Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

г) Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

д) В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. И наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

2.Дана теорема: «Вертикальные углы равны». Существует ли теорема:

а) обратная данной; б) противоположная данной;

в) обратная противоположной?

3.Вначальномкурсематематикислово«теорема»невстречается,ноестьматематическиеправила.Вчемотличиематематического правила от теоремы?

Установите соответствие между правилами1, которые изучают младшие школьники, и теоремами, которые есть в математике:

1 Правила взяты из учебника: Истомина Н.Б. Математика: учебник для 3 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация

XXI век, 2008.

41

4. Какие теоремы соответствуют следующим правилам, которые изучают младшие школьники?1

а) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

б) От перестановки множителей значение произведения не изменяется.

3.5. Задания для самоконтроля

Изучив тему «Математические предложения», студент должен уметь:

•выявлять логическую структуру высказываний (высказывательных форм);

•находить значение истинности составных высказываний;

•определятьспособыустановлениязначенияистинностивысказываний с кванторами;

•строить отрицание высказываний различной структуры;

•использовать определения понятий при решении задач на распознавание;

•устанавливать наличие (отсутствие) отношения логического следования (равносильности) между высказывательными формами;

•выделять условие и заключение в теоремах, сформулированных со словами «всякий», «необходимо», «достаточно» и др.;

•распознавать в начальном курсе математики высказывания

ивысказывательные формы, высказывания с кванторами, грамотно формулировать математические правила.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.Даны выражения:

1 Правилавзятыизучебника:ИстоминаН.Б.Математика:учебникдля2класса общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация

XXI век, 2009.

42

Относительно этих выражений ниже приведены высказывания. Установите их значение истинности.

а) Число 28 в четыре раза больше числа 7.

б) Среди выражений есть такие, значения которых равны. в) Среди выражений есть только два, значения которых —

четные числа.

г) Все выражения имеют смысл на N.

д) Каждое выражение есть частное двух натуральных чисел. е) Числовое значение некоторых выражений — двузначное

Дополните нижеприведенные утверждения словами («все», «некоторые») так, чтобы они были истинными:

а) … выражения содержат действие деления; б) … выражения содержат действия двух ступеней;

в) … выражения содержат три арифметических действия; г) значение … выражений — однозначное число.

3.Выявите структуру высказывания, постройте его отрицание, определите значение истинности данного высказывания и его отрицания:

а) Некоторые числа кратны 7.

б) Существует ромб, в котором диагонали равны. в) Во всяком параллелограмме диагонали равны.

4.Для доказательства каких из следующих утверждений необходимо провести рассуждения в общем виде, а для каких достаточно привести пример?

а) В любом параллелограмме сумма противоположных углов равна 180°.

б) Существует ромб, диагонали которого равны.

в) В некоторых треугольниках все высоты делят противопо-

ложную сторону пополам.

г) Всякое число, кратное 4, кратно 2.

43

5. Какие фигуры, приведенные на рисунке 3.3, являются прямоугольниками?

Рис. 3.3

6. Проектная задача: «Высказывания с кванторами в начальном курсе математики»

I. Приведите примеры высказываний с квантором общности из разных учебников математики для начальной школы.

II. Как устанавливают значение истинности таких высказываний в начальном курсе математики?

III. Почему для учителя важно уметь распознавать высказывания с кванторами общности?

44

Глава 4. Математические доказательства

4.1. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений

1.Умозаключение — это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, выводится высказывание, содержащее новое знание, называемое заключением.

Используя данное определение, выделите в нижеприведенных умозаключениях посылки и заключение.

а) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Число 260 оканчивается нулем. Следовательно, 260 кратно 10.

б) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Если число кратно 10, то оно четное. Следовательно, если запись числа оканчивается нулем, то оно четное.

в) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Число 263 не кратно 10. Следовательно, оно не оканчивается нулем.

2.Дедуктивным называют умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в дедуктивном умозаключении истинность посылок гарантирует истинность заключения.

Дедуктивные умозаключения можно строить по правилам. Например, таким:

A(x) B (x), B (x) C (x) — правило силлогизма. A(x) C (x)

45

а) Объясните, что обозначают все символы, использованные в записи этих правил.

б) Выясните, являются ли дедуктивными умозаключения из задачи 1, и заполните следующие таблицы:

Общая посылка А (х) В (х) Частная посылка А (a)

Заключение В (а)

Общая посылка А (х) В (х)

Частная посылка

¯¯¯¯В (a)

Заключение

¯¯¯¯А (а)

Общая посылка

А (х) В (х) Общая посылка

В (х) С (х) Заключение

А(х) С (х)

3.Определите логическую структуру следующих умозаключений. Укажите, какие из них построены по правилу заключения (отрицания, силлогизма):

а) Во всяком прямоугольнике противоположные стороны равны. Четырехугольник ABCD — прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны.

б) Все прямоугольники являются параллелограммами. Во всех параллелограммах противоположные стороны равны.

46

Следовательно, в любом прямоугольнике противоположные стороны равны.

в) Все числа, кратные 2, являются четными. Число 17 не является четным. Следовательно, оно не делится на 2.

г) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники ABC и MNPимеют равные площади. Следовательно, они равны.

4. Закончите умозаключение так, чтобы оно было дедуктивным. а) Все квадраты — прямоугольники. Все прямоугольники —

многоугольники. Следовательно, … .

б) В любом прямоугольнике сумма внутренних углов 360°. ЧетырехугольникABCD — … .

в) Во всяком прямоугольнике сумма внутренних углов 360°.

ВчетырехугольникеABCD — … .

5.Восстановите общую посылку в умозаключении.

а) В четырехугольникеABCD диагонали равны. Следовательно,ABCD — прямоугольник.

б) Число 23 — нечетное. Следовательно, оно не делится на 2.

6.Проверьте правильность умозаключений из задачи 5 при помощи кругов Эйлера.

7.Постройте дедуктивное умозаключение, в котором заключением является утверждение:

а) 135 делится на 5; б) 237 не делится на 5;

в) прямоугольникABCD — квадрат;

г) прямоугольникABCD не является квадратом.

8.Является ли дедуктивным следующее рассуждение учащегося: «Сложение можно проверить вычитанием: 57 + 8 = 65. Проверка: 65 – 8 = 57. Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит, сложение выполнено верно»?

9.Является ли дедуктивным следующее умозаключение: «Любой четырехугольник является многоугольником. Фигура F не является четырехугольником. Следовательно, фигура F не является многоугольником»?

47

4.2. Способы математических доказательств

1.Доказательство—этологическаяоперация,впроцессекото- рой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка дедуктивных умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Проанализируйте, используя данное определение, доказательство теоремы: «Параллелограмм, у которого все углы равны, является прямоугольником».

ПустьABCD — параллелограмм.Но в любомпараллелограмме сумма внутренних углов равна 360°. Следовательно, в данном параллелограммеABCD сумма внутренних углов равна 360°.

Так как в параллелограммеABCD все углы равны, можно узнать величину каждого, разделив 360° на 4 (360° : 4 = 90°), т.е. все углы параллелограммаABCD прямые. А если в параллелограмме все углы прямые, то он прямоугольник.

2.Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.

Выделите в проведенном доказательстве цепочку дедуктивных умозаключений.

3.Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что:

а) если a > b, то 17 a > 17 b; б) если 8 · 6 = 48, то 6 = 48 : 8; в) если 12 – 3 = 9, то 3 = 12 – 9.

4.Докажите следующие высказывания:

а) При делении на 9 любого числа из множества {20, 56, 101} в остатке получается 2.

б) Между числами 200 и 220 имеется 7 чисел, кратных 3. Какой способ доказательства вы использовали?

5. При доказательстве теорем нередко используется метод от противного. Для этого предполагают, что утверждение теоремы неверно, после чего с помощью рассуждений получают противоречие либо с исходным предположением, либо с условием

48

теоремы, либо с известным математическим фактом. Установленное противоречие доказывает справедливость теоремы.

Проанализируйте доказательство следующей теоремы, выделив предположение, рассуждение и установленное противоречие.

Теорема: Любые две различные прямые, принадлежащие плоскости, пересекаются не более чем в одной точке.

Доказательство. Предположим, что число общих точек у двух прямых более одной, тогда они должны совпадать, поскольку (согласно аксиоме) через две точки плоскости можно провести только одну прямую. Но это противоречит условию теоремы — данные прямые различны.

6.Докажитеследующиевысказыванияспособомотпротивного: а) Ни один треугольник не может иметь двух прямых углов. б) В прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла.

7.Можно ли доказать нижеприведенные утверждения, приведя конкретный пример:

а) При умножении единицы на любое натуральное число получают то число, на которое умножали.

б) Существуют уравнения, корень которых равен 6?

8.Докажите нижеприведенные утверждения и выполните логический анализ проведенного доказательства.

а) Диагональ ромба разбивает его на два равных треугольника.

б) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и биссектрисой.

в) В равнобедренной трапеции диагонали равны.

9.Учащимся предлагается вы-

49

10. Школьникам предложено начертить отрезки так, как показанонарисунке4.2.ЗатемнадоточкиА,В,СиDсоединитьтак,чтобы получился четырехугольник. Является лиABCD квадратом?

Рис. 4.2

4.3. Неполная индукция и аналогия

1.Неполнаяиндукция—этоумозаключение,вкоторомнаосно- вании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

а) Почему неполная индукция не является дедуктивным умозаключением?

б) Как следует относиться к выводам, полученным с помощью неполной индукции?

2.Учащийся заполнил таблицу

и сделал выводы:

а) Если первое слагаемое увеличить на 2, а второе оставить без изменения, то сумма увеличится на 2.

б) Сумма всегда больше каждого из слагаемых.

Каков способ рассуждений учащегося? Верные ли он получил выводы?

50