Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

а) Переведи на прозрачный лист бумаги любую маленькую фигуру и наложи ее на любую большую фигуру. Вот так:

В этом случае говорят, что площадь черной фигуры больше, чем площадь белой фигуры, и площадь белой фигуры меньше, чем площадь черной фигуры.

б) Расскажи, как разделили конфеты. Объясни, что обозначает каждоечисловравенствах,записанныхподрисунками.Длязаписи деления в математике используют знак : .

в) Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон.

10. Какие способы определения понятий использованы в учебнике «Математика» для 4-го класса (автор Н.Б. Истомина)1:

а)Приделениисостаткомрезультатзаписываютдвумячислами. Первое число называют неполным частным, второе остатком.

б) Для обозначения неизвестного числа математики договорились использовать латинские буквы. Например, x, y, a, b, c. Поэтому равенства с «окошками» можно записать так:

х – 12 = 78, y · 5 = 45, a : 2 = 45, с + 12 = 102. Это уравнения.

в) Решить уравнение — значит найти такое число, которое нужно записать вместо буквы, чтобы получить верное числовое равенство. Это число называют корнем уравнения.

1 Истомина Н.Б. Математика: учебник для 4 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2008.

31

2.3. Задания для самоконтроля

Изучивтему«Математическиепонятия»,студентдолженуметь:

•анализировать логическую структуру определений понятий через род и видовое отличие;

•формулировать определение понятий через род и видовое отличие с учетом требований к таким определениям;

•находить логические ошибки в определениях знакомых понятий;

•распознавать способ определения понятий (остенсивные, контекстуальные, через род и видовое отличие);

•применять знания по теме для анализа материала учебников математики для начальных классов.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания:

1.Назовите пять существенных свойств понятия «равнобедренный треугольник» и изобразите при помощи кругов Эйлера отношение между объемом данного понятия и понятия «остроугольный треугольник».

2.Находятся ли понятия «равнобедренный треугольник» и «остроугольный треугольник» в отношении рода и вида?

3.Выделите в определении: «Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны» определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие.

4.Найдите логические ошибки и исправьте их в следующих определениях:

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны;

б)Прямойугол—этокогдасторонывзаимноперпендикулярны.

5.Каков способ определения понятия «трехзначное число», если учащимся предлагается ответить на вопрос: «Сколько всего цифр (знаков) используется для записи каждого из чи-

32

сел: 582, 400, 841, 333, 565?» и делается вывод: «Это трехзначное число»?

6. Проектная задача: «Определение понятий в начальном курсе математики».

I. Выясните, каким способом определяются в различных учебниках математики для начальных классов понятия:

II.Установите,вкакихучебникахматематикидляначальнойшколыпреобладаютопределенияпонятийчерезродивидовоеотличие.

III. Пронаблюдайте, какие логические ошибки допускают младшие школьники, формулируя определение понятия через род и видовое отличие.

33

Глава 3. Математические предложения

3.1. Высказывания и высказывательные формы

1.Нижеприведенные математические предложения разбейте на два класса: высказывания и высказывательные формы; высказывания, в свою очередь, разбейте на истинные и ложные.

а) 12 – 3 > 7; б) 12 x – 3 > 7; в) 12 – 3 < 7;

г)влюбомквадратедиагоналипересекаютсяподпрямымуглом;

д) 54 = 7 · 8; е) 8 х + y = 20;

ж) существуют равнобедренные тупоугольные треугольники; з) любое натуральное число является решением уравнения

12 : х = 17.

2.На множестве натуральных чисел заданы высказывательные формы:

а) у : 208 = 1 032; в) число х — четное и меньше 10;

б) 2 х – 3 < 5; г) у : 4 = 6 (ост. 3).

Найдите множество истинности каждой из них.

3. Известно, что любое математическое предложение характеризуется содержанием и логической структурой. Поясните это,

34

4. Значение истинности составных высказываний определяют согласно следующим правилам:

Пользуясь этой таблицей, определите значение истинности следующих высказываний:

а) число 12 делится на 3 и на 4; б) число 132 делится на 3 и на 9;

в) при делении 48 на 5 в остатке получается 3 или 8; г) корнем уравнения (х – 3) (х – 8) = 0 является число 3 или 8;

д) значением выражения 571 · (625 – 25 · 25) является число 0

или 571.

5. Х — множество нечетных натуральных чисел, Y –— мно-

6.Постройте различными способами отрицание следующих высказываний и установите, что истинно: данное высказывание или его отрицание.

а) Число 126 делится на 4.

б) 39 + (87 + 24) > (39 + 87) + 24.

в) Число 10 является корнем уравнения 5 х = 60.

7.Если А (х) и В (х) — высказывательные формы, заданные

на множестве Х, а ТА и ТВ — их множества истинности, то чтобы найти множества истинности конъюнкции и дизъюнкции, используют следующие правила:

ТА В = ТА ∩ ТВ, ТА В = ТА ТВ.

35

1)Сформулируйте эти правила, не используя символы.

2)Найдите с помощью этих правил множества истинности конъюнкции и дизъюнкции следующих высказывательных форм, заданных на множестве R:

а) 4 х + 3 < 11 и 3 х – 7 < 8; б) 5 х + 2 > 12 и х + 8 > 2 х.

8. Покажите, что, выполняя следующие задания, учащиеся по сути дела находят множество истинности конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм.

а) Из ряда чисел 5, 10, 15, 20, 100, 105 выпишите числа: двузначные или меньшие 15; двузначные и меньшие 15.

б) Постройте два четырехугольника, у которых противоположные стороны равны и есть прямой угол.

9. Сформулируйте определение понятия «квадрат», выбрав

в качестве родового понятия «прямоугольник». Как связаны в этом определении свойства «быть прямоугольником» и «иметь все равные стороны»? Верно ли, что характеристическое свойство объема понятия «квадрат» представляет собой конъюнкцию двух свойств? Что из этого следует?

10. Используя определение квадрата, установите, какие из следующих фигур (см. рис. 3.1) можно назвать квадратами.

Рис. 3.1

11.Какиспользоватьприрешениизадачнараспознаваниеопределения понятий, если характеристическое свойство объема понятияпредставляетсобой:а)конъюнкциюn свойств;б)дизъюнкциюn свойств?

36

12. Как вы будете действовать, если среди следующих фигур надо распознать отрезки (см. рис. 3.2)?

Рис. 3.2

3.2. Высказывания, содержащие кванторы

1.Каким образом из высказывательной формы А (х): «число х кратно 3», заданной на множестве N натуральных чисел, можно получить высказывание?

2.Есть ли среди ваших ответов на вопрос задания 1 такие высказывания: «Всякое натуральное число кратно 3»; «Существуют натуральные числа, кратные 3»? Как они получены из высказывательной формы «число х кратно 3»? Истинны они или ложны?

3.Выявите логическую структуру следующих высказываний: а) Некоторые четные числа делятся на 10.

б) Все натуральные числа, которые оканчиваются цифрой 5,

делятся на 5.

в) Среди различных прямоугольников есть такие, площади которых равны.

г) При умножении единицы на любое число получается то число, на которое умножали.

4.Как устанавливают истинность высказывания с квантором общности? Как, например, убедиться в истинности высказывания: «Любое число из ряда 2, 4, 6, 8, 10, 12» — четное?

5.Как устанавливают ложность высказывания с квантором общности? Как, например, убедиться в ложности высказывания: «Всякое число из ряда 2, 4, 6, 8, 10, 12 делится на 3»?

37

6.Как устанавливают истинность высказывания с квантором существования? Как, например, убедиться в истинности высказывания: «В ряду чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12 найдутся такие, которые делятся на 3»?

7.Как устанавливают ложность высказывания с квантором существования? Как, например, убедиться в ложности высказывания: «В ряду чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12 есть числа, которые делятся на 9»?

8.Укажите способ установления значения истинности следующих высказываний:

а) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.

б) Любое однозначное число является решением неравенства

х+ 2 > 1.

9.Можно ли опровергнуть данные ниже утверждения, приведя контрпример:

а) Среди тупоугольных треугольников есть остроугольные. б) Любое числовое выражение имеет значение.

Ответыобоснуйте;постройтеотрицаниеданныхвысказываний.

10.Можно ли доказать данные ниже утверждения, приведя пример:

а) Среди числовых выражений есть такие, значения которых равны.

б) Если частное умножить на делитель, то получится делимое.

11.Даны выражения: 56 : 8, 28 : 4, 42 : 7, 18 : 2, 30 : 6, 64 : 8.

Относительно этих выражений ниже приведены высказывания. Установите их значение истинности.

а) Среди выражений есть такие, значения которых равны. б) Среди выражений есть только два, значения которых —

четные числа.

в) Все выражения имеют смысл на множестве натуральных чисел.

г) Числовые значения всех выражений меньше числа 9.

12.Докажите, что каждое из нижеприведенных высказываний ложное и сформулируйте их отрицание.

38

а) Число 321 делится на 9.

б) 5 > 7.

в) Число 14 четное и делится на 3. г) Число 128 делится на 3 или на 9.

д) Все треугольники являются остроугольными. е) Существуют отрицательные однозначные числа.

13.ВысказывательныеформыР(х):«суммацифрчислахделитсяна3»иQ(х):«числохделитсяна3»заданынамножествеN натуральныхчисел.Какиеизнижеприведенныхвысказыванийистинны, а какие ложны:

а) ( х) [Р (х)]; б) ( х) [Р (х)]; в) ( х) [Q (x)]; г) ( х) [Q (x)]?

3.3. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами

1.Высказывание А (х) В (х) можно прочитать по-разному.

•Из А (х) следует В (х);

•Всякое А (х) есть В (х);

•Если А (х), то В (х);

•В (х) есть следствие А (х);

•А (х) есть достаточное условие для В (х);

•В (х) есть необходимое условие для А (х).

Докажите, что высказывание: «Если число х кратно 9, то число

хкратно 3» истинно и сформулируйте его различными способами.

2.Верно ли, что высказывание: «Если число х кратно 3, то число х кратно 9» ложное?

3.Докажите, что высказывание: «Всякий квадрат является ромбом» истинное и сформулируйте его, используя слова «достаточно», «необходимо».

4.Высказывание А (х) В (х) можно прочитать по-разному:

•А (х) равносильно В (х);

•А (х) тогда и только тогда, когда В (х);

•А (х) — необходимое и достаточное условие для В (х);

•В (х) — необходимое и достаточное условие для А (х).

39

Докажите, что высказывания «каждое слагаемое суммы делится на 7» и «сумма делится на 7» равносильны. Как можно прочитать по-разному доказанное утверждение?

5. Какое из нижеприведенных высказываний истинное?

а) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10.

б) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5.

6.Вместо многоточия ставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно», чтобы данные предложения были истинными.

а) Для того чтобы число делилось на 12, …, чтобы оно делилось на 4.

б) Для того чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 12.

в) Для того чтобы число делилось на 12, …, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

г) Для того чтобы число делилось на 15, …, чтобы оно делилось на 5.

7.ВысказывательныеформыР(х):«суммацифрчислахделится на 9» и Q (х): «число х делится на 9» заданы на множестве N натуральныхчисел.Какиеизнижеприведенныхвысказыванийистинны,

акакие ложны:

а) Р (х) Q (х); б) Q (х) Р (х); в) Р (х) Q (х)?

3.4. Структура теоремы. Математические правила

1. Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем:

а) Если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны.

б) В любом квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. в) Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

40