Задания по физике для самостоятельной работы студентов (индивидуальные домашние задания). Сборник задач

24. Рентгеновские лучи с длиной волны l = 70,8 пм испытывают комптоновское рассеяние на парафине. Найти длину волны l¢ рентгеновских лучей, рассеянных в направлениях: а) θ = p/2; б) θ = p.

а) l¢ = 73, 22 пм; б) l¢ = 75,6 пм.

25. Какова была длина волны l рентгеновского излучения, если при комптоновском рассеянии этого излучения графитом под углом θ = 60° длина волны рассеянного излучения оказалась равной l¢ = 25,4 пм?

l = 24,2 пм.

26. В явлении Комптона энергия падающего фотона распределяетя поровну между рассеянным фотоном и электроном

отдачи. Угол рассеяния равен θ = π . Длина волны l¢ рассеянного

2

фотона равна …

l¢ = 4,800 пм.

27. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния θ = p/2. Найти энергию e¢ и импульс р¢ рассеянного фотона.

e¢ = 0,26 МэВ, р¢ = 9,3×10-12 кг×м/с.

28. Фотон (l = 1 пм) рассеялся на свободном электроне под углом θ = 90°. Какую долю w своей энергии фотон передал электрону? w = 70 %.

29.Энергия рентгеновских лучей ε = 0,6 МэВ. Найти энергию Е электрона отдачи, если длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния изменилась на 20 %.

Е= 0,1 МэВ.

30.Найти длину волны l рентгеновского излучения, если мак-

симальная кинетическая энергия комптоновских электронов

Еm = 0,19 МэВ.

λ = 3,7 пм.

121

17. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ. ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ

17.1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Сформулируйте и запишите соотношение неопределенностей Гейзенберга. Запишите и поясните соотношение неопределенностей для энергии и времени.

2.Что можно узнать о микрочастице, если известна волновая функция, описывающая ее состояние? Каким требованиям должна удовлетворять волновая функция? В чем статистический смысл волновой функции? Что определяет квадрат модуля волновой функции?

3.Запишите и поясните общее (временное) уравнение Шредингера. Какова роль уравнения Шредингера в квантовой механике?

4.Какую частицу называют свободной? Запишите и поясните уравнение Шредингера для свободной частицы. Какие значения может принимать энергия свободной частицы?

5.Что такое стационарное состояние? Запишите и поясните уравнение Шредингера для стационарных состояний.

6.Что такое потенциальная «яма»? Запишите волновую функцию, описывающую состояние частицы в одномерной прямоугольной потенциальной «яме» с необходимыми пояснениями. Как можно найти вероятность нахождения частицы в той или иной области потенциальной «ямы»?

7.Что такое потенциальная «яма»? Каким энергетическим спектром (сплошным или дискретным) обладает частица, находящаяся в потенциальной яме. Запишите и поясните формулу для энергии такой частицы.

8.Что такое потенциальный барьер? Запишите с необходимыми пояснениями формулы для коэффициентов отражения и прохождения частицы сквозь потенциальный барьер бесконечной ширины.

122

9.Дайте определение туннельного эффекта. Запишите с необходимыми пояснениями формулу для коэффициента прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины.

10.Что такое линейный гармонический осциллятор? Чему равна полная энергия линейного гармонического осциллятора в квантовой механике? Чему равна его минимальная энергия?

17.2.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона, длина волны которо-

го: а) l1 = 0,5 мкм; б) l2 = 2 пм.

а) Ve = 1,46×103 м/с; б) Ve » 2,31×108 м/с.

2. Нейтрон с кинетической энергией Т = 25 эВ налетает на покоящийся дейтрон (ядро тяжелого водорода). Найти дебройлеские длины волны l1 и l2 обеих частиц в системе их центра масс.

l1 = l2 = 8,6 пм.

3.Определите, как изменится длина волны де Бройля электрона

ватоме водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую.

Увеличится в 2 раза.

4. Найти длину волну lБ де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: а) 1кВ; б) 1 МВ.

а) lБ = 907фм; б) lБ = 28,6фм.

5. Электрон движется по окружности радиусом R = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B = 8 мТл. Определите длину волны де Бройля lБ электрона.

lБ = 0,1нм.

6. Определить длину волны де Бройля lБ электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны l = 3 нм.

lБ = 0,06 нм.

123

7. Какую энергию W необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшалась от

λБ1 = 100 пм до λБ2 = 50 пм?

W = 0,45 эВ.

8. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля, равную λБ = 2,02 пм. Найти массу m этой частицы, если заряд q частицы численно равен заряду электрона.

m = 1,67·10-27 кг.

9. Какой кинетической энергией Wк должен обладать протон, чтобы длина волны де Бройля протона равнялась его комптоновской длине волны?

Wк = 389 МэВ.

10. На грань некоторого кристалла под углом 60° к ее поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость V электронов, если испытывают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм.

V = 2,1 Мм/с.

11. Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен нормально на узкую щель шириной а = 1 мкм. Определите скорость V этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии

ℓ = 20 см от щели, ширина дифракционного максимума составляет

х = 48 мкм.

V = 6,06 Мм/с.

12. Во сколько раз k дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности ее координаты, которая соответствует неопределенности импульса px в 1 %?

k = 160.

13. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию Wк электрона, локализованного области размером x = 0,20 нм.

Wк = 1 эВ.

124

14. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр d = 0,5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана S = 20 см, ускоряющее напряжение U = 10 кВ. Оценить с помощью соотношения неопределенность координаты Dx электрона на экране.

Dx = 10-8 м.

15. Оценить относительную ширину Dω/ω спектральной линии, если время жизни атома в возбужденном состоянии составляет t = 10- 8 с и длина волны излучаемого фотона l = 0,6 мкм.

Dω/ω = 3·10-8.

16. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину энергетического уровня DE в атоме водорода, находящегося: а) в основном состоянии; б) в возбужденном состоянии (время жизни атома в возбужденном состоянии равно t = 10-8 с).

а) DE1 = 0; б) E2 = 0,1 мкэВ.

17. Атом испустил фотон с длиной волны l = 0,55 мкм. Продолжительность излучения t = 10 нс. Определить наименьшую погрешность Dl, с которой может быть измерена длина волны излучения.

Dl = 1,6×10-14 м.

18. Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разности ∆En.,n+1 соседних энергетических уровней к энергии Еn частицы в трех случаях: а) n =2; б) n = 5; в) n → ¥.

а) ∆En.,n+1 = 0,78; б) ∆En.,n+1 = 0,21; в) ∆En.,n+1 = 0.

19.Электрон находится в прямоугольном потенциальном ящике

снепроницаемыми стенками. Ширина ящика ℓ = 0,2 нм, энергия

электрона в ящике Еn =7,8 эВ. Определить номер n энергетического уровня.

n = 2.

125

20. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме ширины ℓ = 1 см. Найти: а) плотность энергетиче-

ских уровней dn электрона (т.е. число уровней, приходящихся на dE

единичный интервал энергии); б) значение этой плотности в окрестностях уровня с номером n = 1010; в) среднее значение энергии <En> первых N = 1010 уровней.

низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале ℓ/4, равноудаленном от стенок ящика.

W = 0,091.

22. Частица в потенциальной яме шириной ℓ находится в возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интерване 0 < x < ℓ/2 на третьем энергетическом уровне.

W = 0,5.

23. Собственные функции электрона в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками имеют вид

ющее смысл номера энергетического уровня. Если N – число узлов yn

– функции на отрезке 0 £ x ³ ℓ и Nn+1/Nn-1 = 1,5, то n равно …

n = 4.

24. На рис. 71 схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различным значением главного квантового числа n. Отношение вероятности W1 обнаружить электрон на первом энергетическом уровне

126

в левой половине ящика к вероятности W4 обнаружить электрон на чет-

вертом энергетическом уровне в интервале ℓ - ℓ равно …

W1/ W4 = 2.

25. Собственная частота колебаний молекулы водорода равна n0 = 1,26×1014 Гц. Определить энергию нулевых колебаний E0 молекулы. Могут ли колебательные степени свободы в этой молекуле возбудиться при 600 К? Ответ объяснить.

E0 = 0,26 эВ; могут.

27.Коэффициент отражения протона от потенциального барьера равен R = 2,5×10-5. Определить, какой процент η составляет высота барьера от кинетической энергии падающих на барьер протонов.

η= 2 %.

28.Определить коэффициент преломления n

127

29. Протон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной d = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения D протоном этого барьера. Во сколько раз k надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона в вышеупомянутых условиях?

D = 1,67×10-43; k =42,8.

30. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Dϕ = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности De для электрона и для протона, если высота барьера равна U =20 кэВ и ширина d = 0,1 пм?

De/Dp = 74.

18. ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ. СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА.

АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ

ПО СОСТОЯНИЯМ. РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

18.1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.В чем заключается модель строения атома Томпсона? Опишите модель строения атома по Резерфорду. Каково современное представление о строении атома?

2.Сформулируйте и запишите постулаты Бора.

3.Какие тела дают сплошной спектр излучения? полосатый? линейчатый? Какой спектр имеет атом водорода? Перечислите спектральные серии атома водорода. В какой области спектра (ИК, видимый, УФ) они находятся?

4.Запишите и поясните обобщенную формулу Бальмера. Какой параметр определяет серию и чему он равен для каждой из известных Вам серий спектра атома водорода?

128

5.Чему равна полная энергия электрона в атоме водорода. Что определяет главное квантовое число? Сколько различных энергетических состояний соответствует данному значению главного квантового числа?

6.Чему равен момент импульса электрона в атоме согласно квантовой механике? Что определяет орбитальное квантовое число? Какие значения оно может определять при данном значении главного квантового числа? Сколько значений орбитального квантового числа возможно при данном значении главного квантового числа?

7.Чему равно значение проекции момента импульса электрона в атоме на направлении внешнего магнитного поля? Что определяет магнитное квантовое число? Какие значения может принимать магнитное квантовое число при данном значении орбитального квантового числа? Сколько значений магнитного квантового числа возможно при данном значении орбитального квантового числа?

8.Какие значения может принимать собственный момент импульса электрона и его проекция на направление внешнего магнитного поля? Чему равно спиновое число электрона?

9.Сформулируйте принцип Паули. Сколько электронов в атоме может иметь одинаковые значения главного, орбитального и магнитного квантовых чисел? Чему равно число электронов в атоме, обладающих одинаковыми главными и орбитальными квантовыми числами?

10.Чем отличаются тормозное и характеристическое рентгеновское излучения? Запишите с необходимыми пояснениями закон Мозли для рентгеновских спектров.

18.2.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Согласно классической электродинамике, электрон, движу-

нить время t, в течение которого электрон, движущийся в атоме водо-

129

рода по круговой орбите радиуса r = 50 пм, упал бы на ядро. Считать, что в любой момент падения электрон движется равномерно по окружности соответствующего радиуса.

t » 13 пс.

2. Определить частоту n обращения электрона вокруг ядра атома водорода при движении по второй боровской орбите.

n = 8,2×1014 Гц.

3. Определить силу тока I, обусловленную движением электрона по первой боровской орбите атома водорода.

I = 1,05 мА.

4. Определить орбитальный магнитный момент рm электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

рm = 2,8×10-23 А×м2.

5. Если в атоме водорода электрон заменить отрицательным m- мезоном, образуется система, которая называется мезоатомом. Пользуясь теорией Бора, найти радиус r мезоатома в состоянии с наименьшей энергией. Масса m-мезона m = 1,88×10-28 кг, а заряд равен заряду электрона.

r = 2,42×10-13 м.

6. Атом водорода в основном состоянии (n = 1) поглотил квант света с длиной волны λ = 121,5 нм. Определить радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода.

r = 212 пм.

7. Определите изменение орбитального механического момента DL электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное испусканием фотона с длиной волны l = 1,02×10-7 м.

DL = 2,1×10-34 Дж×с.

8.Определить для атома водорода: а) энергию Е связи электрона

восновном состоянии; б) потенциал ионизации ϕi; в) первый потенциал возбуждения1 j1.

а) Е = 13,56 эВ; б) ϕi = 13,56 В; в) ϕ1 = 10,2 В.

1 Первый потенциал возбуждения – это ускоряющее напряжение, соответствующее переходу невозбужденного атома в первое возбужденное состояние.

130