Задания по физике для самостоятельной работы студентов (индивидуальные домашние задания). Сборник задач

6. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

6.1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Запишите и поясните основное уравнение молекулярнокинетической теории идеальных газов. Обоснуйте его.

2.Дайте определение длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы. Запишите, обоснуйте и поясните формулу, связывающую эти величины. Как зависят длина свободного пробега и эффективный диаметр молекулы от температуры?

3.Запишите и поясните распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. Постройте график функции распределения. Чему равна площадь фигуры под этим графиком? Как изменится положение максимумам графика функции распределения молекул по скоростям при повышении температуры?

4.Запишите и поясните выражения, связывающие среднюю (среднюю арифметическую), среднюю квадратичную и наиболее вероятную скорости молекул идеального газа с абсолютной температурой. Постройте график функции распределения молекул по скоростям и покажите на нем примерные положения этих скоростей.

5.Запишите формулу, связывающую давление идеального газа со средней энергией поступательного движения молекулы. Как связана эта энергия со средней скоростью движения молекулы? Запишите и поясните распределение молекул идеального газа по энергиям.

6.Запишите и поясните формулу, связывающую среднюю энергию поступательного движения молекулы с абсолютной температурой. Сформулируйте закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Запишите выражение для средней энергии молекулы. Чему равно число степеней свободы для одно-, двух-, трехатомных молекул с жесткой связью? Сколько из них приходится на поступательное, а сколько – на вращательное движение?

7.Запишите и поясните барометрическую формулу и формулу распределения Больцмана для внешнего потенциального поля. Постройте график зависимости концентрации молекул от высоты.

41

8.Запишите и поясните формулу для силы внутреннего трения между двумя слоями газа. Переносом чего обусловлена вязкость? В чем заключается физический смысл коэффициента динамической вязкости? Запишите и поясните формулу, связывающую коэффициент динамической вязкости газов со средней длиной свободного пробега молекулы. Как он зависит от температуры?

9.Запишите и поясните формулу закона Фурье для теплового потока. Переносом чего обусловлена теплопроводность? В чем заключается физический смысл коэффициента теплопроводности газов? Запишите и поясните формулу, связывающую коэффициент теплопроводности газов со средней длиной свободного пробега молекулы. Как он зависит от температуры?

10.Запишите и поясните формулу закона Фика для диффузии. Переносом чего обусловлена диффузия? В чем заключается физический смысл коэффициента диффузии газов? Запишите и поясните формулу, связывающую коэффициент диффузии газов со средней длиной свободного пробега молекулы. Как он зависит от температуры?

6.2.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нор-

мальной температуре равна Vкв = 480 м/с. Сколько молекул N содержится в m = 1 г этого газа?

N = 2,04×1022.

2. В сосуде объемом 1 дм3 находится газ массой 6 г под давлением 80 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость Vкв молекул газа.

Vкв = 0,2 км/с.

3. Азот массы m = 15 г находится в закрытом сосуде при температуре Т = 300 К. Какое количество тепла Q необходимо сообщить азоту, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул возросла в η = 2 раза?

Q = 10 кДж.

42

4. Какая часть w молекул кислорода при Т = 0°С обладает скоростями от V1 = 100 до V2 = 110 м/с?

w = 0,4 %.

5.Определить отношение η числа молекул водорода, обладаю-

щих скоростями в интервале от V1 = 2,00 до V2 = 2,01 км/с, к числу молекул, обладающих скоростями от u1 = 1,00 до u2 = 1,01 км/с, если температура водорода T = 0 ° С.

η= 1,07.

6.Скорости молекул V1 и V2 равновероятны. Во сколько раз они отличаются от наиболее вероятной скорости Vв, если V2/V1 = 5?

V1/Vв = 0,366; V2/Vв = 1,83.

7.Найти температуру Т газообразного азота, при которой скоростям молекул V1 = 300 м/с и V2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения F(V).

Т= 330 К.

8.Найти число N молекул азота в V = 1 м3, если давление равно

р = 3,69 атм, а средняя квадратичная скорость молекулы равна

<Vкв> = 2400 м/с.

N = 4,2×1024.

9. Средняя энергия молекул гелия <e> = 3,92×10-21 Дж. Определить среднюю скорость <V> молекул гелия при тех же условиях.

<V> = 1 км/с.

10. Определить кинетическую энергию <e1>, приходящуюся на одну степень свободы молекулы азота N2, при температуре Т = 1 кК, а также среднюю кинетическую энергию <eп> поступательного движения, <eвр> вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии <e> молекулы.

<e1> = 6,9×10-21 Дж; <eп> = 20,7×10-21 Дж; <eвр> = 13,8×10-21 Дж; <e> = 34,5×10-21 Дж.

43

11. Чему равна кинетическая энергия <eвр> вращательного

р = 100 кПа, имеют среднюю энергию <e> = 2,5×10-20 Дж. Найти число молекул n в единице объема.

T = 700 ° С, при этом η = 40 % молекул диссоциировано на атомы. Чему равна средняя энергия <e> теплового движения частиц? Колебательные степени свободы молекул кислорода не возбуждаются.

<e> = 8,2 кДж.

15. Какая часть dN/N одноатомных молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, имеет кинетическую энергию, отличающуюся от ее среднего значения не более чем на δη = 1 %?

dN/N = 0,9 %.

16. Определить, во сколько раз η средняя энергия <eп> поступательного движения молекул идеального газа отличается от наиболее вероятного значения eв кинетической энергии поступательного движения при той же температуре.

η = 3.

17. Найти плотность ρ азота, если молекула за t = 1 с испытывает

Z= 2,05×108 с-1 столкновений при температуре Т = 280 К.

ρ= 4,86×10-2 кг/м3.

44

18. Определить среднюю квадратичную скорость Vкв молекул аргона, находящегося под давлением Р = 0,10 МПа, если известно, что средняя длина свободного пробега его молекул <l> = 0,1 мкм.

Vкв = 0,41 км/с.

19. Определите среднюю продолжительность <t> свободного пробега молекул водорода при температуре t = 27 °С и давлении р = 0,5 кПа. Диаметр молекулы водорода примите равным d = 0,28 нм.

<t> = 13,3 нс.

20. При температуре T1 = 47 ° С и некотором давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода <l1> = 40 нм. В результате изотермического сжатия объем газа уменьшился в η = 2 раза. Определить среднее число столкновений Z2 молекул кислорода в единицу времени в конце сжатия.

Z2 = 2,3×1010 с-1.

21. В радиолампе создан вакуум – такое состояние газа, при котором длина свободного пробега частиц равна характерным размерам сосуда. Полагая, что размер лампы r = 5 см и лампа заполнена аргоном, оценить плотность r и давление Р газа. Температура комнатная (Т = 20 °С).

r= 1,3×10-5 кг/м3, Р = 6×10-3 мм.рт.ст.

22.Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса не зависят от высоты, найти его давление р1 на высоте h1 = 5 км над поверхностью Земли и р2 в шахте на глубине h2 = 5 км.

р1 = 0,5×105 Па; р2 = 2×105 Па.

23. У поверхности Земли молекул водорода почти в η = 1,0×106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул водорода будет равно числу молекул азота? Среднюю температуру атмосферы принять равной Т = 0 ° С.

H = 123 км.

45

24. Установленная вертикально закрытая с обоих сторон труба наполнена газообразным кислородом. Высота трубы h = 200 м, объем V = 200 л. Стенки трубы имеют всюду одинаковую температуру Т = 293 К. Давление газа внутри трубы, вблизи ее основания равно р0 = 1,00×105 Па. Определить: а) давление р в трубе вблизи ее верхнего конца; б) количество молекул N кислорода, содержащихся в трубе.

а) р = 0,97×105 Па; б) N = 4,9 ×1024.

25. Цилиндр радиусом r = 10 см и длиной ℓ = 30 см расположен

внутри цилиндра радиусом R = 10,5 см так, что оси обоих цилиндров совпадают. Малый цилиндр неподвижен, большой вращается относительно геометрической оси с частотой n = 15 с-1. Динамическая вязкость газа, в котором находятся цилиндры, равна η = 8,5 мкПа×с. Определить вращающий момент M, действующий на цилиндр.

М = 3,17×10-4 Н×м.

26.Найти динамическую вязкость η воздуха при температуре

Т= 100 ° С и нормальном давлении, если при нормальных условиях

она равна η0 = 17,2 мкПа×с.

η = 20,1 мкПа×с.

27. Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку S = 50 см2 за t = 20 c, если градиент плотности в

направлении, перпендикулярном площадке, равен dρ = 1 кг/м2 . dx

Температура азота Т = 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна <l> = 1 мкм.

m = 15,6 мг.

28. Коэффициент диффузии кислорода при нормальных условиях D1 = 14,1 мм2/с. Определить, каким будет коэффициент диффузии D2 при температуре T2 = 50 ° С, если нагревание газа происходит при постоянном объеме.

D2 = 15,4 мм2/с.

46

29.Наружная поверхность кирпичной стены площадью S = 25 м2

итолщиной d = 37 см имеет температуру Т1 = 259 К, а внутренняя поверхность – Т2 = 293 К. Помещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность Р, если температура в помещении

30. Теплопроводность трехатомного газа с жесткими молекулами равна l = 0,0145 Вт/(м×К), а коэффициент диффузии при тех же условиях D = 10 мкм2/с. Определить число N молекул в газе объемом V = 1 м3 при этих условиях.

N = 3,5×1025.

7.ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

7.1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Что такое газ? Сформулируйте основные положения молеку- лярно-кинетической теории идеальных газов.

2.Что такое молекула? Что такое атом? Каков физический смысл постоянной Авогадро? Запишите выражения для массы молекулы и для числа молей. Поясните их.

3.Какие физические величины являются термодинамическими параметрами? В чем они измеряются в системе СИ? Дайте определение таким величинам, как плотность и концентрация.

4.Запишите и поясните уравнение Менделеева – Клапейрона. Запишите формулу, связывающую давление идеального газа с его плотностью и температурой, формулу связи давления идеального газа

сконцентрацией и температурой. Поясните их.

5.Дайте определение изобарного процесса. Запишите уравнение, связывающее параметры состояния идеального газа при изобарном процессе. Постройте график этого процесса в координатах p = f(V),

47

p = f(T), V = f(T). Покажите на графике процесса в координатах

V= f(T) две изобары для двух давлений p1 и p2 (p1 > p2).

6.Дайте определение изохорного процесса. Запишите уравнение, связывающее параметры состояния идеального газа при изохорном

процессе. Постройте график этого процесса в координатах p = f(V), p = f(T), V = f(T). Покажите на графике процесса в координатах p = f(T) две изохоры для двух объемов V1 и V2 (V1 > V2).

7.Дайте определение изотермического процесса. Запишите уравнение, связывающее параметры состояния идеального газа при изотермическом процессе. Постройте график этого процесса в координатах p = f(V), p = f(T), V = f(T). Покажите на графике процесса в координатах p = f(V) две изотермы для двух температур T1 и T2 (T1 > T2).

8.В чем заключается закон Дальтона? Что такое парциальное давление? Запишите уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси газов, компоненты которой не вступают друг с другом в химическое взаимодействие.

9.Запишите и поясните уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа. Чем обусловлена необходимость ввода коэффициентов a и b в этом уравнении? Нарисуйте изотермы Ван-дер-Ваальса. Поясните, каким агрегатным состояниям соответствуют ее отдельные участки.

10.Чему равна внутренняя энергия реального газа? Как меняется его температура при адиабатическом расширении? В чем заключается эффект Джоуля– Томсона? При каком условии возможно сжижение газа?

7.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Сколько атомов N ртути содержится в воздухе объемом V = 1 м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре t = 20 ° С, если давление насыщенного пара ртути при этой температуре p = 133 мПа?

N = 3,3×1019.

2. Колба вместимостью V = 300 см2, закрытая пробкой с краном, содержит разреженный воздух. Для измерения давления в колбе гор-

48

лышко колбы погрузили в воду на незначительную глубину и открыли кран, в результате чего в колбу вошла вода массой m = 292 г. Определить первоначальное давление р в колбе, если атмосферное давление р0 = 100 кПа.

р = 2,67 кПа.

3. В цилиндре под поршнем площадью S = 20 см2 и массой m = 5 кг находится воздух при температуре t1 = 8 °С. Поршень находится на высоте h1 = 16 см от дна цилиндра. Воздух в цилиндре нагревают до t2 = 43 °С, а на поршень ставят гирю массой mг = 1 кг. На сколько переместится поршень по сравнению со своим первоначальным положением ( h)? Атмосферное давление р0 = 105 Па, трением поршня о стенки цилиндра можно пренебречь.

h = 1,3 см.

4. Внутри трубы, наполненной воздухом и закрытой с обоих концов, может скользить без трения плотно прилегающий к стенкам

плоскостью μ = 0,25. Известно, что в горизонтально лежащей трубе поршень занимает среднее положение, при этом давление воздуха в трубе р = 1,25 кПа. Температура воздуха в трубе постоянна.

V2/V1 = 1,2.

5. В лифте, движущемся с ускорением а = 5 м/с2, направленным вверх, находится цилиндрический сосуд, закрытый поршнем массой m = 20 кг и площадью S = 100 см2. Под поршнем находится идеальный газ. Поршень расположен на расстоянии h = 22 см от дна сосуда. Определить, на какую величину h переместится поршень, если лифт

49

будет двигаться с тем же ускорением, направленным вниз. Температура газа не изменяется. Атмосферное давление p0 = 105 Па, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2. Трением поршня о стенки сосуда пренебречь.

Dh = 4 см.

6. В запаянной с одного конца стеклянной трубке, длина которой ℓ = 70 см, находится столбик воздуха, запертый сверху столбиком

ртути высотой Н = 75 см; б) длину трубки ℓ2, при ко-

торой столбик ртути той же высоты выльется из трубки полностью.

а) х = 3,5 см; б) ℓ2 > 95 см.

7. Из баллона со сжатым водородом объёмом V = 10 л вследствие неисправности вентиля вытекает газ. При температуре t1 = 7 °С манометр показывал давление р1 = 4,9×106 Па. Через некоторое время при температуре t2 = 17 °С манометр показал такое же давление. Чему равна масса Dm вытекшего газа.

Dm = 1,48 г.

8. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой S = 2,5 см2. До какой температуры Т2 надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, Fтр = 12 Н? Начальное давление воздуха в бутылке и наружное давление одинаковы и равны р1 = 100 кПа, а начальная температура равна t0 = -3 °С.

Т2 = 400 К.

9. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется тонкий поршень, который может скользить в цилиндре без

50