Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

Рис. 11.1

Выделяем условия задачи. Их три:

(1)Неверно, что в первом мешке рис.

(2)Неверно, что во втором мешке мука.

(3)Неверно, что в первом мешке мука.

Из этих условий выводим следствия и отмечаем результаты втаблицеспомощьюзнаков«+»и«–».Таккаксоответствиемеж- ду множествами взаимно-однозначное, в каждой строке и в каждом столбце таблицы обязательно должен быть знак «+», и он должен быть только один.

В результате имеем такую картину:

Такимобразом,впервоммешкенаходитсясахар,вовтором— рис, а в третьем — мука.

Ответьте на следующие вопросы:

а) На каком основании на графе некоторые пары элементов соединены сплошными линиями, а некоторые — штриховыми?

б) Какие следствия были выведены из условий задачи и зафиксированы в таблице с помощью знаков «+» и «–»?

121

в) Как можно проверить правильность решения логической задачинаустановлениевзаимно-однозначногосоответствиямеж- ду множествами?

3. В нижеприведенных задачах выделите условия и решите их, используя графы и таблицы.

а) Коля, Ваня и Сережа учили таблицу умножения. Один учил таблицу умножения на 5, другой — на 6, третий — на 9. Кто какую таблицу учил, если Коля знал таблицу умножения на 6 и на 9, а Ваня знал таблицу умножения на 9?

б) Алеша, Боря, Женя и Ваня выполняли задание по выбору: решить задачу, примеры, уравнение или найти периметр фигуры. Кто какое задание выполнял, если Алеша не решал уравнений, задач и примеров; Боря не решал примеров и задач, а Ваня не решал задач?

в) В лесу проводились соревнования по бегу. Когда у волка спросили, как распределились места между победителями, он ответил, что первое место занял медведь или лиса, второе место занял заяц, а третье место — медведь. Но оказалось, что все эти утверждения ложные. Какое место заняли медведь, лиса и заяц?

г) Три друга — Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один — на трамвае, один — на троллейбусе.

Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третийдругкрикнулизокна:«Боря,тызабылвшколететрадку!». Кто из друзей на чем ездит домой?

4. Решите следующие задачи, используя графы и таблицы: а) Встретились три подруги: Белова, Розова и Краснова.

На одной из них было красное платье, на другой — розовое, на третьей — белое. Девочка в белом платье говорит Красновой: «Намнадопоменятьсяплатьями,атоцветнашихплатьевнесоот­ ветствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?

б) Миша, Сережа и Яша участвовали в шахматном турнире. Одинизнихучитсяво2«А»,другой—во2«Б»,третий—во2«В». Первую партию сыграли Миша и ученик 2 «А». Вторую — Сережа

122

сучеником 2 «В», а Миша отдыхал. В каком классе учится каждый из мальчиков?

в) Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, но в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Указание. В данной задаче рассматриваются три множества, между парами которых надо установить взаимно-однозначные соответствия. Выделите условия задачи и найдите ее решение

спомощью графа (см. рис. 11.2):

Рис. 11.2

5. Решите задачи, содержащие истинные и ложные высказывания, используя прием конкретизации задачи.

а) На необитаемом острове растут три дерева — дуб, береза и сосна. Под одним из них пираты зарыли клад, а на деревья повесили таблички. На дуб: «Клад зарыт под сосной»; на березу: «Клад зарыт не здесь»; на сосну: «Клад зарыт под березой». Узнайте,подкакимдеревомзарытпиратскийклад,еслиизтрехнадписей две истинные, а одна ложная.

б) Миша, Сергей и Володя участвовали в математической олимпиаде. При обсуждении того, кто из них может оказаться победителем, были высказаны такие мнения: Миша и Сергей; Миша и Володя; Сергей, но не Володя. Оказалось, что двое из ре-

123

бятполучилидипломыпобедителей.Ктоизнихсталпобедителем олимпиады, если из трех предположений одно истинно, другое — частично, а третье полностью оказалось ложным?

в) Имена троих мальчиков — Петя, Саша и Вася. Один из них всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий может сказать правду, а может и солгать. Когда им задали вопрос: «Как вас зовут?», один из мальчиков ответил: «Петя», а двое других — «Вася».Когдатотжевопросзадалиещераз,одинответил:«Вася», адвоедругих—«Саша».Ктоизмальчиковвсегдаговоритправду, кто лжет, а кто может сказать правду, а может и солгать?

11.2. Задачи на доказательство, основанное на принципе Дирихле1

1. В логических задачах, где требуется доказать какое-либо утверждение, можно рассмотреть самый худший случай. Если удается доказатьсправедливостьутверждениявхудшемслучае,тотемболее оно будет верно и в остальных случаях. Поэтому главное здесь — правильно определить этот худший случай. Руководствуясь сказанным, решите следующие задачи.

а) В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 черных шара. Какое наименьшее число шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказался:

1)хотя бы один белый шар;

2)хотя бы один черный шар;

3)хотя бы один белый и хотя бы один черный шар?

Решениевслучае1).Худшийслучайздесь,очевидно,тот,когда мы будем вытаскивать все время только черные шары. В этом случае, даже вытащив 2 шара, мы не вытащим белого шара. Но если мы вытащим 3 шара, то тогда уж точно из трех шаров по крайней мере один шар будет белым.

1 Дирихле Петер Густав Лежен (1805–1859) — известный немецкий математик.

124

б) В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 черных шара. Какое наименьшее число шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказались:

1)3 белых и 1 черный шар;

2)2 шара одного цвета?

2.Решитеследующиезадачи,определивсначалахудшийслучай. а)Вкоробке,котораястоитвтемнойкомнате,лежат10коричневыхи10красныхносководногоразмера.Скольконосковнадовзять из коробки, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета? б) В коробке, которая стоит в темной комнате, лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток одного размера. Сколько перчатокнужно взять из коробки, чтобысреди них оказалась пара

перчаток одного цвета?

в)Вкоробкевперемешкулежатшапочки:3зеленые,4желтые и 5 красных. Сколько шапочек надо достать не глядя, чтобы среди них были три шапочки: а) одного цвета; б) разных цветов?

г) На карточках написаны двузначные числа. Сколько карточек надо взять не глядя, чтобы по крайней мере одно из чисел делилось: 1) на 2; 2) на 7; 3) на 2 и на 7?

3.Принцип Дирихле — это логический прием, используемый

вкосвенном доказательстве существования объекта с заданными свойствами. Суть его такова: если по n ящикам разложить предметы, число которых больше n, то найдется ящик, в котором находится больше одного предмета.

Используя принцип Дирихле при решении логических задач, необходимо понять, что в задаче является «ящиками», а что — предметами, которые «раскладывают» в эти «ящики». Руководствуясь данным принципом, решите следующие задачи:

а) В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо выяснить, какой случай здесь «самый худший». Очевидно тот, когда в каждом классе школы есть ученики из ближайшего дома. Но в школе всего 20 классов, а учеников из ближайшего дома 23, поэтому в каких-то классах найдутся хотя бы два ученика из ближайшего

125

дома. Следовательно, можно утверждать, что из 23 учеников, которые живут в ближайшем к школе доме, обязательно найдутся хотя бы два одноклассника.

б) В школе 370 учащихся. Докажите, что среди всех учащихся школы найдутся хотя бы два человека, которые родились в один и тот же день года.

в) В классе учатся 25 человек. Докажите, что среди них обязательно найдутся трое, у которых день рождения в одном месяце.

г) Каждый из восьми человек, работающих в магазине, имеет один выходной день в неделю. Найдется ли такой день, когда будут отдыхать по крайней мере два человека?

д) В классе 23 ученика. Можно ли утверждать, что в нем найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы? А если в классе будет 32 ученика?

е) Учительница объявила результаты контрольной работы по математике. Больше всего ошибок было у Маши — 13. Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

ж) В коробке лежат цветные карандаши: 10 красных, по 8 зеленый и синих, 4 желтых. Не глядя берем из коробки карандаши. Какое наименьшее число карандашей нужно взять, чтобы среди них было:

1)хотя бы один карандаш каждого цвета;

2)не менее шести синих?

11.3. Задачи про правдолюбов и шутников

1. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят правду, а шутники постоянно шутят, а потому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает, в какое именно. Докажите, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос:

126

«Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится1.

Доказательство можно провести, построив блок-схему, где каждый шаг в рассуждении изображается прямоугольником.

Путешественник

Правдолюб Шутник Правдолюб Шутник

На блок-схеме видно, что если путешественник на вопрос «Вы местный?» получил ответ «да», то он находится в селении правдолюбов; если же он получил ответ «нет», то — в селении шутников.

2.В одном из селений острова правдолюбов и шутников всего две улицы. На одной живут правдолюбы, на другой — шутники. Как узнать, где какая улица, задав первому встречному жителю этого селения только один вопрос?

3.Вы встретили на острове незнакомца. На вопрос «Ты кто?» незнакомец ответил, что он лжец. Кем был этот человек?

4.Вы встретили на острове двух островитян и спросили

уних: «Если ли среди вас правдолюбы?» Первый ответил: «Нет, среди нас нет правдолюбов», а второй промолчал. Кто есть кто?

5.Вы встретили на острове троих островитян. Первый и третий сказали о втором: «Он — правдолюб». Второй сказал: «Все мы — правдолюбы!». Верно ли, что все трое правдолюбы?

11.4. Задачи на взвешивания, переливания и переправы

1. Имеются чашечные весы без гирь и три одинаковые по внешнему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоя-

1 Задача и ее решение взяты из статьи: Заесёнок В.П. Эвристические приемы решения логических задач / В.П. Заесёнок // Математика в школе. – 2005. – № 3.

127

щих(настоящиемонетыимеютодинаковуюмассу).Какоднимвзвешиваниемначашечныхвесахопределить,какаямонетафальшивая?

2.Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету (она легче других) из четырех одинаковых по внешнему виду монет?

3.Как с помощью двух взвешиваний определить, какая из девяти одинаковых по внешнему виду монет фальшивая? Известно, что фальшивая монета легче остальных.

4.В задачах на переливания требуется заполнить емкость определенным количеством жидкости с помощью двух (иногда трех) пустых сосудов. При этом разрешаются две операции: опорожнить один сосуд и наполнить до краев другой.

Имеется два сосуда вместимостью 5 л и 3 л. Как с их помощью налить из водопроводного крана 4 л воды?

Решение таких задач удобно искать с помощью таблицы. Используя заполненную таблицу, воспроизведите рассуждения для

задачи 4.

Можно ли решить задачу 4 иначе?

5. (Задача Пуассона.) Один человек имеет в бочонке 12 пинт1 вина и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеется два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

62. Крестьянину надо перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодке может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оста-

1 Пинта — старинная фр. мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л.

2 Эта задача под номером 18 содержалась в пособии «Задачник для изощрения ума юношей», написанном вVIII в. Ф. Алкуином и опубликованном в немецком городе Аахене.

128

вить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин?

7. Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река. У берега нашелся плот, который выдерживает на воде только отца или двух сыновей. Как всем троим переправиться на другой берег? Сколько раз плот пересечет реку?

11.5. Задания для самоконтроля

Изучив тему «Логические задачи», студент должен уметь:

•распознавать логические задачи, основываясь на понятии логической задачи и знании о некоторых их видах;

•решать несложные логические задачи на установление взаим- но-однозначного соответствия между множествами, используя графы и таблицы;

•решать несложные логические задачи на доказательство, основанное на принципе Дирихле;

•решать несложные логические задачи на взвешивания, переливания и переправы.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.Нижеприведенные задачи относятся к виду логических задач на упорядочивание множества. Объясните, почему эти задачи так называют, и решите их, воспользовавшись числовой прямой.

а) На столе книга лежит левее тетради, журнал правее газеты,

агазета правее тетради. В каком порядке они лежат?

б) Аня, Таня, Люся и Дуся живут в одном доме. Известно, что две из них ровесницы. И еще известно, что Аня старше Тани, а Таня моложе Люси; Люся моложе Дуси, а Дуся старше Ани. Как зовут ровесниц?

в) Петя, Коля, Витя, Света и Маша живут в одном пятиэтажном доме, но на разных этажах. Петя живет выше Коли, но ниже Маши. Витя и Маша живут не на соседних этажах. Этаж, на кото-

129

ром живет Света, не соседствует с Машиным, Витиным и Петиным этажами. Кто же на каком этаже живет?

2.Выделитеизнижеприведенныхзадачлогическиеирешитеих. а) Катя, Наташа и Оля собирали в лесу шишки. Одна из девочек нашла 8 шишек, вторая — 9, а третья — 10. Наташа собрала шишек больше, чем Оля, а Катя больше, чем Наташа. Сколько

шишек собрала каждая девочка?

б) Шифр для сейфа составляется из трех разных цифр. Сколько всевозможных шифров можно составить из цифр 5, 6 и 7?

в) Во дворе бегали цыплята и котята. Всего их было 5, а ног у них было 16. Сколько было цыплят и сколько котят?

г) Игорь, Олег и Виктор задумали по одному слову. Слова содержали 2, 3 или 4 слога. Угадайте, сколько слогов содержится

всловах, задуманных мальчиками, если Олег задумал слово «задача», а слово Игоря содержит не более чем 2 слога. Могли ли мальчики загадать слова: задача, вопрос, решение?

д) Какое наименьшее число яблок нужно взять из ящика, чтобы среди них оказалось хотя бы 2 яблока одного сорта, если

вящике находятся яблоки четырех сортов?

3. Решите следующие логические задачи, указав их вид.

а) Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили: «Коля ни первое, ни четвертое», «Боря второе», «Вова не был последним». Какое место занял каждый мальчик?

б) Оля, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили из смородины, две девочки — из крыжовника. Таня и Ира варили из разных ягод. Ира и Оля варили из разных ягод. Ира варила из крыжовника. Из каких ягод варила варенье каждая девочка?

в) Нина, Валя, Инна, Марина и Костя собирали фрукты. Трое собирали яблоки, двое — груши. Костя и Марина собирали одинаковые фрукты. Марина и Валя — разные. Валя и Нина — разные. Что собирал каждый из них?

г) Имеются два сосуда вместимостью 8 и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7 л воды?

130