Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

д) В первый сосуд входит 8 л, и он наполнен водой. Имеются еще 2 пустых сосуда вместимостью 5 и 3 л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л воды?

е) На одной чаше весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чаше — 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?1

ж) Из 27 монет одна фальшивая – она легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

з) В непрозрачном пакете лежат 5 красных яблок и 6 зеленых. Сколько яблок не глядя надо взять из пакета, чтобы по крайней мере два из них обязательно оказались зелеными?

и)Вящикележитсотняфлажков—красные,зеленые,желтые и синие. Какое наименьшее число флажков надо взять не глядя, чтобы среди них оказалось не меньше, чем десять одноцветных?

к) В четырех классах школы учится 60 человек. Докажите, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в одну и ту же неделю.

4. Проектная задача: «Логические задачи в начальном курсе математики»

I. Какие виды логических задач имеются в учебниках математики для учащихся начальных классов? Каковы способы их решения?

II. Покажите, что в учебниках математики для начальной школы имеются логические задачи на упорядочивание множеств. Дайте характеристику этому виду задач и опишите способы их решения.

1 Задачи а) – е) взяты из книги: Математика. Нестандартные занятия по развитию логического и комбинаторного мышления. 5–6 кл. / Авт.-сост. Н.А. Козловская. – М.: ЭНАС, 2007.

131

ОТВЕТЫ

ГЛАВА 1

1.1.5.A,B,E,L—конечныемножества,С,D,М—бесконечные,

К— пустое. 11. А и В пересекаются, С А, А = D, А и Е не пере-

секаются.18.а)СиDпересекаются,нониоднонеявляетсяподмножеством другого; б)D — подмножество С; в)С — подмножество D. 1.2. 3. Не следует. 4. Следует. 8. Следует. 9. Не следует. 13. Пересечение состоит из прямоугольных треугольников, а объединение­ — из треугольников. 18. а) А ∩ В состоит из чисел, кратных 15; б) (А ∩ В) ∩ С состоит из чисел кратных 105; в) А ∩ (В ∩ С) состоит из тех же чисел, что и множество (А ∩ В) ∩ С. 19. а) А В состоит из чисел, кратных 3 или 5; б)(А В) С состоит из чисел, кратных 3 или 5 или 7; в) А (В С) состоит из тех же чисел, что и множество (А В) С. 23. а) следует; б) следует; в) не следует. 26. РʹМ состоит из треугольников, которые не являются прямоуголь­ ными. 27.а)(А В) \ С состоит из чисел кратных 3 или 5 и не крат-

ных 7; б) (А \ С) (В \ С) = (А В) \ С. 1.3. 4. n (А ∩ В) = 2, n(А В)=10.10.20мальчиков.11.6человек.12.12человек.13.Увлекаются только спортом 11 ребят, 10 не поют в хоре, не увлекаются­ спортом, не занимаются в драмкружке. 14. 15 учащихся. 15. Есть, их 2. 1.4. 2. а) произошло. 6. а) по числу цифр в записи числа; в) делиться на 3. 1.5. 13. 120 наборов. 14. 12 чисел. 15. 6 вариантов.

16.а)27; б)6.

ГЛАВА 2

2.1.9. а) находятся; б) не находятся; в) не находятся. 11. а) и в).

14.Не является. 2.2. 6. а) и б) — нарушено требование соразмерности; в) неверно выбрано родовое понятие, г) такой треугольник не существует. 2.3. 2. Не находятся.

ГЛАВА 3

3.2. 9. а) нельзя; б) можно. 10. а) можно; б) нельзя. 3.3. 5. Истинно б). 3.4. 2. Существует теорема обратная противоположной.

ГЛАВА 4

4.4.4.Верно, это можно доказать. 5.Существует, такой параллелограмм можно построить. 6. Нельзя. 7. Является.

132

ГЛАВА 5

5.1. 7. Соответствие будет установлено между множествами данных управлений и множеством их корней. В данном случае оно не является взаимно-однозначным, но является функциональным. 9. Установлено взаимно-однозначное соответствие между мно­ жеством данных выражений и множеством чисел 1, 2, 3, 4, 5. это соответствие­ функциональное. 5.2. 11. а) 12 стульев; б) 15 рубашек; в) 1 600 р. 5.3. 2. Соответствие не является взаимно-однозначным, оно функциональное. 6.р = 20, к = 18.

ГЛАВА 6

6.1. 4. Рефлексивными являются отношения а) и в). 5. Сим­ метричными являются отношения а) и в). 6 Антисимметричными являются отношения а) и б). 7. Транзитивными являются отношения а) и б). 6.2. 1. Отношение эквивалентности задано в случае а). 5. Отношениепорядказадановслучаяха)ив).9.Множествонатуральных чисел можно упорядочить с помощью отношений «х : у» и «х < у». 6.3.4.ОтношенияэквивалентностиявляютсяRиP.5.ЗаданноемножествоможноупорядочитьспомощьюотношенияS.

ГЛАВА 7

7.1. 3. Являются. 5. Сложение, вычитание, умножение. 6. а) 0; б) является. 7. Возведение в степень и нахождение наибольшего общего делителя. 8. Деление является алгебраической операцией на множестве Q+ и R (если не рассматривается деление на ноль). 10. Сложение натуральных чисел 3 р является алгебраической опе- рацией,асложениечиселвида3р+1—неявляется.7.2.9.а)иг)— верные утверждения, б)и в)— нет. 11.не существует.

ГЛАВА 8

8.1.11. Можно. 12. а) 2,55; б) 0,05; в) 35/6. 8.2. 4. Запись в).

8.Равносильны в случаях б) и в). 9. а) х = 1,12; б) х = 7; в) 9,2.

12.Является число 96. 15. Равносильны.

ГЛАВА 9

9.1. 4. а) Выражение или запись по действиям; б) уравнение или система уравнения; в) чертеж или график на координатной плоскости. 7. а) на первой полке — 30 книг, на второй — 34,

133

на третьей — 32; б) Скорость пешехода 4 км/ч, велосипедиста — 12 км/ч. 9. а) первый — 6 деталей, второй — 4. б) в первый день было продано 190 кг апельсинов. в) в первом вагоне — 28 пассажиров, во втором — 37. 9.2. 5. а) 81 машина; б) 54 страницы.

ГЛАВА 10

10.1. 4. а) 10 детей; б) 6 рукопожатий. 6. б) 18 слов; в) 16 ва­ риантов. 10.2. 2. а) 210 способов; б) 60 способов; в) 1 680 способов; г) 14 проб; д)39 чисел. 8.а)Старосту кружка и его заместителя можно выбрать 30 способами, а двух человек для участи я в концерте — 15 способами; б) 729 способов; в) 16 вариантов; г) 100 вариан­ тов; д) не хватит, но при использовании 0 хватит; е) 27 ∙ 107, если буквы выбирать из 30 букв алфавита; ж) 1 500 чисел; з) 10 отрезков; и) 6 прямых; к) 28 треугольников; л) 15 хорд; м) 10 способов, 240 предложений. 10.3. 1. а) 6; б) 1; в) 12; г) 5. 2. а) 10; б) 60. 3. Пра-

вило произведения. 4. Правило суммы. 6. а) 15; б) 10; в) 30. 7. 12.

8. 105. 9. 90. 10. 60. 11. 648. 12. 246 480. 13. 739. 14. 90. 15. 124.

17.а)0;б)126;в)81.18.81.19.АиВ,ВиС—совместные,АиС— несовместные­ . 20. а) 8; б) 1; в) 7; г) 7. 21. а) 9; б) 4; в) 6; г) 0. 22. 8.

23.Р(А) = 1 / 2; Р(В) = 7 / 8; Р(С) = 1 / 3. 24. 60 / 78. 25. а) 0,48; б) 0,28. 26. Р(А) = 4/ 7; Р(В) = 2 / 7; Р(С) = 1 / 7; Р(D) = 0; Р(Е) = 1.

27.а)1 / 10; б)3 / 10; в)6/ 10. 28. Р(Г) = 3/ 5; Р(Л) = 2 / 5. 29. а)2 / 3; б)1/3.30.1/16.31.1/20.32.24/3628800=1/151200.33.а)1/24;

б) 23 / 24; в) 0. 34. Средняя арифметическая: 5 ∙ 8 + 4 ∙ 6 + 3 ∙ 4 + + 2 ∙ 2 / 20 = 4. 35. Если частоту события А = {ученик не выучил урока} среди всех учеников класса считать такой же как среди вызванных пяти, то около 10 учеников в классе не выучили урока.

36. а)1 / 4; б)1 / 2; в)1 / 4.

134

ПРИЛОЖЕНИЕ

Учебно-методический комплекс дисциплины

МАТЕМАТИКА

Часть I. Программа учебной дисциплины

ООП 050100 — «Педагогическое образование» (профиль «Начальное образование») Уровень подготовки: бакалавриат

Курс I–II, семестр 1–4, очная форма обучения

Составители:

кандидат педагогических наук, профессор Л.П. Стойлова, кандидат педагогических наук, доцент Т.А. Конобеева

Рецензент:

кандидат педагогических наук, профессор И.В. Шадрина

135

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа дисциплины «Математика» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО (2010 г.). Математика относится к вариативной части профессионального цикла и на ее изучение отводится 576 часов.

Цель дисциплины — овладение будущими учителями начальных классов системой математических знаний и умений, составляющей научную основу математического образования школьников и обеспечивающей возможности их развития средствами математики.

Задачи дисциплины:

–раскрыть методологические основы математики: природы математических понятий, сущности и роли математических абстракций, математических методов изучения действительности;

–изучить различные подходы к построению системы натуральных чисел, углубление знаний о величине и ее измерении;

–расширить и углубить подготовку студентов в области геометрии;

–освоить такие понятия современной математики, как множество, соответствие между множествами, бинарное отношение и бинарная алгебраическая операция на множестве, обеспечивающих общий подход к изучению чисел, величин и геометрических фигур;

–овладеть основами логической грамотности;

–развить умения решать текстовые, логические, комбинаторные и другие виды задач;

–развить умения самостоятельно работать с научно-методи- ческой литературой;

–развить учебно-исследовательские умения.

Математикаявляетсяоднойиздисциплин,обеспечивающихподготовку будущих учителей начальных классов к профессиональной деятельности. Высокий уровень математической подготовки будет способствовать глубокому освоению современных идей и технологийобучениямладшихшкольниковматематике,посколькупозволит

136

правильно оценить роль понятий, изучаемых в начальных классах, вобщейсистемематематическихзнаний;позволитустановитьмеру строгостиизложения,обобщенияиконкретизации,которуюцелесообразно соблюдать в начальной школе, позволит грамотно решать вопросы математического развития детей. Кроме того, такое содержание курса математики создает условия для формирования у студентовпредставленийобидеяхиметодахматематики,оматематике как части общечеловеческой культуры.

Дисциплина «Математика» является основой для изучения дисциплины «Методика преподавания математики», а также дисциплин по выбору методико-математического содержания.

Для усвоения данной дисциплины необходим первоначальный уровеньподготовкистудентоввобъеме,изучаемомвсреднейшколе.

Дисциплина готовит к следующим видам профессиональной деятельности:

педагогическая:

реализация в учебном процессе образовательных программ начального математического образования с использованием современных психолого-педагогических методов, ориентированных на формирование и развитие учебной деятельности обучающихся;

осуществлениепрофессиональногосамообразованияиличностного роста, проектирование дальнейшего образовательного маршрута и профессиональной карьеры;

культурно-просветительская:

организация культурного пространства;

научно-исследовательская:

сбор, анализ, систематизация и использование информации по актуальным проблемам обучения младших школьников математике;

использованиесистематизированныхтеоретическихипрактических знаний для определения и решения исследовательских задач при обучении математике младших школьников;

реализация исследовательского обучения математике младших школьников.

137

Требования к уровню усвоения дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование у студентов следующих компетенций:

общекультурных:

–владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);

–способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-9);

–способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики (ОК-16).

профессиональных:

общепрофессиональных:

–способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК-2);

–способен нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК-4);

в области педагогической деятельности:

–способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);

–готовприменятьсовременныеметодикиитехнологии,втом числе и информационные, для обеспечения качества учебно-вос- питательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2);

специальных:

–способенприменятьзнаниетеоретическихосновитехнологий начального математического образования, готов использовать методы развития образного и логического мышления, формировать предметные умения и навыки младших школьников, готов

квоспитанию у них интереса к математике и стремления использовать математические знания в повседневной жизни (СК-4);

138

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ1

1 Составлен в соответствии с учебным планом по направлению 050100 «Педагогическое образование», профиль подготовки «Начальное образование» (срок обучения — 4 года). Утвержден в 2011 году.

139

140