Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

9.2. Основные этапы процесса решения текстовой задачи арифметическим методом

1.Выполните анализ нижеприведенных задач по следующему плану:

• назовитепроцесс,рассматриваемыйвзадаче,егообъектыи величины, их характеризующие;

• сформулируйте условия и требования задачи;

• постройте вспомогательную модель задачи.

а)Вмагазинезаденьпродано750кгкартофеля.Дообедапродано в 2 раза больше, чем после обеда. Сколько картофеля продано после обеда?

б) На пододеяльник истратили в 2 раза больше ткани, чем на простыню, и на 3 м больше, чем на наволочку. Сколько истратили ткани на каждое изделие, если всего израсходовали 7 м?

2.Покажите, что для следующих задач может быть построена одна и та же вспомогательная модель.

а) Кусок полотна в 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной была на 12 м больше, чем другой. Сколько метров полотна будет в каждой части?

б) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезли в школу?

в) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и девочек в отдельности участвовало в соревнованиях?

3.Постройтеграфическуюмодельзадачи:«Впоезде17вагонов. Купейных вагонов на 3 больше, чем плацкартных. Сколько вагонов каждого вида в поезде?». Используя эту модель, составьте план решения задачи.

4.Постройте графическую модель задачи: «Ученик затратил на подготовку уроков 1 час 50 минут. Занятия русским языком заняли на 15 минут больше, чем математикой. Сколько времени ушло на подготовку каждого предмета отдельно?». Используя эту

91

модель, составьте план решения задачи и запишите его по действиям с пояснением.

5. Решение следующих задач запишите в виде числового выражения и найдите его значение.

а) Из гаража утром выехало в рейсы 48 машин. После обеда вернулось 19 и в гараже стало 52 машины. Сколько машин было в гараже первоначально?

б)Однамашинисткапечатает10страницвчас,другаяза5часов печатает столько же страниц, сколько напечатает первая за 4 часа. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 часа совместной работы?

6. Для каждой задачи постройте вспомогательную модель, решение запишите по действиям с пояснением, выполните проверку.

а) Папа в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет младше папы. Сколько лет папе?

б) На солнышке грелись несколько кошек. У них вместе ног на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

в) С трех участков собрали 348 т картофеля. С первого и второго — поровну, а с третьего участка собрали на 12 т больше, чем с каждого их первых двух. Сколько тонн картофеля собрали с каждого из трех участков?

г) На двух полках 72 книги. Когда с первой полки переставили на вторую 14 книг, то книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

д) На первом складе в два раза больше муки, чем на втором. Когда из первого склада вывезли 48 т, а из второго 11 т, то муки на складах стало поровну. Сколько муки было на первом складе первоначально?

е) На одной чашке весов пакет с конфетами, а на другой — с печеньем. Масса двух пакетов 1 200 г. Если отсыпать 100 г конфет и 200 г печенья, то весы придут в равновесие. Сколько граммов конфет и печенья в каждом пакете?

7. Даны две задачи:

а) По дороге движутся навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Сейчас расстояние между ними 52 км. Скорость пеше-

92

хода 4 км/ч, а скорость велосипедиста 9 км/ч. Через сколько часов пешеход и велосипедист встретятся?

б) Столяр и его помощник должны сделать 52 рамы. Столяр в день делает 9 рам, а его помощник — 4. За сколько дней столяр

иего помощник изготовят все рамы?

Вчем сходство и различие этих задач? Какими могут быть для них вспомогательные модели? Каковы теоретические основы сходства вспомогательных моделей данных задач и совпадения математических моделей?

8.Решите задачу различными способами:

Впассажирском вагоне 9 купе, часть из них двухместные, а остальные четырехместные. Сколько купе каждого типа в вагоне, если всего в них можно разместить 28 пассажиров?

9.3.Задачи «на части»

1.К задачам «на части» относят такие текстовые задачи, в которых рассматриваются величины, состоящие из частей. Приняв подходящую величину за 1 часть, определяют, из скольких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.

Установите, какие из нижеприведенных задач можно отнести к задачам «на части». Ответ обоснуйте.

а) Для спортивного клуба купили 80 больших и маленьких мячей, причем больших в 4 раза меньше, чем маленьких. Сколько купили больших мячей?

б) Мастер отрезал от провода четвертую часть. Сравнив получившиеся части провода, он узнал, что одна из них длиннее другой на 36 см. Какова первоначальная длина провода?

в) Маме и дочке вместе 36 лет, дочке и бабушке вместе 61 год, амамеибабушкевместе81год.Скольколетбабушке,мамеидочке?

г) Совершая однодневный поход, школьники сделали привал. Обсудив дальнейший маршрут, они пришли к выводу, что им

осталось пройти путь, в 3 раза меньший, т.е. на 24 км короче, чем пройденный. Какова длина всего туристического маршрута?

93

д) В детском саду имеется 20 велосипедов — трехколесных и двухколесных. У всех велосипедов 55 колес. Сколько двухколесных велосипедов в детском саду?

2.Для задач «на части» из задания 1 постройте вспомогательные модели с помощью отрезков и выделите отрезок, обозначающий 1 часть. Решите данные задачи арифметическим методом, выполнив анализ с использованием построенной модели.

3.Постройте вспомогательные модели и с их помощью найдите решения следующих задач:

а) В одном зале кинотеатра в 2 раза больше зрителей, чем

вдругом. Если из первого зала уйдут 37 человек, а во второй придут 50, то зрителей в обоих залах будет поровну. Сколько зрителей в каждом зале?

б)Вдвухмешкахбыло75кгкрупы.Послетогокакизпервого мешка продали 12 кг, а из второго — 18 кг, в первом мешке крупы оказалось в 2 раза больше, чем во втором. Сколько килограммов крупы было в каждом мешке первоначально?

4.Поиск плана решения следующих задач проведите по вспомогательной модели; решение запишите по действиям; выполните проверку найденного решения.

а) В три овощных магазина завезли 1 600 кг картофеля. После того как в первом магазине продали 200 кг, а во втором и третьем — по 100 кг картофеля, в третьем магазине его осталось в 2 раза больше, чем в каждом из первых двух. Сколько килограммов картофеля было в каждом магазине первоначально?

б) Наташа отдала треть своих орехов Тане, а затем четверть оставшихся у нее орехов отдала Кате. После этого у нее осталось 24 ореха. Сколько орехов было у Наташи первоначально?

5.Решите арифметическим методом следующую задачу: Летеластаягусей,анавстречуимещегусь.Гусьговорит:«Здрав-

ствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Еслибынасбылостолько,даещестолько,даещеполстолька,даеще четверть столько, да ты, гусь, вот тогда нас было бы сто гусей». Сколько гусей было в стае?

94

9.4. Задачи «на движение» и другие процессы

1.Маша идет в школу быстро — вдвое быстрее Вали. Они живут в одном доме, учатся в одной школе и вышли из дома одновременно. Но Маша на полпути вспомнила, что забыла взять учебник, пришлось вернуться за ним. Кто из девочек быстрее придет в школу?

2.Двое ребят заспорили: кто из них быстрее бегает? Первый сказал: «Я пробежал 100 метров за 20 секунд». Второй возразил: «А я — 101 метр за 21 секунду». Кто бегает быстрее?

3.Если Аня идет в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает 1 час 30 минут. Если же она едет в оба конца на автобусе, то весь путь занимает у нее 30 минут. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу,

ииз школы она будет идти пешком?

4.Скорость аэросаней в 4 раза больше скорости лыжника. За 3 часа аэросани прошли 180 км. Сколько километров пройдет лыжник за это же время?

5.Установите, в чем сходство и различие двух следующих задач. Постройте для них схематические чертежи и запишите решения по действиям с пояснением.

а) Из двух поселков, расстояние между которыми 56 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Один шел со скоростью 12 км/ч, другой 16 км/ч. Сколько времени они будут идти до встречи?

б) Два туриста вышли навстречу друг другу из двух поселков. Первый шел со скоростью 5 км/ч. Второй вышел на 2 ч позже первого и шел со скоростью 6 км/ч. Сколько времени до встречи шел второй турист, если расстояние между поселками 43 км?

6.Решите разными арифметическими способами.

Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Встреча состоялась через 3 часа. Первый поезд шел со скоростью 55 км/ч. Второй поезд прошел до встречи на 30 км больше первого.Найдитескоростьвторогопоездаирасстояниемеждугородами.

95

7.Установите, в чем сходство и различие двух следующих задач. Постройте для них схематические чертежи и запишите решения по действиям с пояснением.

а) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч,

авелосипедиста 12 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?

б) Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго — 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?

8.Постройтесхематическийчертеждлянижеприведеннойзадачи и решите ее, записав решение в виде выражения:

Два вертолета вылетели одновременно в противоположных направлениях. Через 3 часа расстояние между ними было 930 км. На сколько скорость первого вертолета меньше скорости второго, если первый вертолет пролетел 450 км?

9.Для нижеприведенной задачи постройте вспомогательную модель в виде таблицы и, используя ее, запишите решение задачи по действиям с пояснением:

Лодка плыла по течению 6 часов и 2 часа против течения, пройдявсего50км.Скакойскоростьюшлалодкапротивтечения, если ее скорость по течению 7 км/ч? Какова собственная скорость лодки?

10.Кроме движения, в текстовых задачах рассматриваются такие процессы, как «купля-продажа товара», «работа», «заполнение бассейна» и др.

Установите, о каком процессе идет речь в задаче; какие величины его характеризуют, и в какой зависимости они находятся. Выполните наиболее целесообразную вспомогательную модель и, используя ее, решите задачу.

а) За 10 часов работы бульдозер разравнивает 2 км дороги, разравнивая поровну в каждый час. Сколько метров дороги он разровняет за 3 часа?

96

б) Экскаватор за 1 час выкапывает 20 м канавы. Одну канаву выкопали за 10 часов, другую — за 20 часов. Сколько метров каждой канавы выкопали за это время?

в) Бак можно наполнить водой за 6 минут .Сколько воды наливается в бак за 5 минут, если его объем 30 л?

г) Надо привезти на стройку 120 т песка. Одна машина может это сделать за 40 рейсов, а другая — за 24 рейса. За сколько рейсов перевезут этот песок обе машины, работая совместно.

11.В чем сходство и различие нижеприведенных задач и их решений?

а) Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, другой — за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе?

б) Нужно выкопать канаву длиной 150 м. Один рабочий может это сделать за 15 часов, другой — за 10 часов. За сколько часов выкопают эту канаву рабочие, работая вместе?

в) Расстояние между пунктами 150 км. Один велосипедист проезжает это расстояние за 10 часов, а другой — за 15 часов. Через сколько часов они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу?

12.Докажите, что следующие две задачи имеют одну и ту же математическую модель:

а) Два мотоциклиста выехали навстречу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми m километров. Скорость одного из них а км/ч, а второго с км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через b часов?

б) У мамы было m рублей. Она купила b кг картофеля по а рублей столько же огурцов по срублей за килограмм. Сколько денег осталось у мамы?

13. Выясните, как изменение одних величин в задачах на процессы влияет на другие.

а) Рабочий должен выполнить заказ на изготовление 960 деталей и изготавливать в день 32 детали, но он усовершенствовал станок и стал делать 64 детали в день. Как изменился срок выполнения заказа?

97

б) В магазине за день продали одинаковые куртки на сумму 87 500 р. При каком условии дневная выручка за куртки может быть в 2 раза больше?

9.5. Задания для самоконтроля

Изучив тему «Текстовая задача», студент должен уметь:

•распознавать текстовые задачи, используя их признаки;

•распознавать процесс (явление, событие), рассматриваемый в задаче, величины, его характеризующие;

•вычленять объекты задачи, ее условия и требования;

•решать задачи арифметическим методом, записывая решение в виде выражения или по действиям;

•решать задачи алгебраическим методом, записывая решение в виде уравнения;

•строить различные вспомогательные модели задачи (схемы, таблицы и др.);

•выполнять проверку решения задачи

•строить вспомогательные модели задач «на части», используя отрезки;

•вести по вспомогательной модели поиск плана решения задачи «на части»;

•решать задачи «на части» различными арифметическими способами, используя вспомогательные модели;

•строить схематические чертежи, моделируя ситуации, рассматриваемые в задачах на движение различных видов;

•вести поиск плана решения задачи, используя таблицы как вспомогательные модели задач на процессы;

•решать задачи «на процессы» различными арифметическими способами.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания:

1.Выясните, какие из нижеприведенных задач можно назвать

текстовыми.

98

а) В двух пачках 60 тетрадей, причем в первой пачке тетрадей в 2 раза больше, чем во второй. Сколько тетрадей в первой пачке?

б) Периметр прямоугольника 40 дм. Найдите площадь прямоугольника, если его длина в 3 раза больше ширины.

в)Вкорзинележатяблокидвухсортов.Изнихнадосоставить набор из трех яблок. Сколькими способами можно это сделать?

2.Выясните, о каком процессе идет речь в задаче, и какие величины его характеризуют:

а) В одной пачке было в 2 раза больше тетрадей, чем в другой. Когдаизвторойпачкипереложиливпервую5тетрадей,тововторой пачке стало в 3 раза меньше, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

б) Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость по лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе и с какой — по лесной дороге?

в) В двух бидонах 28 л краски. Если из одного взять 3 л, а в другойдобавить2л,товпервомстанетна7лкраскибольше,чемвовтором. Сколько краски в каждом бидоне?

3.Назовите объекты каждой задачи из задания 2, сформулируйте их условия и требования.

4.Решите нижеприведенные задачи арифметическим методом, решение запишите в виде выражения или по действиям, выполните проверку.

а) На трех полках размещается 197 книг. На первой полке на 45 книг больше, чем на второй, а на второй — на 5 книг больше, чем на третьей. Сколько книг на каждой полке?

б) Скорый поезд проходит расстояние 900 км между двумя городами за 10 часов, а товарный — за 15 часов. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?

в) В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 часа, а вторая — за 6 часов. За сколько часов машинистки перепечатают рукопись при совместной работе?

99

г) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?

5.Решите алгебраическим методом задачи из задания 4.

6.Решите задачу различными способами:

а) В доме 36 квартир, часть из них — двухкомнатные, остальные — трехкомнатные. Всего комнат в доме 88. Сколько квартир каждого типа в этом доме?

б)За7книги5альбомовзаплатили460рублей.Сколькостоит книга и сколько альбом, если альбом дороже книги на 20 рублей?

7.Постройте вспомогательные модели следующих задач и, используя их, решите арифметическим методом эти задачи.

а) В первой корзине в 2 раза больше яблок, чем во второй. Если из первой переложить во вторую 8 яблок, то яблок в корзинах станет поровну. Сколько яблок во второй корзине?

б)Впервойкорзинебылов3разаменьшеогурцов,чемвовторой. Когда в первую корзину добавили 25 кг огурцов, а из второй взяли 15 кг огурцов, то в обеих корзинах огурцов стало поровну. Сколько килограммов огурцов было в каждой корзине первоначально?

8.Постройте вспомогательную модель задачи, решение запишите по действиям с пояснением, выполните проверку.

а) На трех полках расставили чашки так, что на второй полке чашек вдвое больше, чем на первой, а на третьей втрое больше, чем на второй. Сколько чашек на каждой полке, если известно, что всего их 27?

б) В двух бригадах поровну рабочих. Когда в первую бригаду добавилось 8 человек, а из второй ушли 2 человека, в первой бригаде стало в 3 раза больше рабочих, чем во второй. Сколько рабочих было в каждой бригаде?

9.Решите арифметическим способом задачу, указав предварительно особенности процесса, о котором идет речь в задаче.

а) Две моторные лодки отошли от пристани в одном направлении. Первая лодка шла со скоростью 18 км/ч. Вторая лодка отошла

100