Задачник-практикум по математике. Книга 1. Часть I–II

от пристани на два часа позже и шла со скоростью 24 км/ч. Через сколько часов вторая лодка догонит первую?

б)ДвапоездавыехалиодновременноизпунктовАиВнавстречу друг другу. Расстояние между пунктами А и В равно 350 км. Скорость первого 65 км/ч, второго — 75 км/ч. Через сколько часов расстояние между поездами будет равно 70 км?

в) Из пункта А выходит турист, проходящий в день по 20 км, и направляется в пункт В, расстояние до которого равно 145 км. Через два дня из пункта В в пункт А выходит второй турист, который проходит ежедневно по 15 км. Через сколько дней после выхода первый турист встретит второго?

г) От двух пристаней, расстояние между которыми по реке равно 72 км, одновременно вышли навстречу друг другу два катера.Скоростькаждогокатеравстоячейводе18км/ч.Черезсколько часов встретятся эти катера, если скорость течения реки 2 км/ч?

д) В 9 часа два катера отошли от пристани в противоположных направлениях. В 14 часов расстояние между ними было равно 320 км. С какой скоростью шел первый катер, если скорость второго была 45 км/ч?

10. Решите задачу, указав предварительно, о каком процессе идет в ней речь, какие величины характеризуют этот процесс.

а) Две машинистки перепечатали за день 96 страниц. Одна их них работала 6 часов и печатала на 3 страницы в час больше, чем другая. Вторая работала в этот день 7 часов. Сколько страниц в час печатала каждая машинистка?

б) Один рабочий за час делает 32 детали, другой за 4 часа делаетстолькодеталей,сколькосделаетпервыйза5часов.Засколько часов они вместе сделают 216 деталей?

в) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 минут, а через второй — за 15 минут. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

г) Две бригады посадили 220 яблонь. Первая бригада сажала в день по 40 яблонь, вторая — 50 яблонь. Вторая бригада начала работу на один день позже, чем первая бригада. Сколько яблонь посадила первая бригада?

101

д) Производительность труда мастера в 4 раза больше производительности труда ученика. Сколько деталей изготовил мастер и сколько ученик, если, работая вместе, они изготовили 40 деталей?

11.Верно ли, что следующие две задачи имеют одну и ту же математическую модель?

а) Бассейн вместимостью m литров заливали с помощью двух труб одновременно. Сколько литров воды останется залить в бассейн через b минут, если из одной трубы вытекало а литров в минуту, а из другой — с литров в минуту?

б) В магазин привезли m килограммов кофе в двух видах упаковки по акг и скг в каждой. Сколько килограммов кофе останется в магазине, если продали b упаковок каждого вида?

12.Проектная задача № 1: «Текстовые задачи в начальном

курсе математики»

I. Как определяют в начальном курсе математики понятия «задача» и «текстовая задача»?

II. Какие вспомогательные модели задач используются в начальном обучении математике?

III.Какие методы решения текстовых задач используются

вначальном курсе математики?

Проектная задача № 2: «Задачи «на процессы» в начальном курсе математики»

I. Какие процессы рассматриваются в текстовых задачах, решаемых в начальном курсе математики?

II. Какие вспомогательные модели используют младшие школьники, решая задачи на процессы?

III. В каких зависимостях находятся величины, характеризующиепроцессы,рассматриваемыевтекстовыхзадачахдлямладших школьников?

102

Глава 10. комбинаторные

ивероятностные задачи

10.1.Решение комбинаторных задач методом перебора

1.Комбинаторные задачи — это задачи, в которых требуется выполнить перебор возможных вариантов либо найти число таких вариантов.

Объясните, почему нижеприведенные задачи являются комбинаторными.

а) Для гербария Маша собрала опавшие листья клена: желтый, зеленый и красный. Покажи, в каком порядке она сможет расположить эти листья в альбоме.

б) Из коробки, где шесть шариков по три одного цвета, мальчик взял четыре. Какие наборы шариков могли быть у него?

в) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3 и 8? г) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3 и 8

при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

д) Используя цифры 5 и 0, запишите все возможные четырехзначные числа.

е) У Саши 5 цветных ручек: красная, синяя, зеленая, черная и желтая. Сколько вариантов выбора двух ручек может быть у Саши?

2.Решите задачи а)–е) из упражнения 1 методом перебора, выделив предварительно все условия задачи.

3.Перебор вариантов при решении комбинаторных задач, в которых рассматриваются комбинации из двух элементов, можно осуществлять при помощи таблицы или графа. Например, решение задачи в) из упражнения 1 можно представить в виде таблицы или графа (см. рис. 10.1).

103

Рис. 10.1

Запишите при помощи таблицы и графа решение задачи е) из упражнения 1.

4.Решите следующие задачи, выполняя перебор вариантов при помощи таблицы и графа:

а) В вазе лежали конфеты четырех сортов. Каждый ребенок взял две конфеты, и у всех оказались отличающиеся наборы конфет. Сколько могло быть детей?

б) Встретились четверо друзей. Каждый, здороваясь, пожал каждому руку. Сколько всего рукопожатий сделано?

5.В тех случаях, когда в задаче рассматриваются комбинации из трех и более элементов, можно использовать граф-дерево. Например, для задачи г) из упражнения 1 граф-дерево будет таким

(см. рис. 10.2):

Рис. 10.2

104

Решите следующие задачи, выполняя перебор вариантов при помощи граф-дерева:

а) Коля решил навестить бабушку (Б), своего друга Петю (П)

истаршего брата Володю (В). В каком порядке он может организовать визиты?

б) В корзине сидят котята — 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы все были разной окраски?

в) Есть 3 вида блокнотов, 2 вида авторучек и 2 вида карандашей. Надо купить один блокнот, одну авторучку и 1 карандаш. Сколькими способами это можно сделать?

6.Решите нижеприведенные задачи, адресованные младшим школьникам, осуществляя перебор вариантов с помощью таблиц

играфов.

а) Миша запланировал купить: карандаш, линейку, блокнот и тетрадь. Сегодня он купил только два разных предмета. Что мог купить Миша, если считать, что в магазине были все нужные ему учебные принадлежности?

б) Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв «ш» или «ц», второй буквой могут быть«о»,«и»,«е»,аоканчиватьсясловамогутбуквами«р»,«к»,«х».

в) У девочки есть бумага зеленого и желтого цвета. Из нее она вырезает большие и маленькие круги, квадраты и треугольники. Сколько разных вариантов у нее получится?

10.2. Решение комбинаторных задач с использованием правил и формул комбинаторики

1. В основе решения комбинаторных задач лежат два правила: правило умножения и правило сложения. В первом утверждается: если объект «а» можно выбрать m способами, а объект «b» — k способами, то пару (a, b) можно выбрать m · k способами. Во втором утверждается: если объект «а» можно выбрать m спо-

105

собами, а объект «b» — k способами (не такими, как «а»), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m + k способами1.

а) Покажите, что задачу: «К Кролику пришли три гостя: Винни-Пух, Пятачок и ослик Иа. Сколькими способами он может рассадить гостей на синей, красной и желтой табуретках?» можно решить, если воспользоваться правилом умножения.

б)Покажите,чтозадачу:«Впеналележат3карандашаи2авторучки. Сколькими способами можно взять из пенала один из этих предметов?» можно решить, если воспользоваться правилом сложения.

2.Используя правила умножения и сложения, решите следующие задачи:

а) В магазине «Канцелярские товары» имеются в продаже шесть видов блокнотов, семь видов авторучек и пять видов простых карандашей. Сколькими способами можно составить комплект, состоящий из блокнота, авторучки и карандаша?

б) Сколькими способами можно составить флаг из трех горизонтальных полос разного цвета, если имеется материал пяти различных цветов?

в) В классе изучается 8 предметов. В пятницу 4 урока, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу?

г) От 5 чемоданов перепутали все ключи и теперь не знают, какой ключ от какого чемодана. Какое наибольшее число проб может понадобиться, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?

д) Сколько натуральных чисел, не превышающих 1 000, можно составить, используя цифры 3, 4 и 5.

3.В комбинаторных задачах преимущественно рассматриваются два вида операций: выбор подмножеств (в комбинаторике их называют сочетаниями) и упорядочение множеств (в комбинаторике упорядоченные множества называют размещениями). Для определения их числа используют формулы, некоторые из них приведены

1 Правило умножения можно распространить и на случай, когда выбирается упорядоченный набор из n элементов. Аналогично и для правила сложения.

106

в таблице. Сформулируйте определения приведенных в таблице понятий и разъясните смысл приведенных в ней формул.

4.Докажите, что в следующих задачах рассматриваются размещения с повторениями, и определите по формуле их число.

а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7?

б) Сколько четырехбуквенных слов можно составить из алфавита, в котором три буквы: А, У, М? Сколько среди них слов, которые оканчиваются буквой М?

5.Докажите, что в следующих задачах рассматриваются размещения без повторений, и определите по формуле их число.

а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в записи числа не повторяются?

б) В магазине продаются полотенца четырех видов: белые, голубые, желтые и зеленые. Из скольких вариантов покупки при-

дется выбирать, если нужны три разных полотенца?

107

6.Докажите, что в следующих задачах рассматриваются сочетания без повторений, и определите по формуле их число.

а) Для оформления зала к празднику купили воздушные шарикиразличныхцветов:белые,красные,зеленые,синие,розовые, голубые, фиолетовые и желтые. Сколькими способами можно составить связки по три шарика разного цвета?

б) Шесть школьников решили провести турнир по шахматам так, чтобы каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько будет сыграно партий?

7.Докажите, что в следующих задачах рассматриваются перестановки без повторений, и определите по формуле их число.

а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 7, 8, 9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

б) Сколькими способами четыре персонажа из басни И. А. Крылова «Квартет» могли усесться в ряд?

8. Определите, о каких комбинациях идет речь в следующих задачах, и найдите их число, используя формулы.

а) В вокальном кружке 6 человек. Сколькими способами можновыбрать:1)старостукружкаиегозаместителя;2)двухчеловек для участия в концерте?

б) Пятеро студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получит неудовлетворительной оценки?

в) Грабители Кнопка и Скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того чтобы открыть сейф, им нужно подобрать двоичный код. Грабители знают, что дверь сейфа закрывает Буратино, знающий только 4 цифры: 1, 2, 3, 4. Сколько вариантов придется перебрать Кнопке и Скрепке, чтобы проникнуть в сейф?

г) Решите задачу в) при условии, что сейф запирает папа Карло, который знает все цифры.

д) В некотором городе у всех велосипедистов были трехзначные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 8 и 0, потому что вторая из них похожа навытянутоеколесо,нуачтодлявелосипедистазначит«восьмер-

108

ка» колеса — знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек? Хватит ли им номеров, если велосипедисты согласятся использовать 0?

е) Сколько всего автомобильных номеров можно составить из четырех цифр и трех букв?

ж) Сколько различных четных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4?

з) Отметьте на прямой 5 точек. Сколько получилось отрезков? и) Отметьте на листе бумаги четыре точки, не лежащие на одной прямой. Сколько прямых можно провести через них? Постройте эти прямые и проверьте свой ответ, используя форму-

лы комбинаторики.

к) Основание треугольника АВС разбито на 7 частей, и каждая точка деления соединена с вершиной В. Сколько получилось треугольников?

л) На окружности отмечено 6 точек. Сколько хорд они определяют?

м) В соревновании принимают участие 10 человек. Сколькими способамиможнодатьимномеравсписке?Сколькоразличныхпредположенийораспределениитрехпризовыхместможносделать?

10.3.Вероятность события и ее вычисление1

1.Сравните задачи:

а) Ребенок выбирает две конфеты из имеющихся четырех различных. Сколько вариантов выбора у него?

б) Ребенок выбирает две конфеты из имеющихся четырех одинаковых. Сколько вариантов выбора у него?

в) Двое детей выбирают по одной конфете из имеющихся четырех различных. Сколько вариантов выбора конфет у детей?

г) Сколькими способами можно дать четыре одинаковые конфеты двум детям?

1 При написании главы 10 (пункт 10.3) использованы материалы, написанные И.В. Шадриной.

109

Выбрав подходящие обозначения, запишите все возможные варианты выбора в каждой из задач. Объясните различия в решениях и ответах этих задач.

2.Из пяти различных игрушек выбирают: а) три для одного ребенка; б) три игрушки для распределения их между тремя детьми каждому по одной. Запишите все возможные способы выбора, подходящим образом обозначив каждый из них. Сколько способов выбора в обоих случаях?

3.Исходом случайного опыта по подбрасыванию монеты счи­ тают появление на верхней ее стороне либо орла, либо решки. Подбрасываютдвемонеты.Запишитевсевозможныеисходыэтогоопыта. Почему каждый исход можно рассматривать как выбор из двухэлементного множества? Какое правило комбинаторики можно использовать для подсчета всех возможных исходов этого опыта?

4.Дед Мороз, в мешке у которого различные игрушки, достает две и дарит их, не глядя, двоим детям. Сколько способов отдать обе игрушки одному из детей? Сколько способов дать каждому из детей по одной игрушке? Сколько всего способов раздать игрушки детям? Какое правило комбинаторики нужно использовать при ответе на последний вопрос?

5.Объясните, почему в ситуации а) каждый выбор есть сочетание, а в ситуации б) — размещение:

а) из пяти различных книг выбирают три для награждения одного ученика;

б) из пяти различных книг выбирают три для награждения трех учеников по одной книге каждому.

6.В коробке лежат 5 красных и 6 белых шариков. Не глядя, достают 2 шарика.

а) Сколько способов выбрать только белые шарики? б) Сколько способов выбрать только красные шарики? в) Сколько способов выбрать шарики разного цвета?

7.При составлении команды космического корабля возни­ кает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Команда составляется из командира, инженера и врача.

110