Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

11.Установите отношения между множеством А и множест­ вами В, С, D, Е, если А = {m, n, l, p, k}; B = {l, e, p}; C = {p, k}; D = {k, l, m, n, p}; E = {x, y, z}. Сделайте соответствующие записи

идля каждого случая постройте круги Эйлера.

12.Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между следующими парами множеств, если:

а) А — множество четных натуральных чисел,

В— множество натуральных чисел, кратных 4.

б) А — множество четных натуральных чисел, С — множество натуральных чисел, кратных 3.

в) А — множество четных натуральных чисел, D — множество нечетных натуральных чисел.

г) А — множество четных натуральных чисел,

Е— множество натуральных чисел, кратных 2.

13.Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если:

а) А = {k, l, m, n, o, p}, B = {m, n, o, p}, C = {m, n}; б)A= {k, l, m, n, o, p}, B = {m, n, x, y}, C = {k, l, o}; в)A= {k, l, m, n, o, p}, B = {m, n, x, y}, C = {x, y}; г)A= {k, l, m, n, o, p}, B = {m, n, x, y}, C = {m, n}.

14.А—множествотреугольников,В—множестворавнобедрен- ных треугольников, С — множество равносторонних треугольников. ИзобразитеотношениямеждунимиприпомощикруговЭйлера.

15.Задайте множества X и Y, чтобы отношения между ними были такими, как на рисунке 1.1.

16.В каком случае на рисунке 1.2 изображены множества С

иD, если С — множество двузначных натуральных чисел, а D — множество натуральных чисел, которое делится на 4?

17.Какое из нижеприведенных утверждений можно изобразить при помощи кругов Эйлера так, как на рисунке 1.3?

а) Множество ромбов является подмножеством множества четырехугольников.

б) Всякий квадрат является ромбом. в) Все ромбы являются квадратами.

11

Рис. 1.1

Рис. 1.2

12

Рис. 1.3

18.В каком отношении находятся множества С и D, если:

а) С = {x | x N, x < 5}, D = {x | x N, 2 ≤ x ≤ 8}; б) C = {x | x N, x < 5}, D = {x | x N, 1 ≤ x ≤ 4}; в) C = {x | x N, x < 5}, D = {x | x N, x ≤ 10}.

19.В математике для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых чисел — буквой Z, множество рациональных чисел — буквой Q, множество действительных чисел — буквой R.

1)Прочитайте следующие предложения:

17 N –8 Z 2,7 Q 2 R

2)Назовитеподваэлементаизкаждогомножестваисделайте соответствующие записи.

20.М — множество четных двузначных чисел. Принадлежат лиэтомумножествучисла8,12,96,104?Ответзапишите,используя символы и .

21.Множество D состоит из треугольника, прямоугольника и круга. Принадлежит ли этому множеству сторона треугольника, диагональ прямоугольника и радиус круга?

22.Окакихтеоретико-множественныхпонятияхидетречьвсле- дующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов:

а) Запиши по порядку числа от 10 до 21. Подчеркни и прочитай числа, которые делятся на 5.

б)Изрядачиселот1до15выпишипопорядкунечетныечисла. в)Запишитричисла,которыеприделениина4даютвостатке3.

13

1.2. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность)

1.Прочитайте запись А ∩ В = {x | x A и x B} и, используя ее, объясните, каково характеристическое свойство множест­ ва А ∩ В, если А — множество четных натуральных чисел, а В — множество натуральных чисел, которые делятся на 5.

2.Дайте интерпретацию пересечения множеств А и В при помощи кругов Эйлера, рассмотрев все возможные отношения между множествами А и В.

3.Известно, что m A. Следует ли из этого, что m A∩ В?

4.Известно, что m A∩ В. Следует ли из этого, что m A?

5.Найдите пересечение множеств А и В, если:

а)A= {x, y, z, t, p}, B = {z, t, n, m}; б)A= {x, y, z, t, p}, B = {y, z, t};

в)A= {x, y, z, t, p}, B = {x, y, z, t, p};

г)A= {x, y, z, t, p}, B ={x, y, z, t, p, m, n}; д)A= {x, y, z, t, p}, B = {a, b, c};

е)A= {x, y, z, t, p}, B = .

6.Прочитайте запись А В = {x | x A или x B} и, используя ее, объясните, каково характеристическое свойство множества А В, если А — множество четных натуральных чисел,

аВ — множество натуральных чисел, которые делятся на 5.

7.ДайтеинтерпретациюобъединениямножествАиВприпомощи кругов Эйлера, рассмотрев все возможные отношения множествами А и В.

8.Известно, что n А. Следует ли из этого, что n А В?

9.Известно, что n А В. Следует ли из этого, что n А?

10.Найдите объединение множеств А и В, заданных в упражнении 5.

11.Изкакихэлементовсостоитпересечениеиобъединениемножества букв в слове «школа» и множества букв в слове «класс»?

12.Х — множество двузначных чисел, Y — множество четных натуральных чисел, не превышающих 50. Из каких чисел состоит пересечение данных множеств? А объединение?

14

13.М — множество треугольников, Р — множество прямоугольных треугольников. Из каких треугольников состоит пересечение данных множеств? А объединение?

14.Начертите два квадрата так, чтобы их пересечением: а) был квадрат; б) был треугольник; в) была точка.

15.Начертите две фигуры, принадлежащие объединению множеств Х и Y, если:

а) Х — множество треугольников, Y — множество прямоугольных треугольников;

б) Х — множество прямоугольных треугольников, Y — множество квадратов.

16.Пересечение и объединение множеств обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Установите соответствие между записью этих свойств и их названиями:

17. Пересечение и объединение множеств связаны между собой дистрибутивными свойствами. Установите соответствие между записью этих свойств и их названиями:

15

18. Даны множества: А — чисел, кратных 3; В — чисел, кратных 5; С — чисел, кратных 7. Из каких чисел состоит множество:

Изобразите при помощи кругов Эйлера множества: А В и

(А В) С.

20.Назовите все множества, о которых идет речь в задаче,

иизобразите их при помощи кругов Эйлера.

а) У Маши в пенале две авторучки и три карандаша. Сколько всего предметов в пенале у Маши?

б) У Саши было 4 машинки. В день рождения ему подарили еще 3 машинки. Сколько машинок стало у Саши?

21.Прочитайте запись А \ В = {x | x Aи x В} и, используя ее, объясните, каково характеристическое свойство множества

А\ В, если А — множество четных натуральных чисел, а В — множество натуральных чисел, которые делятся на 5.

22.Дайте интерпретацию разности множеств А и В при помощи кругов Эйлера, рассмотрев все возможные отношения между множествами А и В. Как называется и обозначается разность множеств А \ В, если В является подмножеством множества А?

23.Известно, что m А \ В. Следует ли из этого, что:

24.Найдите разность множеств А и В, заданных в упражне-

нии 5.

25.Даны множества: Х — однозначных чисел, Y — четных однозначных чисел. Из каких чисел состоит дополнение множества Y до Х? Покажите при помощи кругов Эйлера это дополнение.

26.М — множество треугольников, Р — множество прямоугольных треугольников. Из каких треугольников состоит дополнение множества Р до множества М? Покажите при помощи кру-

гов Эйлера это дополнение.

16

27. Даны множества: А — чисел, кратных 3; В — чисел, кратных 5; С — чисел, кратных 7. Из каких чисел состоит множество:

а) (А В) \ С; б) (А ∩ В) \ С; в) (А \ С) (В \ С)?

Есть ли среди них равные?

28.Какое множество является дополнением множества N натуральных чисел до множества Z целых чисел? Покажите его при помощи кругов Эйлера.

29.Верно ли, что множество дробных чисел является дополнением множества Z целых чисел до множества Q рациональных чисел? Проиллюстрируйте свой ответ при помощи кругов Эйлера.

30.О какой операции и над какими множествами идет речь

вследующих задачах?

а) Мама нашла 7 подосиновиков, 5 из них она отдала Коле. Сколько подосиновиков осталось у мамы?

б) В библиотеке было 70 учебников по математике. После того как часть из них раздали учащимся, в библиотеке осталось 45 учебников. Сколько учебников по математике раздали школьникам?

1.3. Число элементов в объединении и разности конечных множеств

1. Число элементов в объединении двух конечных множеств можно найти следующим образом:

n (А В) = n (А) + n (В) n (А В) = n (А) + n (В) – n (А ∩ В)

Объясните,чтообозначаютвсесимволывприведенныхзаписях.

2.Дайте словесную формулировку следующим записям: n (А) =

=3,n(В)=6,А∩В= .Можнолиутверждать,чтоn(А В)=9?

3. Дайте словесную формулировку следующим записям: n (А) = 5, n (В) = 7, n (А ∩ В) = 2. Верно ли, что в этом случае n (А В) = 10?

4. Даны множества: А = {x, y, z, t, p, m}, B = {a, b, c, d, x, y}.

Найдите n (А ∩ В) и n (А В).

17

5. Число элементов в объединении t конечных попарно непе-

множества А можно найти следующим образом: n (В′А) = n (А) –

– n (В). Объясните, что обозначают все символы в этой записи.

8. Дайте словесную формулировку следующим записям: n (А) = = 8, n (В) = 5, В А. Можно ли утверждать, что n (В′А) = 3?

9. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества, о которых идет речь в задаче.

а) В классе 25 учащихся, из них 18 увлекается математикой, 17 — русским языком.

б) Из 30 учащихся 15 занимаются гимнастикой, а 12 — иг­ рают в волейбол.

10. В классе 32 ученика. Из них 18 школьников занимаются в математическом кружке, 13 — в химическом, а 7 детей не посещают эти кружки. Сколько школьников, посещающих химический кружок, увлекается математикой?

11. В классе некоторые мальчики собирали марки. 15 человек собирали марки России, 11 человек собирали иностранные марки, из них 6 человек собирали и марки России, и иностранные марки. Сколько мальчиков в классе собирали марки?

12. В школе в трех секциях (лыжной, хоккейной и конькобежной) занимались 38 человек. Известно, что в лыжной секции занимался 21 человек, среди которых 3 человека занимались еще в конькобежной секции, 6 человек — еще в хоккейной секции и 1 человек занимался одновременно во всех трех секциях. В конькобежной секции занимались 13 человек, среди которых 5 человек занимались одновременно в двух секциях. Сколько человек занималось в хоккейной секции?

18

13.В летнем лагере 70 ребят, 27 из них занимаются в драмкружке, 32 — поют в хоре, 22 — спортсмены. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре — 6 спортсменов, в драмкружке — 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят увлекается только спортом? Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

14.В классе 30 учеников, из них 15 посещают литературный кружок, 11 — биологический, 4 ученика участвуют в работе обоих кружков. 5 учеников занимаются в литературном и математическом кружках, а 3 — в биологическом и математическом. Только один ученик посещает все три кружка. Остальные ученики занимаются только в математическом кружке. Сколько всего учащихся занимаются в математическом кружке?

15.Ученик начертил 10 параллелограммов, из них — 5 прямоугольников, 6 ромбов, причем в трех прямоугольниках все стороны оказались равными. Есть ли среди параллелограммов фигуры, которые не являются ни прямоугольниками, ни ромбами? Если есть, то сколько их?

1.4.Разбиение множества на классы

1.Дополните определение разбиения множества на классы.

Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, …, если:

•подмножества Х1, Х2, …, Хn, … _______________________

•объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn, … совпадает

_____________.

2.Х — множество натуральных чисел от 1 до 20. Из него вы-

делили подмножества: X1 = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, X2 = {7, 14}, X3 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 20}.

а) Произошло ли разбиение множества Х на классы?

б) Каково характеристическоесвойство каждого подмножества?

3.Х — множество натуральных чисел от 1 до 20. Можно ли

разбить его на классы:

19

а) четных и нечетных; б) кратных 3 и кратных 5;

в) больших 7 и меньших 7; г) четных, нечетных и кратных 5?

4. Можно ли расклассифицировать фигуры, изображенные на рисунке 1.4, на:

а) многоугольники и круги; б) четырехугольники, отрезки и круги;

в) четырехугольники, треугольники и круги; г) замкнутые и незамкнутые фигуры;

д) замкнутые фигуры, незамкнутые фигуры и треугольники?

Рис. 1.4

Объясните свои ответы. Дайте правильную классификацию, разбив фигуры на три группы1.

5. Признак, по которому производится классификация, назы­ вается основанием классификации. Одно и то же множество может быть разбито на классы по разным основаниям. Например, треугольники можно классифицировать так: а) остроугольные, прямоугольныеитупоугольные;б)разносторонниеиравнобедренные. По какому основанию выполнена классификация треугольников в каждом случае?

6. Числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 расклассифи-

цированы тремя способами:

1 Задача взята из книги: Никольская И.Л. Гимнастика для ума: книга для учащихся начальных классов / И.Л. Никольская, Л.И. Тигранова. – 2-е изд., испр. – М.: Экзамен, 2007. – С. 49 (№ 3).

20