Задания по физике для самостоятельной работы студентов (индивидуальные домашние задания). Сборник задач

4. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О равен r = ai + bj , приложена сила F = Ai + Bj , где а= 0,5 м, b = 0,2 м, A = 4 Н, В = 3 Н, i и j – орты осей х и у. Найти момент си-

лы М и плечо силы ℓ относительно точки О.

М = 0,7k ,

где k – орт оси z; ℓ = 0,1 м.

5. Прочная доска длины 2ℓ = 4 м может

свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее середину. Один конец доски прикреплен жесткой пружиной к полу (высота опоры много меньше длины доски).

другой конец с высоты h = 1,5 м прыгает мальчик массы М = 30 кг (рис. 13). При приземлении происходит толчок, доска поворачивается, шар подбрасывается вверх и на доску не возвращается. Определить, на какую высоту H подбросит мальчика растянувшаяся пружина. Массой доски пренебречь.

H = 0,85 м.

6. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением ω = А + Вt, где В = 8 рад/с2. Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

F = 4 Н.

7. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n = 480 об/мин и предоставлены сами себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t1 = 80 с, а второй сделал N2 = 240 оборотов до остановки. У какого маховика момент сил трения о подгипники был больше и во сколько раз?

Момент сил трения второго маховика в 1,33 раза больше.

21

8. Сплошной диск радиусом R = 20 см вращается под действием постоянной касательной силы F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Mтр= 4,9 Н×м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением e = 100 рад/с2.

m = 7,36 кг.

9. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Груз опускается с ускорением а = 2 м/с2. Момент инерции J барабана равен …

J = 10 кг×м2.

10. Из колодца с помощью ворота поднималось ведро с водой массой m = 10 кг. В момент, когда ведро находилось на высоте h = 5 м от поверхности воды, рукоятка освободилась, и ведро стало двигаться вниз. Определить линейную скорость V рукоятки в момент удара ведра о поверхность воды в колодце, если радиус рукоятки R = 30 см, радиус вала ворота r = 10 см, его масса m1 = 20 кг. Трением и массой троса, на котором подвешено ведро, пренебречь.

V = 21 м/с.

11. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой m1 = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m2 = 1 кг. Определите: а) силу натяжения Т нити; б) угловую скорость вала w через t = 1 с после начала движения; в) тангенциальное аτ и нормальное an ускорения точек, лежащих на поверхности вала.

а) Т = 8,2 Н; б) w = 32,8 рад/с; в) аτ = 1,64 м/с2; an = 53,8 м/с2.

12.Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения Т1 и Т2 нитей, к которым привязаны гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

а= 2,8 м/с2; Т1 = 14 Н; Т2 = 12,6 Н.

13.Два тела массами m1 = 0,25 кг и m2 = 0,15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок (рис. 14). Блок укреплен на краю

22

Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.

а= 1,96 м/с2, Т1 = 0,98 Н; Т2 = 1,18 Н.

14.Шарик массы m бросили под углом a к горизонту с началь-

ной скоростью V0. Вычислить момент импульса шарика L в вершине траектории, если m = 130 г, a = 45° и V0 = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

e = 5 рад/с2.

16. При выстреле орудия снаряд вылетает из ствола с угловой скоростью w = 200 с-1 под углом a = 60° к горизонту. Момент инерции снаряда относительно его продольной оси равен J =15 кг×м2, расстояние между колесами орудия ℓ = 1,5 м, время движения

снаряда в стволе t = 2×10-2 с. На сколько DF отличаются силы давления Земли, действующие на колеса во время выстрела?

DF = 50 кН.

23

17. Диск массой m1 = 5 кг и радиусом R = 5 см, вращающийся с частотой п = 10 об/мин, приводится в сцепление с неподвижным диском массой m2 = 10 кг такого же радиуса. Определить энергию E, которая пойдет на нагревание дисков, если при их сцеплении скольжение отсутствует.

E = 16 Дж.

18. Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара V = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найти количество теплоты Q, выделившееся в момент удара.

Q = 2,51 мДж.

19. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А1 нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = 10 с-1? Какую работу А2 пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

А1 =7,11 кДж; А2 = 28,4 кДж.

20. К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой m= 1 кг приложили силу F = 1 Н и оставновили его. Путь торможения составил S = 1 м. Определите скорость V шара до начала торможения.

V = 1,2 м/с.

инерции маховика равен J = 50 кг×м2. Найти вращающий момент M и мощность P в момент времени t = 3 с.

M = const = 200 Н×м; P = 0,8 кВт.

22. Какую мощность P должен развить мотор, приводящий в движение стабилизирующий гироскоп, который имеет форму диска радиусом R = 1 м и массой m = 1000 кг, если в течение t = 1 мин угловая скорость доводится до w = 31 рад/с? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

P = 4 кВт.

24

23. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью V = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнёт вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен J= 6 кг×м²?

w = 1,02 рад/с.

25. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой n1 = 6 мин–1 . На краю платформы стоит человек, масса которого равна m = 80 кг. С какой частотой n2 будет вращаться платформа, если человек перейдёт в её центр? Момент инерции платформы равен J = 120 кг×м2. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

n2 = 10 мин-1.

26. Тонкий стержень массой m и длиной ℓ вращается с угловой

скоростью w1 = 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость w2 во втором случае.

w2 =2,5 с-1.

25

27. Деревянный стержень массой m = 1 кг и длиной ℓ = 40 см

может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой m1 = 10 г, летящая перпендикулярно стержню со скоростью V = 200 м/с, и застревает в нем. Определите: а) угловую скорость ω стрежня сразу после попадания пули; б) долю η кинетической энергии стержня с застрявшей в нем пулей от начальной кинетической энергии системы.

а) ω = 29 с-1; б) η = 3 %.

28. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью V = 7,2 км/ч. На какое расстояние S может вкатить обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен h = 10 м на каж-

дые ℓ = 100 м.

S = 4,1 м.

29. Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 22°. Найти длину наклонной плоскости ℓ, если его скорость в конце наклонной плоскости равна

V = 7 м/с, а коэффициент трения равен μ = 0,2.

ℓ = 19,8 м.

30. Шар радиуса R = 30 см катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. При какой скорости двиижения центра масс V0 он сможет преодолеть выступ h = 20 см?

V0 = 5 м/с.

4.ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Какие колебания называются гармоническими? Запишите дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний и уравнение свободного незатухающего колебания и поясните их. Нарисуйте график зависимости смещения тела от времени при свободном незатухающем колебании. Покажите на нем амплитуду и период колебания.

26

2.Дайте определения следующих физических величин: амплитуда, частота, период. Запишите формулу, связывающую частоту и период гармонического колебания. Запишите выражения для кинетической, потенциальной и полной энергии тела, совершающего свободные незатухающие колебания.

3.Что такое маятник? Дайте определения математического, пружинного и физического маятника. Запишите формулы для их периодов колебаний и поясните их.

4.Запишите формулы для амплитуды и начальной фазы результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний одного направления и одинаковой частоты. Запишите уравнение колебания, полученного при сложении двух колебаний одного направления с разными, но близкими частотами. Дайте определение биения.

5.Запишите уравнение траектории движения, полученного при сложении двух взаимоперпендикулярных колебаний одной частоты. Какой будет траектория, если разность фаз между складываемыми

колебаниями будет равна π? π/2? Дайте определение фигур Лиссажу.

6.Запишите уравнение динамики свободных затухающих гармонических колебаний и уравнение свободного затухающего колебания

ипоясните их. Нарисуйте график зависимости смещения тела от времени при свободном затухающем колебании. Покажите на нем амплитуду и период колебания.

7.Запишите формулу связи частоты затухающего колебания и коэффициента затухания, выражения для амплитуды затухающего колебания, для полной энергии тела, совершающего затухающие колебания (при малом затухании) и для логарифмического декремента затухания. Поясните их.

8.Запишите уравнение динамики вынужденных гармонических колебаний и уравнение вынужденного колебания при установившемся режиме. Поясните их. Нарисуйте график зависимости смещения тела от времени при вынужденном колебании. Запишите выражение для амплитуды вынуждающей силы.

27

9.Дайте определение резонанса и запишите выражение для резонансной частоты. Нарисуйте фазовую резонансную кривую и амплитудную резонансную кривую. Покажите на них резонансную частоту.

10.Что такое волна? Дайте определение продольной и поперечной волны. Запишите волновое уравнение (случай, когда волна распространяется вдоль оси Ох) и уравнение плоской бегущей волны. Поясните эти выражения. Нарисуйте график зависимости смещения частиц, участвующих в волновом процессе, от расстояния до источника. Покажите на этом графике длину волны и запишите формулу для длины волны.

4.2.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х = 0. Частота колебаний ω = 4 с-1. В неко-

2. Материальная точка массой m = 1 г колеблется гармонически. Амплитуда колебаний равна А = 5 см, циклическая частота ω = 2 с-1, начальная фаза равна нулю. Определить силу F, действующую на точку в тот момент, когда ее скорость равна V = 6 см/с.

F = 0,16 мН.

3. Считая движение поршня в цилиндре автомобильного двигателя гармоническим колебанием, определить максимальные значения его скорости и ускорения amax, если автомобиль движется со скоростью V = 72 км/ч на прямой передаче, радиус колес R = 344 мм, ход поршня ℓ = 100 мм.

Vmax = 2,9 м/с; amax = 169 м/с2.

28

4. Уравнение колебаний материальной точки массой m = 10 г

ствующую на точку, и полную энергию W колеблющейся точки.

Fmax = 197 мкН; W = 4,93 мкН.

5. Математический маятник длиной ℓ = 1 м установлен в лифте.

Лифт поднимается с ускорением а = 2,5 м/с2. Определить период Т колебаний маятника.

W = 40 мДж.

7. Маятниковые часы идут на поверхности Земли точно. На сколько они отстанут за сутки, если их поднять на сотый этаж высотного дома? Высота этажа h = 3 м.

t = 4 с.

8. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период колебаний Т такого маятника.

L = 36 см; Т = 1,2 с.

9. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси О с частотой ω1 = 15 с-1. Если в положении равновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии d = 20 см от нее не-

29

большое тело массой m = 50 г, то частота колебаний становится w2 =10 с-1. Найти момент инерции J0 первоначального маятника относительно оси О.

J = 0,8 г×м2.

10. На концах стержня, масса которого m = 60 г и длина ℓ = 49 см, укреплены два шарика массами m1 = 70 г и m2 = 90 г, а

стержень подвешен так, что может совершать колебания около горизонтальной оси, проходящей через его середину. Определить период T малых колебаний стержня.

Т = 3 с.

11. Стакан массой m1 = 20 г и площадью поперечного сечения S = 5 см2 содержит ртуть массой m2 = 80 г и плавает на поверхности воды. Под действием вертикальной силы стакан выводится из положения равновесия и отпускается. Определить период Т колебаний системы.

Т = 0,9 с.

12. Точка совершает затухающие колебания с частотой w = 25 с- 1. Найти коэффициент затухания b, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в η = 1,02 раза меньше ампитуды.

b = 5 с-1.

13. Математический маятник длиной ℓ = 24,7 см совершает

затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента: а) θ = 0,01; б) θ = 1.

t1 = 120 с; t2 = 1, 22 с.

14. Определить амплитуду A вынужденных колебаний груза массой m = 0,2 кг, подвешенного на пружине жесткостью k = 20 Н/м, если действует вынуждающая сила с амплитудой Fmax = 2 Н и частотой в n = 2 раза большей собственной частоты колебаний груза, а коэффициент затухания b = 0,5 с-1.

А = 3 см.

30