Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

8.Известно, что площадь прямоугольника равна 12 см2, а длина принимает численные значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 (см). Покажите, что соответствие между значениями длины этого прямоугольника и его ширины есть обратная пропорциональность. Задайте эту функцию формулой; укажите ее область определения и область значений.

9.Выясните соответствия между какими множествами устанавливаются при решении следующих задач и покажите, что эти соответствия взаимно-однозначные.

а) Запиши все двузначные числа, которые меньше, чем 20. Увеличь каждое их них в 5 раз.

б) 18 + . Подставь в «окошко» числа 2, 4, 6, 8, 10. Вычисли

изапиши суммы.

10.Каждую из нижеприведенных задач решите двумя способами; способ решения обоснуйте.

а)Втреходинаковыхящиках12кгапельсинов.Сколькокилограммов апельсинов в 12 таких ящиках?

б) Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина одного прямоугольника равна 7 см, а ширина 6 см. Ширина второго прямоугольника 3 см. Найдите его длину.

11.Проектная задача: «Соответствия между множествами

вначальном курсе математики».

I. Покажите, что при выполнении заданий: «найди значение выражений», «измерь длину отрезков», «реши уравнения», «найди площади прямоугольников» и др. учащиеся устанавливают соответствия­ между двумя множествами.

II. Приведите примеры заданий, при выполнении которых учащиеся устанавливают взаимно-однозначные соответствия.

III. Приведите примеры текстовых задач, которые решают младшие школьники и в которых рассматриваются величины, находящиеся в прямой (или обратной) пропорциональной зависимости. Решения задач обоснуйте.

61

Глава 6. Бинарные отношения на множестве

6.1. Свойства отношений

1. На множестве Х = {2, 3, 4, 5, 6} заданы два отношения: «х кратно у» и «х больше у на 1».

а) Постройте графы данных отношений.

б) Постройте графики данных отношений на координатной плоскости.

в) Задайте данные отношения, используя математические символы.

г) Перечислите все пары чисел из множества Х, находящихся в заданных отношениях.

д) Сделайте обобщение: что представляет собой любое бинарное отношение на множестве Х.

2.Какие способы задания бинарных отношений были рассмотрены в задании 1?

3.На множестве Х = {2, 3, 4, 5, 6} заданы отношения: Р — «меньше», М — «меньше на 2», L — «меньше в 2 раза».

а) Постройте графы данных отношений.

б) Задайте отношения, обратные данным на множестве Х,

ипостройте их графы.

4.Отношение R на множестве Х называют рефлексивными, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

Используя данное определение, установите, какие из следующих отношений рефлексивны на множестве Х = {2, 4, 6, 8}:

а) {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (4, 8), (6, 6), (8, 8)}; б) {(2, 2), (4, 4), (8, 8), (4, 2), (6, 2)};

в) {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 4), (4, 2), (6, 6), (8, 8)}.

5.Отношение R на множестве Х называют симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношенииRсэлементому,следует,чтоиэлементунаходитсявотношении R с элементом х.

62

Используя данное определение, установите, какие из следующих отношений симметричны на множестве Х = {2, 4, 6, 8}:

а) {(2, 4), (4, 2), (4, 6), (6, 4), (2, 8), (8, 2)}; б) {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4), (6, 4), (6, 6)}; в) {(2, 4), (4, 6), (6, 4), (4, 2), (8, 8), (6, 6)}.

6.Отношение R на множестве Х называют антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие:изтого,чтохнаходитсявотношенииRсэлементомуследует, что элемент ув отношении R с элементом хне находится.

Используя данное определение, установите, какие из следующих отношений антисимметричны на множестве Х = {2, 4, 6, 8}:

а) {(2, 4), (4, 6), (6, 8), (2, 6)}; б) {(2, 4), (4, 6), (4, 4), (6, 2)}; в) {(2, 4), (4, 6), (6, 4), (6, 8)}.

7.Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношенииRсэлементомуиэлементунаходитсявотношенииRсэлементомz,следует,чтоэлементхнаходитсявотношенииRсэлементомz.

Используя данное определение, установите, какие из следующих отношений транзитивны на множестве Х = {2, 4, 6, 8}:

а) {(2, 4), (4, 6), (8, 6), (2, 8), (4, 8), (2, 6)}; б) {(2, 4), (4, 6), (2, 6), (4, 4), (8, 8)}; в) {(2, 4), (4, 6), (2, 8), (8, 6)}.

8.Отношения P, S и T заданы на множестве Х = {1, 3, 5, 7, 9} при помощи графов (см. рис. 6.1). Установите свойства каждого из этих отношений.

9.Отношения В, С и D заданы на множестве Х = {0, 1, 2, 3, 4} при помощи графика на координатной плоскости (см. рис. 6.2). Какими свойствами обладает каждое из этих отношений?

10.Множествамогутнаходитьсявотношенииравенстваиотношении «быть подмножеством». Каковы свойства этих отношений?

11.Какими свойствами обладает отношение логического следования между высказывательными формами?

12.Задайте на множестве натуральных чисел отношение, ко-

торое обладает свойством:

63

Рис. 6.1

а) рефлексивности; б) транзитивности;

в) антисимметричности; г) симметричности.

6.2. Отношения эквивалентности и порядка

1. Отношение R на множестве Х называют отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Используя данное определение, установите, какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности на мно-

жестве Х = {2, 4, 6, 8}:

64

Рис. 6.2

а){(2,2),(2,4),(4,2),(2,8),(8,2),(4,8),(8,4),(6,6),(4,4),(8,8)}; б) {(2, 2), (4, 4), (8, 8), (2, 4), (4, 2), (4, 8)}; в) {(2, 2), (4, 4), (8, 8), (6, 6), (2, 4), (4, 8), (2, 8)}.

2.Объясните, почему следующие отношения являются отношениями эквивалентности.

а) Отношение равенства на множестве треугольников.

б)Отношениеравенстванамножествеобыкновенныхдробей. в) Иметь в записи числа одно и то же число цифр (на множестве

натуральных чисел).

3.На множестве А = {0, 1, 2, 3, …, 27, 28} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Докажите, что оно является отношением эквивалентности, и установите, на какие классы разбивается множество А при помощи этого отношения.

65

4.Учащимся предложено в один столбик выписать примеры

сответом 8, в другой — с ответом 12, в третий столбик — с от-

ветом 38: 6 · 2, 9 · 4, 24 : 3, 7 + 5, 45 – 9, 2 · 4, 20 – 8, 32 : 4, 6 · 6, 4 · 3, 60 – 24, 48 : 6.

а) Можно ли в этом случае говорить о разбиении множества данных числовых выражений на классы?

б) В каком отношении будут находиться выражения, оказавшиеся в одном столбике?

5.Отношение R на множестве Х называют отношением порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.

Используяданноеопределение,установите,какоеизследую­ щих отношений является отношением порядка на множестве

Х= {2, 4, 6, 8}:

а) {(2, 4), (4, 6), (2, 6), (8, 8)}; б) {(8, 2), (2, 4), (8, 4), (4, 6), (2, 6)};

в) {(8, 2), (2, 4), (8, 4), (4, 6), (2, 6), (8, 6)}?

6.Намножественатуральныхчиселзаданыотношения«больше», «больше на 3», «больше в 3 раза». Какое из них является отношением порядка?

7.На множестве Х = {24, 4, 12, 13, 15, 26, 72, 78, 81, 97, 39, 80}

рассматриваются отношения: Т — «быть больше в 6 раз», Р — «иметьодинитотжеостатокприделениина5»,К—«оканчиваться при записи одной и той же цифрой». Какие из них являются отношениямиэквивалентности?Какиеявляютсяотношениямипорядка? Для отношений эквивалентности укажите классы разбиения.

8.НамножествеА={4,5,6,7,8,9,10,11,12}заданыотношения: «иметь одно и то же число делителей» и «быть делителем». Есть ли среди них отношение эквивалентности? Порядка?

9.Множество Х называют упорядоченным, если на нем задано отношение порядка (строгого или нестрогого).

Используя данное определение, установите, с помощью какого отношения Р можно упорядочить множество натуральных

чисел, если:

а) Р — «х у»;

66

б) Р — «х < у»;

в) Р — «х меньше у на 3».

10. Запишите следующие отношения в виде равенства:

Запись в виде равенства А: «х больше у на 2» х = у + 2, у = х – 2, х – у = 2 В: «х меньше у на 2» С: «х больше у в 2 раза»

D:«х меньше у в 2 раза»

11.Постройте графики отношений А, В, С и D (из задания 10) на координатной плоскости, если они заданы на множестве действительных чисел.

12.Какие отношения и на каком множестве рассматриваются

вследующих заданиях из учебника Н.Б. Истоминой1:

А. а) Запиши числа: 79, 84, 59, 64, 94, 49, 54, 74, 69, 89 в по-

рядке возрастания.

б) По какому правилу записан ряд чисел?

в) По какому признаку можно разбить числа на две группы? Б. Разгадай правило, по которому составлен ряд чисел, и за-

В. а) По какому признаку можно разбить числа: 581, 685, 584, 681, 589, 686, 582, 682 на две группы?

б) Дополни каждую группу еще тремя числами.

6.3. Задания для самоконтроля

Изучив тему «Бинарные отношения на множестве», студент должен уметь:

•устанавливать способ задания отношения на множестве;

•строить графы отношений;

1 Истомина Н.Б. Математика: учебник для 2 класса общеобразовательных уч- реждений/Н.Б.Истомина.–Смоленск:АссоциацияXXIвек,2009.–С.71,113.

67

•переходить от одного способа задания отношения к другому (от словесной модели к алгебраической и графической);

•формулировать свойства изученных отношений при различных способах их задания;

•распознавать отношения эквивалентности (равенства) и порядка при изучении различных объектов;

• применять определения свойств бинарных отношений канализузаданий,содержащихсявучебникахматематикидляначальных классов.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания:

1.На множестве Х = {2, 3, 4, 5, 6} задайте отношение R при помощи:

а) предложения с двумя переменными;

б) перечислив все пары чисел, находящихся в отношении R; в) графа; г) графика на координатной плоскости.

2.На множестве Х задано отношение «понятие х — родовое поотношениюкпонятиюу».Постройтеграфэтогоотношения,если элементами множества Х являются понятия: угол, многоугольник, треугольник, ломаная линия, геометрическая фигура.

3.Отношения Р, Т и S на множестве Х = {1, 3, 5, 7, 9} заданы при помощи графов (см. рис. 6.3). Определите свойства этих отношения.

4.На множестве целых неотрицательных чисел от 0 до 500 заданы отношения:

R — «оканчиваться при записи одной и той же цифрой»;

Р— «иметь один и тот же остаток при делении на 7»;

S — «иметь в записи одинаковые цифры».

Какие из этих отношений являются отношениями эквивалентности? Какие классы разбиения заданного множества они порождают?

5. На множестве целых неотрицательных чисел от 0 до 999 рассматриваются отношения:

68

Рис. 6.3

S — «быть больше»;

Р — «быть больше на 5»; Т — «быть больше в 5 раз».

Какие из этих отношений упорядочивают заданное множество чисел?

6.Выполнитезадания,содержащиесявучебнике«Математика», авторами которого являются В. Н. Рудницкая и Т. В. Юдачева1:

А. В семье трое детей: Коля, Сережа и Марина. На графе изображено отношение «быть братом» (см. рис. 6.4). Прочитайте каждое высказывание. Докажите, что отношение «быть братом» не обладает свойством рефлексивности.

1 Рудницкая В.Н. Математика: учебник для 4 класса / В.Н. Рудницкая,

Т.В. Юдачева. – М.: Вентана-Граф, 2001. – С. 110–115.

69

Рис. 6.4

Б. Изобразите граф отношения «делиться без остатка на» междучислами48,24и12.Обладаетлиэтоотношениесвойством рефлексивности?

В.Алеша,СашаиВова—детиоднихродителей.Составьтеграф отношения «быть братом», если: а) все дети мальчики; б) Саша — девочка. Прочитайте каждое высказывание. Есть ли на графе хотя бы одна петля? Каждое ли ребро имеет противоположение? Является ли отношение «быть братом» симметричным?

Г. Обладает ли свойством транзитивности отношение «больше»? Проверьте себя, изобразив граф отношения «больше» меж-

ду числами 250, 320 и 1 680.

7.Проектная задача: «Бинарные отношения на множестве

вначальном курсе математики».

I. Какие бинарные отношения и на каких множествах изу­ чаются в начальном курсе математики? Какие способы задания отношений при этом используются?

II. В математике принято при введении новых объектов устанавливать условия их равенства (т. е. эквивалентности) и отношениепорядка.Таклипроисходитвначальномобученииматематике?

III. В каких учебниках математики для начальных классов свойства бинарных отношений изучаются в явном виде и с какой целью?

70