Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

Глава 7. Алгебраические операции на множестве

7.1. Понятие алгебраической операции

1.Назовитеоперации,которыевыумеетевыполнятьнад:а)числами;б)множествами;в)высказываниями.Разъяснитесмыслумножения натуральных чисел. Верно ли, что вычитая из целого числа целое, мы всегда будем получать целое число?

2.Алгебраической операцией на множестве Х называется соответствие­ , при котором каждой упорядоченной паре элементов из множества Х сопоставляется единственный элемент того же множества.

Используя данное определение, объясните, почему умножение является алгебраической операцией на множестве натуральных чисел, а деление — не является.

3.Х—множествобуквлатинскогоалфавита,А={a,b,c,d,e,f}, B={e,f,m,n}.ИзкакихэлементовсостоятмножестваА∩В,А В

иА\В?Являютсялипересечение,объединениеиразностьалгебраическими операциями на множестве Х?

4.Образуйте конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний А и В, если А — «6 > 5», В — «6 — число нечетное». Каково значение истинности полученных высказываний?

5.НамножествеZ целыхчиселзаданыоперации:сложение,вычитание, умножение и деление. Какие из них являются алгебраическими на множестве Z?

6.Операция «*» задана на множестве Z целых чисел при помощи формулы х * у = х + 2 у.

а) Найдите результат операции при х = –10, у = 5.

б) Является ли операция «*» алгебраической на множестве Z?

7.На множестве натуральных чисел рассматриваются операции: возведение в степень, нахождение предшествующего числа, нахождение наибольшего общего делителя. Какие из них являются алгебраическими на этом множестве?

8.На множестве Х рассматривается операция деления. Будет ли она алгебраической, если: а) Х = Z; б) X = Q+; в) X = R?

71

9. Докажите, что деление с остатком не является алгебраической операцией на множестве Z0 целых неотрицательных чисел.

10. Является ли алгебраической операцией сложение натуральных чисел вида 3 р (р N)? А сложение чисел вида 3 р + 1 (р N)?

11.Являетсялиалгебраическойоперациейумножениенатуральных чисел 4 n (n N)? А умножение чисел вида 4 n + 3 (n N)?

7.2. Свойства алгебраических операций

1. Алгебраическую операцию «*», заданную на множестве Х, называют ассоциативной, если для любых элементов х, уи z из множества Х выполняется равенство (х * у) * z = х * (у * z).

Используя данное определение, запишите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел и покажите, какие преобразования­ выражения 25 · 4 · 7 можно выполнить на основе этого свойства.

2. Какие преобразования выражения (х * у) * z можно выполнять, зная, что операция «*» ассоциативна?

3. Существуют ли алгебраические операции, которые свойством ассоциативности не обладают?

4. Алгебраическую операцию «*», заданную на множестве Х, называют коммутативной, если для любых двух элементов х и у из множества Х выполняется равенство х * у = у * х.

Используя это определение, запишите свойство коммутативности умножения натуральных чисел и объясните, как можно найти значение выражения 4 · 125.

5. Существуют ли алгебраические операции, которые свойством коммутативности не обладают?

6.Алгебраическуюоперацию«○»называютдистрибутивнойотносительно алгебраической операции «*», если для любых элементов х, у и z из множества Х выполняются равенства: (х * у) ○ z =

= (х ○ z) * (y ○ z) и z ○ (х * у) = (z ○ х) * (z ○ у).

Используя это определение, запишите свойство дистрибутивности умножения натуральных чисел относительно сложения и по-

72

кажите, какие преобразования выражений 17 (4 + 5) и 3 · 12 + 5 · 12 можно выполнить, используя это свойство.

7. Воспроизведите словесные формулировки определений следующих понятий:

8.Используя определения из задания 7, объясните, почему 1 яв- ляетсянейтральнымэлементом,а0—поглощающимэлементомот- носительно умножения целых неотрицательных чисел.

9.В алгебре симметричный элемент для сложения называют противоположным для х и обозначают –х, а симметричный элемент для умножения называют обратным для хи обозначают 1 / х.

Верно ли, что:

а) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям;

б) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных слагаемым;

в) число, противоположное произведению двух чисел, равно произведению чисел, противоположных множителям;

г) число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме чисел, противоположных слагаемым?

10.Вычитание целых неотрицательных чисел можно определить как операцию, обратную сложению:

х– у = z у + z = х.

Дайте словесную формулировку этого определения и объясните, что значит вычесть:

а) из числа 670 число 230; б) число 35 из числа 61.

73

11.Существует ли на множестве Zцелых чисел операция, обратная вычитанию?

12.Операция «*» задана на множестве Z целых чисел при помощи формулы: х * у = х – у +х у.

а) Найдите результат операции при х = 2, у = –3.

б) Докажите, что операция «*» является алгебраической на множестве Z.

в) Установите, является ли операция «*» коммутативной на этом множестве.

13.Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Запишите эти свойства, используя соответствующую символику, дайте их словесную формулировку и приведите примеры применения данных свойств.

14.Множество, на котором задана алгебраическая операция, называют группой, если операция ассоциативна, относительно этой операции в множестве есть нейтральный элемент, и для каждого элемента множества существует симметричный элемент.

Используя данное определение, установите, какие из следующих множеств можно назвать группой.

а) Множество N натуральных чисел относительно сложения. б) Множество N натуральных чисел относительно умножения. в) Множество Z целых чисел относительно сложения.

7.3.Задания для самоконтроля

Изучив тему «Алгебраические операции на множестве», студент должен уметь:

•объяснять,почемусложениеиумножениеявляютсяалгебраи­ ческими операциями на множестве целых неотрицательных чисел,

авычитание и деление не являются;

•записывать свойства коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности алгебраических операций, заданных на мно-

жестве Х, и объяснять их назначение;

74

• объяснять, что для сложения целых неотрицательных чисел обратной операцией является вычитание, а для умножения — деление.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания:

1.На множестве целых чисел Z заданы умножение, деление, вычитание. Какие из них являются алгебраическими операциями на множестве Z?

2.Является ли алгебраической операцией умножение натуральныхчиселвида5q(q N)?Аумножениечиселвида5q+3(q N)?

3.Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению, и объясните, что значит разделить:

а) 75 на 25; б) 56 на 8; в) 64 на 64; г) 0 на 15.

4.Среди следующих операций назовите коммутативные и сделайте соответствующие записи:

а) пересечение множеств; б) декартово произведение множеств;

в) дизъюнкция высказываний; г) сложение целых чисел.

5.Средиследующихоперацийназовитеассоциативныеисделайте соответствующие записи:

а) объединение множеств; б) умножение целых чисел;

в) конъюнкция высказываний; г) разность множеств.

6.Преобразуйте следующие выражения, применяя дистрибутивное свойство:

7. На множестве целых чисел вида 3 q (q N) задана операция умножения. Докажите, что она алгебраическая на этом множестве и обладает свойствами коммутативности и ассо­ циативности.

75

8. Проектная задача: «Сложение и умножение целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики как алгебраические операции»

I. Какие задания в учебниках математики для начальных классов могут помочь младшим школьникам увидеть сходство сложения и умножения как алгебраических операций?

II. Какие свойства сложения и умножения изучают школьники в начальном курсе математики?

III.Изучают ли в начальном курсе математики нейтральные

ипоглощающие элементы относительно сложения и умножения?

76

Глава 8. Выражения. Уравнения. Неравенства

8.1. Числовые выражения, равенства и неравенства

1.Среди следующих высказываний укажите истинные и ложные. Для ложных постройте отрицание.

а) Любое числовое выражение содержит знаки операций. б) Каждое числовое выражение содержит скобки.

в) Некоторые числовые выражения не имеют смысла.

г) Существуют числовые выражения, которые содержат знак равенства.

2.Постройте граф соответствия между множеством математических записей (левый столбик) и множеством их названий (правый столбик):

77

Разбейте эти выражения на два класса различными способами. Для каждого случая укажите основание классификации.

5.Даны выражения: 42 – (12 + 9), (50 + 8) – 20, (65 + 17) – 7.

Как изменится значение каждого выражения, если в нем: а) убрать скобки; б) сумму чисел в скобках заменить их разностью;

в) по-другому расставить скобки?

6.Сравните выражения:

а) 36 : 9 + 18 · 3 и 11 · 9 – 120 : 3; б) 18 543 + (37 + 84) и 18 543 + (29 + 84); в) 6 545 : 5 + 121 и 101 · 3 – 4.

7.Какие из следующих неравенств истинные:

а) 479 · 24 < 478 · (3 · 9); б) 356 · 10 · 6 > 356 · 16;

в) 296 · 80 > 296 · 10 + 296 · 8; д) 134 · 19 < 134 · 9 · 10.

8.Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения нижеприведенных выражений:

а) 607 + 320 … 320 + 607; б) 374 + (205 + 173) … (374 + 205) + 173;

в) 634 + (207 + 46) … (634 + 46) + 207?

Какие свойства сложения были использованы?

9.Какие свойства умножения натуральных чисел являются основой следующих приемов вычислений:

а) 25 · 47 · 4 = 47 · 25 · 4 = 47 · (25 · 4) = 47 · 100 = 4 700. б) 25 · 12 = 25 · (4 · 3) = (25 · 4) · 3 = 100 · 3 = 300.

в) 12 · 15 = 12 · (10 + 5) = 12 · 10 + 12 · 5 = 120 + 60 = 180.

10.Верно ли, что значения выражений, записанных в каждом столбике, одинаковы:

78

13.Запишите в виде равенств следующие высказывания: а) 7 больше 4 на 3; б) 7 меньше 9 на 2;

в) 12 больше 4 в 3 раза; г) 12 меньше 24 в 2 раза.

14.Известно,чтоa=b—истинноечисловоеравенство.Прика- ких действительных значениях х будут истинны следующие числовые равенства:

а)а+х=b+х; б)а·х=b·х; в)а–х=b–х; г)а:х=b:х?

15.Запишите следующие свойства истинных числовых равенств при помощи символов:

а) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

б) Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

16.Известно, что а < b — истинное числовое неравенство. Прикакихдействительныхзначенияххбудутистиннымиследующие числовыенеравенства:

а) а + х < b + х; б) а · х < b · х; в) а – х < b – х; г) а : х < b : х? 17. Дайте словесную формулировку следующих свойств ис-

тинных числовых неравенств:

а) f < g f + h < g + h;

79

б) f < g f · h < g · h, h > 0;

в) f < g f · h < g · h, h < 0, где f, g, h — числовые выражения,

имеющие смысл.

18.Данынеравенства:а)37≤40;б)17≤17;в)21≤11;г)21≥11.

Прочитайте каждое из этих неравенств двумя способами:

• используя союз «или»;

• с помощью слов «не больше» или «не меньше». Определите их значения истинности.

19.Купили 12 тетрадей, по 30 р. каждая, и 8 блокнотов по 40 р. за штуку. Какой смысл имеют следующие выражения:

20. Составьте выражения для решения задачи:

а) Было куплено 5 тетрадей по 8 руб. и 2 тетради по 15 руб. Сколько стоит вся покупка?

б)Школазаказаладляэкскурсии9автобусовизрасчета32человеканаавтобус.Ноавтобусовпришлона1меньше.Сколькочеловек пришлось посадить в каждый автобус?

8.2. Уравнения и неравенства с одной переменной

1. Постройте граф соответствия между множеством математических записей (левый столбик) и множеством их названий (правый столбик):

80