанное, решите различными арифметическими способами следующие задачи для второклассников1:

а)Дляозеленениягородаребятапосадили37липи56берез.Несколько деревьев они посадили у школы, а остальные — в парке. Сколько деревьев посадили у школы, если в парке посадили 23 дерева?

б) Ребятам нужно было раскрасить 65 картинок. Сначала они раскрасили несколько картинок и пошли играть. После отдыха дети раскрасилиеще20картинок,послечегоимосталосьраскраситьеще 40 картинок. Сколько картинок ребята раскрасили до отдыха?

7.Решить одну и ту же текстовую задачу различными алгебраи- ческимиспособами—этозначитсоставитьдлянееразличныеурав- нения (системы уравнений).

1 Задачи взяты из пособия: Туркина В.М. Как развивать математические способности у учащихся начальной школы / В.М. Туркина. – М.: АРКТИ, 2007.

88

Используя сказанное, решите различными алгебраическими способами следующие текстовые задачи:

а)Натрехполкахстояткниги.Напервойна4книгименьше,чем на второй, а на третьей в два раза меньше, чем на первой и второй вместе. Сколько книг стоит на каждой полке, если их всего 96?

б) Скорость движения пешехода на 8 км/ч меньше скорости движения велосипедиста. Одно и то же расстояние велосипедист проехал за 2 часа, а пешеход прошел за 6 часов. Каковы скорости пешехода и велосипедиста?

8.Решение следующих задач1 запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение.

а) Из двух домов, расстояние между которыми 2 км 400 м, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через10минут.Одинпешеходшелсоскоростью140м/мин.Скакой скоростью шел другой?

б) В 9 утра два катера отошли от пристани в противоположных направлениях. В 14 часов расстояние между ними было 320 км.

Скакой скоростью шел первый катер, если скорость второго была

45 км/ч?

9.Каждую из нижеприведенных задач решите арифметическим и алгебраическим методами.

а) Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Первый изготовлял в день на 2 детали больше второго и работал 7 дней, а второй — 8 дней. Сколько деталей в день изготовлял каждый рабочий?

б)Затри днябылопродано830кгапельсинов.Вовторойдень продали на 30 кг меньше, чем в первый, а в третий в 3 раза больше, чем во второй. Сколько килограммов апельсинов было продано в первый день?

в) В двух вагонах пригородного поезда ехало 65 пассажиров. Настанцииизпервоговагонавышли3человека,извторогов4раза больше. После этого в вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне до остановки?

1 Задачи взяты из учебника: Истомина Н.Б. Математика. 3 класс / Н.Б. Истомина. – М.: Ассоциация XXI век, 2011.

89

10.Докажите, что следующие задачи имеют одну и ту же математическую модель.

а) За три дня собрали 1 000 кг фруктов. Во второй день собрали

в2 раза больше, чем в первый, а в третий — на 100 кг больше, чем во второй. Сколько килограммов фруктов собрали в первый день?

б) В трех бочках находится 1 000 л бензина. В первой бочке бензина в 2 раза меньше, чем во второй, а в третьей — на 100 л больше, чем во второй. Сколько литров бензина находится в первой бочке?

11.Можно ли утверждать, что следующие две задачи имеют одну и ту же математическую модель?

а)Двуммашинисткамнужнобылонапечататьt страниц.Одна из них печатала а страниц в час, а вторая b страниц в час. Сколько страниц им останется напечатать через с часов?

б) В магазин привезли t килограммов кофе в двух видах упаковки по акг и b кг в каждой. Сколько килограммов кофе останется в магазине, если продали по с упаковок каждого вида?

12.Объясните, почему следующие задачи1 решить нельзя.

а) Таня собирала ягоды в саду. Она набрала две пол-литровые банки смородины и пять стаканов малины. Сколько ягод собрала Таня?

б) В автобусе ехали 37 человек. Сколько человек осталось в автобусе, после того как вышли 40 человек?

в) В Москве 82 солнечных дня в году. Это в 5 раз меньше, чем

вНеаполе. Сколько солнечных дней в Неаполе?

13.О каком процессе идет речь в задаче; какие величины его характеризуют, в какой зависимости они находятся:

Магазин продал в первый день 14 ящиков винограда, а во второйдень18такихжеящиков.Вовторойденьбылопроданона32кг винограда больше, чем в первый. Сколько килограммов винограда

было продано в первый день и сколько во второй?

1 Задачи а) и б) взяты из пособия: Туркина В.М. Как развивать математические способности у учащихся начальной школы / В.М. Туркина. – М.: АРКТИ, 2007. Задача в) — из пособия: Финкельштейн В.М. Что делать, когда решить задачу не удается / В.М. Финкельштейн. – М.: ИЛЕКСА, 2008.

90