Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

7.В качестве способа систематизации часто рассматриваются многоступенчатые классификации. Например, как систематизи-

ровать числа 2, 17, 121, 20, 7, 100, 58, 9, 8, 13, 46, 240, 807, 466,

если воспользоваться следующей схемой2:

8.На множестве треугольников рассматриваются два признака: «быть равнобедренным треугольником» и «быть прямоугольным треугольником». На какие классы разобьется множество треугольников с помощью этих признаков? Начертите по два треугольника из каждого класса.

9.Покажите, что решение нижеприведенных задач связано

сразбиением заданного множества на классы.

а) В каждую лодку могут сесть 4 человека. Сколько лодок понадобится для 28 человек?

б) 28 человек надо посадить поровну в 6 лодок. По сколько человек окажутся в каждой лодке?

1 Там же. – С. 54 (№ 5).

2 Там же. – С. 60–61 (№ 5).

21

10.О каких множествах и операциях над ними идет речь

вниже приведенных задачах.

а)12карандашейразложиливкоробкепо6карандашейвкаждую. Сколько потребовалось коробок?

б) 18 яблок разложили поровну в три вазы. Сколько яблок

вкаждой вазе?

1.5.Декартово произведение множеств

1.Прочитайте запись А × В = {(x, y) | x Aи y B} и объясните, из каких элементов состоит множество А × В, если А = {2, 5},

В={х,у}.

2.Найдите декартово произведение множеств А и В, если:

а) А = {x, y, z}, B = {m, p}; б)A= B = {1, 2, 3};

в)A= {1, 2, 3}, B = .

3.Изобразите при помощи графа и таблицы декартово произведение множеств:

а)A= {3, 4}, В = {6, 7, 8}; б)A= В = {3, 4, 5}.

4.Изобразите на координатной плоскости декартово произведение А × В, если:

а)A= {2, 4}, В = {1, 2, 3}; б)A= [2, 4], В = [1, 3]; в) А = R, B = [1, 3].

5.Определите,декартовопроизведениекакихмножествXиY изображено на рисунке 1.5.

6.Дано число 77 202. Запишите:

а) множество цифр в записи этого числа; б) кортеж цифр в его записи.

7.Элементами множеств А и В являются пары чисел:

А= {(5, 7), (4, 2), (4, 0), (0, 0)}, В = {(8, 1), (2, 4), (4, 0)}. Найдите пересечение и объединение данных множеств.

22

Рис. 1.5

8. Прочитайте запись А1 × А2 × … × Аt = {(x1, x2, …, xt) | x1 A1

и x2 A2 и … и xt At} и объясните, как образуются элементы множества А1 × А2 × … × Аt. Как называют упорядоченный набор

(x1, x2, …, xt)?

9.НайдитеА1 ×А2 ×А3,еслиА1 ={4,6},A2 ={3,4,5},A3 ={1,2}.

КортежикакойдлиныявляютсяэлементамимножестваА1 ×А2 ×А3? 10. Число элементов в декартовом произведении двух конечных множествможнонайтиследующимобразом:n(A×B)=n(A)·n(B). Объясните,чтообозначаютвсесимволывприведеннойзаписи.Дай-

те словесную формулировку этого правила.

11. Известно, что в множестве А содержится 5 элементов, а в множестве В — 7 элементов. Сколько упорядоченных пар элементов будет в декартовом произведении данных множеств?

23

12.Число элементов в декартовом произведении t конечных множеств можно найти следующим образом: n (А1 × А2 × … × Аt) =

=n(А1)·n(А2)·…·n(Аt).Объясните,чтообозначаютвсесимволы в этой записи.

13.Известно, что в множестве А содержится 5 элементов, в множестве В — 4 элемента, в множестве С — 6 элементов. Сколько упорядоченных наборов из трех элементов будет в декартовом произведении данных множеств?

14.Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 2, 3, 4, 5, если цифры в записи числа не повторяются?

15.В понедельник в первом классе должно быть три урока: математика, чтение и физкультура. Сколько различных вариантов расписания и какие можно составить на этот день?

16.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6 при условии:

а) цифры в записи числа могут повторяться; б) цифры в записи числа не повторяются?

17.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 4, 6 при условии:

а) цифры в записи числа могут повторяться; б) цифры в записи числа не повторяются?

1.6. Задания для самоконтроля

Изучивтему«Множествоиоперациинадними»,студентдолжен уметь:

•распознавать конечные и бесконечные множества;

•переходить от одного способа задания множества к другому;

•устанавливать отношения между множествами (включения, пересечения,равенства)иизображатьихприпомощикруговЭйлера;

•находить пересечение, объединение, разность множеств;

•находить число элементов в пересечении, объединении и разности (дополнении) конечных множеств;

•находить декартово произведение двух и более множеств;

24

•вычислять число элементов в декартовом произведении двух и более конечных множеств;

•производить разбиение множества на классы с помощью свойств; оценивать правильность выполненной классификации;

•применять знания по теме для анализа материала учебников математики для начальной школы.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.Разбейте следующие множества конечные и бесконечные:

а) А = {x | x N, x < 5}; б) B = {x | x N, x > 5};

в) С — множество точек на отрезке АВ; г) D — множество вершин квадрата; д) Е — множество треугольников;

е) K — множество двузначных чисел.

2.Перечислите элементы следующих множеств: а) А — множество сторон прямоугольника MKLP;

б) B = {x | x N и 2 < x ≤ 7};

в) С — множество однозначных чисел;

г) D = {y | y N и y < 8}.

3.Установите отношения между множествами М, K, D и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если:

а) М — множество натуральных чисел, запись которых оканчивается нулем, К — множество натуральных чисел, кратных 5, D — множество натуральных чисел, кратных 3;

б)М—множествотреугольников,К—множестворавнобедрен- ныхтреугольников,D—множестворавностороннихтреугольников.

4.А—множествочетныхнатуральныхчисел,В—множество­ натуральных чисел, кратных 5, С — множество натуральных чисел,кратных7.Укажитехарактеристическоесвойствомножества: а) А \ В С; б) А \ (В С). Запишите по три элемента, принадлежащие каждому из множеств.

5.В группе 30 учащихся, из них 18 увлекаются математикой, 17 — русским языком. Каким может быть число учащихся, увлекающихся:

25

а) обоими предметами; б) хотя бы одним предметом?

6.Изобразите декартово произведение множеств Х = {3, 4, 7}

иY = {y | y N, y < 5}:

а) при помощи таблицы; б) при помощи графа;

в) на координатной плоскости.

7.Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех вертикальных полос одинаковой ширины разных цветов — зеленого, черного и желтого. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг?

8.Назовите классы разбиения множества Р — учащихся школы,полученныеприпомощисвойств«бытьшахматистом»,«быть лыжником», «быть волейболистом», если никто из шахматистов не увлекается лыжами, но все волейболисты играют в шахматы.

9.О какой операции и над какими множествами идет речь

вследующих задачах:

а) Из корзины взяли 4 яблока и 3 груши. Сколько всего фруктов взяли из корзины?

б) У Тани было 5 марок. Две марки она наклеила на конверт. Сколько марок осталось у Тани?

в) Сколько столов понадобится 27 ученикам, если за каждый стол могут сесть 3 человека?

10. Проектная задача: «Множества в начальном обучении математике».

I. Установите, в каких учебниках математики для начальных классов теоретико-множественные понятия изучаются в явном виде, а в каких — неявно. Выводы обоснуйте.

II. Назовите теоретико-множественные понятия, которые школьники изучают в явном виде. Приведите примеры заданий, которые они выполняют для усвоения этих понятий.

III. Выясните, с какой целью теоретико-множественные понятия включены в учебники математики для 1–4 классов.

26

Глава 2. Математические понятия

2.1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

1. Заполните таблицу:

2.Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий a и b, если:

а) a — «прямоугольник», b — «четырехугольник»;

б) a — «равнобедренный прямоугольник», b — «прямоугольный треугольник»;

в) a — «прямой угол», b — «острый угол».

3.Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объектами понятий a, b и с, если:

а)a —«прямоугольник»,b —«четырехугольник»,с—«квадрат»; б) a — «треугольник», b — «прямоугольный треугольник»,

с— «тупоугольный треугольник».

27

4. Приведите примеры понятий, отношения между объемами которых изображены на рисунке 2.1.

Рис. 2.1

5.Назовите три существенных свойства понятия «прямо­ ­ угольник».

6.Какиеизприведенныхнижесвойствтрапецииявляютсясущественными, а какие несущественными:

а) две стороны трапеции параллельны; б) оба угла при большем основании равны;

в) оба угла при меньшем основании равны; г) сумма внутренних углов трапеции равна 360°.

28

7.В каком случае понятие a называют родовым по отношению к понятию b, а понятие b — видовым по отношению к понятию a?

8.В каком случае понятия a и b считают тождественными?

9.Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:

а) a — треугольник, b — равнобедренный треугольник; б) a — круг, b — окружность;

в) a — трехзначное число, b — двузначное число?

10.Какие из нижеприведенных понятий являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольник»:

а) квадрат; б) ромб; в) параллелограмм?

11.Какие из нижеприведенных понятий являются родовыми по отношению к понятию «треугольник»:

а) многоугольник; б) равносторонний треугольник;

в) геометрическая фигура?

12.Среди понятий «натуральное четное число», «натуральное число, кратное 3», «натуральное число, кратное 9» выделите пары понятий, находящихся в отношении рода и вида, и изобразите их объемы при помощи кругов Эйлера.

13.Верно ли, что видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия?

14.Является ли понятие «отрезок» видовым по отношению

кпонятию «прямая»?

15.Есть ли среди понятий «треугольник», «сумма чисел», «слагаемое», «сторона треугольника», «числовое выражение» понятия, находящиеся в отношении целого и части?

2.2.Виды определений понятий

1.Выделитевопределении:«Параллелограммомназываетсячетырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны»:

29

а) определяемое понятие; б) определяющее понятие;

в) родовое понятие (по отношению к определяемому); г) видовое отличие.

2. Какие свойства параллелограмма включены в его определение?

3.Явноеопределениелюбогопонятияимеетструктуруа b.

опр.

Как следует ее понимать?

4.Объем А определяемого понятия аможно представить в таком виде: A = {x | x C и P (x)}. Что обозначают символы в этой записи? Проиллюстрируйте ее, приведя примеры определений понятий, изучаемых в школьном курсе математики.

5.Каким требованиям должно удовлетворять определение понятия через род и видовое отличие?

6.Объясните,какиетребованиянарушенывследующихопределениях понятий.

а) Прямыеаиb называютпараллельными,еслионинеимеют общих точек.

б) Смежными называют углы, которые в сумме состав­ ляют 180°.

в) Отрезок — это прямая, ограниченная с двух сторон.

г) Тупоугольным треугольником называется треугольник,

укоторого все углы тупые.

7.Сформулируйте определение диаметра окружности, выбрав в качестве родового понятия отрезок. Назовите видовое отличие.

8.Сформулируйте определение остроугольного треугольника. Какое понятие вы выбрали в качестве родового и какое назвали видовое отличие?

9.Какие способы определения понятий использованы в учебнике «Математика» для 3-го класса (автор Н.Б. Истомина)1.

1 Истомина Н.Б. Математика: учебник для 3 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2008.

30