Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

На место командира есть три кандидата: а, b, c; на место инженера — три: d, e, f; на место врача — два: g, h. Проверка показала психологическую несовместимость командира b с инженером f и с врачом h, а также инженера e с врачом h. Сколько вариантов составить команду, все члены которой психологически совместимы?

8.В партии из 10 деталей 7 стандартных. Сколько способов выбрать 6 деталей, среди которых 4 стандартных?

9.Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры,помнялишьто,чтоэтицифрыразличны.Сколькопопытоквхудшем случае может сделать абонент, чтобы набрать нужный номер?

10.Из цифр 7, 8, 9 составлены шестизначные числа. Найдите, сколько среди них чисел, в которых цифра 7 встречается только один раз, цифра 8 два раза, цифра 9 три раза.

11.Сколько трехзначных чисел, среди которых не содержится цифра 5?

12.Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

13.Сколько существует чисел, меньших 1000, в которых нет двух одинаковых цифр?

14.Сколькими способами можно распределить 6 различных предметов между тремя лицами так, чтобы каждое лицо получило 2 предмета?

15.Сколькимиспособамиможнораспределить5разныхигрушек между четырьмя детьми так, чтобы каждый получил хотя бы одну игрушку?

16.Случайный опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Запишите все элементарные исходы, благоприятствующие следующим событиям:

А = {выпала шестерка}; В = {выпало четное число очков};

С = {число выпавших очков меньше 7}; D = {число выпавших очков не меньше 7}.

17. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Наугад вытаскивают 4 шара. Какие из следующих событий достоверные, какие — невозможные:

111

А = {все вынутые шары разных цветов}; В = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов};

С = {среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов}. Сколько элементарных исходов благоприятствуют: а) собы-

тию А; б) событию В; в) событию С?

18.Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам нужно купить, чтобы событие А = {вы ничего не выиграете} было невозможным?

19.Изящика,вкотором2белыхи2черныхшара,наугадодин за другим выбираются два, причем выбранный шар возвращается. Сколько элементарных исходов этого опыта?

Найдите объединение и пересечение событий А и В, А и С, если:

А = {вынуты шары разного цвета}; В = {вынут хотя бы один шар белого цвета};

С = {вынуты шары одинакового цвета}.

Какие из этих событий являются совместными, какие — несовместными?

20.По мишени производят три выстрела. Найдите число элементарных исходов этого случайного опыта. Запишите все элементарные исходы, благоприятствующие событиям:

А = {три попадания в мишень}; В = {три промаха}; С = {хотя бы одно попадание};

D = {хотя бы один промах}.

Сколько элементарных исходов благоприятствуют: а) событию А; б) событию В; в) событию С; г) событию D?

21.Два разных сообщения случайным образом посылаются по трем адресам. Выбрав подходящие обозначения, найдите элементарные исходы, благоприятствующие событиям:

Ω = {все элементарные исходы опыта}; А = {ровно в один из адресов не поступило сообщения};

B = {хотя бы по одному адресу поступило два сообщения}; С = {по каждому адресу поступило хотя бы одно сообщение}.

112

Найдите число элементарных исходов, благоприятствующих: а) событию Ω; б) событию А; в) событию В; г) событию С.

22.В течение урока учитель по очереди вызывает двух учеников из пяти, среди которых Ваня. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию «Ваню вызвали к доске»?

23.Монету бросают 3 раза. Найдите вероятности событий:

А= {выпало не менее двух орлов}; В = {выпал хотя бы один орел}; С = {выпало не более одной решки}.

24.Из30экзаменационныхвопросовстудентвыучил25.Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

25.Игральный кубик подбросили 100 раз. Исходы экспери-

Заполните последний столбец таблицы. Найдите абсолютную частоту событий:

а) А = {выпало четное число очков}; б) В = {выпало число очков меньше трех}.

26. На одной стороне семи одинаковых карточек написаны буквы: на четырех — буква А, на двух — буква М и на одной буква У. Карточки лежат на столе чистой стороной вверх. Карточки перемешивают и, не глядя, выбирают одну. Каковы вероятности событий:

А = {выбрали карточку с буквой А}; В = {выбрали карточку с буквой М};

С = {выбрали одну карточку с буквой У}; D = {выбрали карточку с буквой О};

Е = {выбрали одну карточку}.

113

Какие вероятностные понятия можно объяснить школьникам, решая эту задачу?

27. Ася, Боря, Вика, Гуля и Дима отправились в поход. Им надо назначить двух дежурных по лагерю. Они написали свои имена на одинаковых бумажках, сложили их в пустой рюкзак и вынули наугад две бумажки. Какова вероятность, что дежурить будут: а) 2 мальчика; б) 2 девочки; в) мальчик и девочка?

Выпишите все возможные исходы этого случайного опыта, и исходы, благоприятствующие каждому из событий, вероятность которых надо найти. Объясните, почему четвероклассники могут найти требуемыевероятностиспомощьюследующегографа(см.рис.10.3):

д

дд

мм

Рис. 10.3

28. Гоша и Леша положили в пустую непрозрачную коробку 5 одинаковых на ощупь шариков: 3 синих и 2 красных, и договорились вынуть наугад 2 шарика. Если шарики окажутся разного цвета, то выигрывает Гоша, а если одинакового, то Леша.

а) Вычисли вероятность выигрыша Гоши. б) Вычисли вероятность выигрыша Леши. в) Сравни вероятности выигрыша ребят.

Какой способ решения, из приведенных ниже, вы считаете наиболее приемлемым для четвероклассников? Свой выбор обоснуйте.

а) Перенумеровав синие и красные шарики, выписывают все возможные исходы этого случайного опыта: (с1, с2), (с1, с3), (с1, к1), (с1, к2), (с2, с3), (с2, к1), (с2, к2), (с3, к1), (с3, к2), (к1, к2).

Из этого списка находятся все выборы шариков разного цвета и все выборы шариков одного цвета, затем вычисляется вероятность

114

выигрышакаждогомальчика,согласноклассическомуопределению вероятности.

б) Находится число всех возможных исходов по формуле числа сочетаний из 5 по 2, число выборов шариков одного цвета находится как сумма числа сочетаний из 3 по 2 и числа сочетаний из 2 по 2. Число выборов шариков разного цвета находится, например, как разность 10 – (3 + 1) (Почему?).

в) Все возможные выборы двух шариков представляются наглядно с помощью графа. Объясните, почему такой граф совпадает

сграфом к задаче 26 с точностью до обозначений его вершин1.

29.КраснаяШапочкаидетотдомикаМамыкдомикуБабушки. Схемадорожекпоказананарисунке10.4.ДорожкуКраснаяШапочка выбирает наугад. На некоторых дорожках ее поджидает Волк. Найдите вероятность того, что: а) Красная Шапочка не встретится

сВолком; б) Красная Шапочка встретится с Волком.

Домик

Мамы

Волк

домик Бабушки

Рис. 10.4

Решите задачу. Можно ли предложить эту задачу четве­ роклассникам? Какой способ обозначения всех дорожек вы считаете наиболее приемлемым для четвероклассников: а) каждую дорожку до и после развилки обозначить буквами; б) каждую дорожку до и после развилки выделить своим цветом; в) каждую дорожку до развилки обозначить цифрами,

апосле развилки — буквами? Какое правило комбинаторики

1 Задачи27и28взятыизучебника:ДемидоваТ.Е.Математика.4класс.2ч./ Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. – М., 2009.

115

можно использовать для подсчета числа дорожек в обоих случаях? Ответ обоснуйте.

30.На одной стороне четырех одинаковых карточек написаны буквы: на двух — буква А, на двух — буква М. Выбирают последовательно с возвращением одну за другой четыре карточки, записывая выбранную букву. Найдите вероятность того, что запишется слово МАМА.

Объясните,почемувсевариантывыборачетырехкарточекможно показать школьникам с помощью дерева вариантов. Постройте такой граф.

31.Слово «ТОВАР» написали на картонке и разрезали полоску на буквы. Девочка, играя, выложила их в ряд в случайном порядке.

Найдите вероятность того, что получилось слово «АВТОР».

32.Слово «МАТЕМАТИКА» написали на полоске картонка и разрезали полоску на буквы. Найдите вероятность того, что, составив все эти буквы случайным образом в ряд, мы снова получим слово «МАТЕМАТИКА».

33.Четыре компьютерных диска случайным образом положили в 4 коробки для них. Найдите вероятность того, что:

а) каждый диск лежит в своей коробке; б) хотя бы один диск лежит не в своей коробке;

в) ровно один диск лежит не в своей коробке, а остальные —

всвоих коробках (1 / 24, 23 / 24, 0).

34.В конце учебного года четвероклассник Федя выписал из дневника все свои оценки по математике, которые он получил

втечение года:

116

Найдите среднюю арифметическую оценок Феди по математике.Можнолинаоснованииэтихданныхспрогнозироватьоценку, которую, скорее всего, получит Федя на выпускной контрольной работе? Какой прогноз, по вашему мнению, более точный: оценка по частоте или средняя арифметическая оценок за год?

35. На уроке географии учитель наугад вызывает 5 учеников. Из них двое не выучили урока. Можно ли приближенно оценить количество учеников, не выучивших урока, если в классе всего 25 учеников?

36. В непрозрачной коробке лежат 4 одинаковых на ощупь шарика, на которых написаны числа: 1, 2, 3, 4. Наугад вынимаются два шарика. Найдите вероятность событий:

а) Оба числа на вынутых шариках четные; б) Сумма чисел на вынутых шариках четная; в) Сумма чисел на вынутых шариках равна 5.

Объясните, почему, предлагая эту задачу четвероклассникам, всеэлементарныеисходыэтогоопытаможнопредставитьвтаблице:

10.4. Задания для самоконтроля

1. Изучив тему «Комбинаторные и вероятностные задачи», студент должен уметь:

•решатькомбинаторныезадачи,адресованныемладшимшкольникам,методомнепосредственногопереборавозможныхвариантов;

•применять для перебора графы и таблицы;

•распознавать в комбинаторных задачах размещения (с повторениямиибезповторений) исочетания(безповторений), находить их число, используя соответствующие формулы.

117

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.На соревнования нужно отправить только двух мальчиков из пяти лучших спортсменов — Толи, Пети, Бори, Володи, Коли. Каковы варианты выборов участников соревнований? Сколько этих вариантов?

2.Пуговица имеет четыре дырочки. Чтобы ее закрепить на ткани, достаточно пропустить нитку через две какие-нибудь дырочки. Сколькими способами можно таким образом закрепить пуговицу? Сделайте рисунки для всех способов.

3.В школьной лотерее должно быть всего десять различных выигрышей. Есть ручки, блокноты, записные книжки, альбомы для рисования. Можно ли из этих предметов составить десять различных выигрышей, по два разных предмета в каждом?

4.Сколько можно составить различных букетов из трех роз, если в продаже есть белые и красные розы?

5.Из Санкт-Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолете, автобусе или теплоходе, и из Москвы во Владимир — на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осущест­ вить путешествие Санкт-Петербург – Москва – Владимир?

6.Имеются ручки четырех цветов: красные, синие, зеленые, черные,идвавидазаписныхкнижек.Сколькоразличныхнаборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов?

7.От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?

8.Из четырех ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?

9.УПортосаестьсапогисошпорамиибезшпор,4разныешля- пыи3разныхплаща.Сколькоунеговариантоводетьсяпо-разному?

10.Сколько существует четных трехзначных чисел?

11.Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов программы этого концерта?

12.Сколько существует двузначных чисел, в записи которых

используется хотя бы одна цифра 6?

118

13.Сколько однозначных, двузначных и трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 8 и 0?

14.Сколько существует четырехзначных чисел, в записи ко-

торых:

а) все цифры одинаковые; б) сумма цифр равна 3?

15.Проектная задача: «Комбинаторные задачи в начальном

курсе математики»

I. В каких учебниках математики для начальных классов есть комбинаторные задачи?

II. Каков основной метод решения комбинаторных задач в начальном курсе математики? Ответ подтвердите, приведя примеры.

III. Используются ли при решении комбинаторных задач в начальной школе для перебора вариантов таблицы и графы?

IV. Как учитель может проверить правильность решения комбинаторных задач младшими школьниками?

119

Глава 11. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

11.1. Задачи на установление взаимно-однозначного соответствия между множествами

1.Логическиезадачи—этозадачи,прирешениикоторыхпоиск ответа на вопрос осуществляется на основе рассуждений. Вычисленияприихрешениииграютвспомогательнуюроль,аиногдасовсем не нужны.

Существуютразличныевидылогическихзадач,исрединих— задачинаустановлениевзаимно-однозначногосоответствиямежду множествами.Решаютихнаосноверассуждений,используяграфы и таблицы.

Задача. В трех мешках находится рис, мука и сахар. На первом мешке написано «рис», на втором — «мука», на третьем — «в первом мешке мука». Все надписи неверные. Что находится в каждом мешке?

Ответьте на следующие вопросы:

а) Какие множества рассматриваются в задаче? б) Какое соответствие установлено между ними? в) Каковы условия задачи?

г) Какие следствия можно вывести из этих условий?

Задачуизупражнения1можнорешить,построивграф.Дляэтого элементы заданных множеств изображают точками, а соответствия между ними — отрезками. Если между элементами множеств нет рассматриваемого соответствия, то их соединяют штриховыми линиями (см. рис. 11.1).

Дляустановлениявзаимно-однозначногосоответствиямежду множествами, которые рассматриваются в данной задаче, можно воспользоваться таблицей:

Рис Мука Сахар

Мешок 1 Мешок 2 Мешок 3

120