Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

3.Неполную индукцию часто используют с целью выявления закономерностииформулированиягипотезы,которуюзатемлибо доказывают, либо опровергают. Воспользуйтесь этим при решении следующих задач:

а) Верно ли, что разность между двузначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9?

б) Верно ли, что сумма любых четырех последовательных чисел не делится на 4?

4.Учащимся дано задание: «Начертить произвольный пря­ моугольник, провести в нем диагонали и убедиться в том, что диагонали прямоугольника равны.

а) Какое умозаключение выполняют учащиеся, открывая свойство диагоналей прямоугольника?

б) Будут ли при этом рассуждения школьников доказательством данного свойства?

5.Аналогия — это умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии того же признака у другого объекта.

а)Почемуаналогиянеявляетсядедуктивнымумозаключением? б) Как следует относиться к выводам, полученным с помо-

щью аналогии?

6.Выяснив, что (16 – 4) : 2 = 16 : 2 – 4 : 2, ученик решил аналогичнодействоватьпринахождениизначениявыражения(16:4):2и

записал: (16 : 4) : 2 = (16 : 2) : (4 : 2). Прав ли он?

7.На примере сложения чисел 23 и 15 воспроизведите алгоритм сложения столбиком. Можно ли по аналогии сформулировать алгоритм сложения трехзначных чисел?

4.4.Задания для самоконтроля

Изучив тему «Математические доказательства», студент должен уметь:

51

•строить дедуктивные умозаключения, используя правила заключения, отрицания, силлогизма;

•устанавливать правильность умозаключений при помощи кругов Эйлера;

•проводить несложные доказательства, в том числе и методом от противного, а также используя полную индукцию;

•строить умозаключения, используя неполную индукцию и аналогию;

•применятьзнанияоматематическихдоказательствахканализу материала учебников математики для начальных классов.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания:

1.Выделите в умозаключении посылки и заключение, определите правильность каждого умозаключения, ответ обоснуйте.

а) В любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Треугольник АВС — равнобедренный. Следовательно, углы при основании треугольника АВС равны.

б) Во всяком равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Треугольник АВС не является равнобедренным. Следовательно, углы при основании треугольника АВС не равны.

2.Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) 217 не делится на 6; б) 342 делится на 9;

в) дробь 23 меньше 1;

г) 23 · 4 < 23 · 5.

3.Докажите нижеприведенные утверждения, выполните логический анализ проведенного доказательства.

а) Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная

коснованию, является и высотой.

4.Верно ли, что если два равных отрезка пересекаются в их общей середине, то их концы являются вершинами прямоугольника?

52

5.Существует ли такой параллелограмм, который диагональю разбивается на два равносторонних треугольника?

6.Значение выражения 96 : 32 можно найти следующим образом: заменить каждое из двузначных чисел суммой его цифр: 9 + 6 = 15 и 3 + 2 = = 5, а затем разделить первый результат на второй: 15 : 5 = 3.

Аналогично можно установить, что

Можно ли утверждать, что такой пример нахождения частного годится для любых двузначных натуральных чисел?

7. Является ли дедуктивным следующее рассуждение учащегося: «Вычитание можно проверить сложением: 72 – 13 = 59. Проверка: 59 + 13 = 72. К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит, вычитание выполнено верно»?

8. Учащийся заполнил таблицу:

и сделал выводы:

а) Если первый множитель увеличить в 2 раза, а второй оставить без изменения, то произведение увеличится в 2 раза.

б) Произведение всегда больше каждого из множителей. Докажите или опровергните эти выводы.

9. Проектная задача: «Доказательства в начальном курсе математики»

I. Какие способы доказательства используются в начальном курсе математики? Ответы подтвердите примерами.

II. В каких учебниках математики для начальных классов есть задания, предполагающие доказательство?

III. Какими заданиями на доказательство можно дополнить эти учебники?

53

Часть II Соответствия, отношения, операции.

задача и процесс ее решения

Глава 5. Соответствия между двумя множествами

5.1. Способы задания соответствий. Виды соответствий

1.МеждумножествамиX={4,6,8}иY={2,7}рассматривают-

ся различные соответствия: а) х y, где х Х, y Y;

б) х > y, где х Х, y Y; в) х < y, где х Х, y Y.

Для каждого случая перечислите все пары чисел, находящихся в заданном соответствии, и сделайте обобщение: что представляет собой любое соответствие с математической точки зрения.

2.Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ = 4 см, CD = 7 см, MN = 13 см, KL= 18 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие

спомощью предложения с двумя переменными и графа.

3.Между множествами X = {0, 1, 2, 3, 4} иY= {2, 3, 4, 5, 6, 7}

задано соответствие «x меньше y на 4», где х Х, у Y. Перечислите все пары чисел, находящихся в заданном соответ-

ствии, постройте его граф и график на координатной плоскости.

4.СоответствиеSмеждумножествамиX={2,3}иY={6,9,12} задано при помощи графа (см. рис. 5.1). Перечислите все пары чи- сел,находящихсявотношенииS.Можнолиутверждать,чтоS—это соответствие­ «числохявляетсяделителемчислау»,гдех Х,у Y?

5.Взаимно-однозначным соответствием между множествами Х

иY называют такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества Y,

икаждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества Х.

54

Используя данное определение, покажите, что соответствие Р между множествами Х иY, заданное при помощи графа на рисунке 5.2, является взаимно-однозначным.

6.Функциональным соответствием между множествами Х и Y называюттакоесоответствие,прикоторомкаждомуэлементуизмножестваХсопоставляетсянеболееодногоэлементаизмножестваY.

Используя данное определение, покажите, что соответствие F между множествами Х иY, заданное при помощи графа на рисунке 5.3, является функциональным.

7.Учащимся дано задание решить уравнения: х – 3 = 17, 12 : х = 6, х : 4 = 8, 27 – х = 7.

Рис. 5.3

55

Соответствие между какими множествами будет установлено при выполнении этого задания? Является ли оно взаимно-одно- значным? Функциональным?

8.МеждумножествамиX={2·6,10+2,7–3,6–6,0:4,12:1}

иY=Z0 можноустановитьсоответствие:«значениевыраженияхравно числу у», х Х, у Y. Каким оно будет: взаимно-однозначным; функциональным?

9.Школьники выяснили, что числа 1, 2, 3, 4, 5 являются зна-

чениями выражений: 99 – 94, 99 – 95, 99 – 96, 99 – 97, 99 – 98.

Соответствие между какими множествами они установили? Является ли оно взаимно-однозначным? Функциональным?

10.Множества Х и Y называют равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Если равномощные множества Х и Y конечные, то их называют еще равночисленными.

Используя данное определение, покажите, что следующие множества равномощные:

а) Х = {a, b, c, d}, Y = {x, y, z, p};

б) Х — множество углов треугольника АВС, Y — множество сторон треугольника АВС.

11.Покажите с помощью условного рисунка, что решение каждой нижеприведенной задачи связано с выделением равночисленных множеств.

а) К празднику купили 4 красных шарика, а зеленых на 2 больше. Сколько зеленых шариков купили?

б) Школьники вырастили 4 вишни, а яблонь в 2 раза больше. Сколько яблонь вырастили школьники?

5.2. Числовые функции. Прямая и обратная пропорциональности

1. Числовая функция — это соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при кото-

56

ром каждому числу из множестваХ сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции.

Используя данное определение, покажите, что следующие соответствия являются числовыми функциями с областью определения

Х= {1, 2, 3, 4, 5}: а) у = 4 + х; б) у = 6х.

2. Функция f задана с помощью таблицы:

а) Укажите ее область определения и область значений. б) Задайте функцию f с помощью формулы.

в) Постройте график функции f на координатной плоскости. 3. Постройте графики функций у = х + 4 и у = 6х на коорди-

натной плоскости, если их областью определения является:

а) Х = {1, 2, 3, 4, 5}; б) Х = R.

4.Стороны прямоугольника 6 см и х см. Запишите формулу, выражающую зависимость площади (у см2) этого прямоугольника от длины стороны. Задает ли она функцию? Каким будет график этой функции при условии, что длина стороны х не превышает 4 см?

5.Цена одного карандаша 5 р. Запишите формулу, выражающую зависимость стоимости (у р.) от количества (х шт.) купленных карандашей и постройте график этой зависимости при условии, что х ≤ 6.

6.Изучая математику в начальных классах, учащиеся выполняют задания.

а) Найди значения выражений 16 · d, 16 : d, если d = 2, d = 4, d = 8.

б) Периметр квадрата a см. Запиши выражение, обозначающее длину стороны этого квадрата, и найди его значение, если a = 8, a = 12, a = 16.

57

в) Заполни таблицу:

с · 6

Покажите, что в каждом из этих заданий устанавливается соответствие между двумя числовыми множествами, и что это соответ- ствие—функция.Назовитевкаждомслучаеобластьееопределения

иобласть значений.

7.Прямой пропорциональностью называют функцию, которая может быть задана при помощи формулы у = k ∙ х, где k — не равное нулю действительное число.

Используя это определение, покажите, что если скорость движения человека 4 км/ч, то зависимость между временем его движения и пройденным расстоянием есть прямая пропорцио­ нальность.

8.Только прямая пропорциональность у = k ∙ х обладает свойством: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Проиллюстрируйте это свойство прямой пропорциональности на примере решения следующей задачи: «За 2 часа рабочий делает 11 деталей. Сколько таких деталей он сделает за 8 часов, работая с той же производительностью?».

9.Обратной пропорциональностью называют функцию, кото-

рая может быть задана с помощью формулы у = kx (или х ∙ у = k),

где k — не равное нулю действительное число.

Используя это определение, покажите, что если человеку надо пройти расстояние 12 км, то зависимость между скоростью

ивременем его движения есть обратная пропорциональность.

10.Только обратная пропорциональность х ∙ у = k обладает свойством: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у умень­ шается (увеличивается) во столько же раз.

58

Проиллюстрируйтеэтосвойствообратнойпропорциональности напримеререшенияследующейзадачи:«Велосипедистехалсоскоростью 12 км/ч и был в пути 2 часа. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч?».

11. Установите, какая зависимость существует между величинами, данными в задаче. Решите задачу. Способ решения обоснуйте:

а) Два столяра отремонтировали стульев поровну. Первый столяр работал 6 дней, ремонтируя по 10 стульев в день, а второй работал 5 дней. Сколько стульев в день ремонтировал второй столяр?

б) У портнихи из каждых 10 м ситца получались 3 рубашки. Сколько таких рубашек она может сшить из 50 м ситца?

в) В первый день магазин продал 8 одинаковых портфелей и получил за них 3 200 р. Во второй день было продано 4 таких же портфеля. Сколько денег получили за портфели во второй день?

5.3. Задания для самоконтроля

Изучив тему: «Соответствия между двумя множествами», студент должен уметь:

•задавать соответствия между двумя множествами, перечисляя все пары элементов, находящихся в заданном соответствии,

ииспользуя с этой целью таблицы, графы, а для числовых множеств — графики на координатной плоскости;

•называть характеристическое свойство множества всех пар, находящихся в заданном соответствии, используя с этой целью предложения с двумя переменными;

•распознавать взаимно-однозначные соответствия между множествами;

•для заданного соответствия формулировать ему обратное;

•распознавать функциональные соответствия между мно­ жествами;

•применятьопределенияисвойствапрямойиобратнойпропорциональности к решению задач с пропорциональными величинами.

59

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания:

1.Даны множества А = {1, 3}, В = {2, 4, 5}. Перечислите элементы А × В, которые задают отношения:

а) «больше»; б) «меньше»; в) «быть делителем».

2.Между множествами Х = {2 · 6, 10 + 2, 7 – 3, 6 – 6, 0 : 4,

12 : 1} иY= Z0 установлено соответствие «значение выражения х равно числу у», х Х, у Y. Является ли оно взаимно-однознач- ным? Функциональным?

3.Х — множество числовых выражений, Y = Z0. Сформулируйте условия, при которых соответствие «выражение х имеет значение у» будет взаимно-однозначным.

4.Маша купила 5 карандашей, а Таня на х карандашей меньше. Сколько карандашей (у) купили Маша и Таня вместе? Объясните, почему зависимость между данными величинами х и у является функцией; постройте ее график.

5.Соответствие между значениями х и у задано с помощью таблицы:

Чему равны значения k и р?

7. Известно, что длина прямоугольника равна 4 см, а ширина изменяется, принимая численные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (см). Покажите, что соответствие между значениями ширины прямоугольника и его площади есть прямая пропорциональность. Задайте эту функцию формулой; укажите ее область определения и область значений.

60