Задания по физике для самостоятельной работы студентов (индивидуальные домашние задания). Сборник задач

15. Пружинный маятник (жесткость пружины равна k = 10 Н/м, масса груза m = 100 г) совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определить коэффициент затухания β и резонансную амплитуду Арез, если амплитудное значение вынуждающей силы Fm = 10 мН.

β = 0,1 с-1; Арез = 5 см.

16. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частотах ν1 = 400 Гц и ν2 = 600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту νрез. Затуханием пренебречь.

18. На пружине с жесткостью k = 103 Н/м висит железный шарик массой m = 0,8 кг. Со стороны переменного магнитного поля на шарик действует изменяющаяся по синусоидальному закону сила, амплитудное значение которой равно Fm = 2,0 Н. Добротность системы равна Q = 30. Определить амплитуду А вынужденных колебаний в случаях, если: 1) ω = ω0/2; 2) ω = ω0; 3) ω = 2ω0.

А1 = 2,7 мм; А2 = 60 мм; А3 = 0,7 мм.

19. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде углублений, находящихся на расстоянии ℓ = 30 см друг от друга. По

этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на х0 = 2 см под действием

31

груза массой m0 = 1 кг. С какой скоростью V катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски М = 10 кг.

V = 1,7 км/ч.

20. Написать уравнение колебательного движения материальной точки, совершающей два одинаково направленных гармонических колебания, которые описываются уравнениями x1 = 4sin 2p(t + 1/3) и

x2 = 3sin (2pt + p/3).

x = 6,8 sin (2pt + 5p/2).

21. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления: x1= a cos wt и x2= a cos 2wt, где а = 5 см, w = 3,14 с-1.

Найти максимальную скорость Vm точки.

Vm = 11,46 см/с.

22. Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуды и начальные

А = 8 см.

Ар = 6,7 см; jр = 26°34¢.

24. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид x = a×cos(2,1t)×cos(50t), где t – в секундах. Найти круговые частоты w1 и w2 складываемых колебаний и период Тб биений.

w1 =47,9 с-1; w2 =52,1 с-1; Тб =1,5 с.

32

25. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = 2sin ωt и y = 2cos ωt, м. Найти уравнение траектории результирующего движения точки.

у2/4 + х2/4= 1 (уравнение окружности).

26. Сейсмическая упругая волна, падающая под углом α = 45° на границу раздела между двумя слоями земной коры с различными свойствами, испытывает преломление, причем угол преломления равен β = 30°. Если в первой среде волна распространяется со скоростью V1 = 5,6 км/с, то во второй среде скорость V2 сейсмической волны равна …

V2 = 4 км/с.

27. Плоская звуковая волна ξ (x, t) = А cos(ωt – kx) распространяется в упругой среде. Скорость V колебания частиц среды, отстоящих от источника на расстоянии x = λ/6, в момент времени t = T/4 равна …

V = -Aω/2.

28.Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01 sin(103t – 2 x), где все величины заданы в СИ. При этом длина волны λ равна …

λ= 3,14 м.

29.Уровень громкости шума самолета на расстоянии S = 5 м равен L1 = 120 дБ, а тихого разговора на том же расстоянии – L2 = 40 дБ. Определить отношение интенсивностей I1/I2 и абсолютные значения интенсивностей I1 и I2 этих звуков.

I1/I2 = 108; I1 =1 Вт/м2; I2 =10 нВт/м2.

30. Подводная лодка, движущаяся со скоростью V = 10 м/с, посылает ультразвуковой сигнал частотой ν = 30 кГц, который, отразившись от препятствия, возвращается обратно. Определить разницу между частотами посылаемого и принятого сигналов.

Δν = 0,42 кГц.

33

5. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

5.1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Сформулировать постулаты специальной теории относительности Эйнштейна. Зависит ли скорость движения тела от того, относительно какой системы отсчета она определяется? Зависит ли от этого скорость света в вакууме?

2.Запишите правило сложения скоростей в классической механике с необходимыми пояснениями. Напишите закон сложения скоростей в релятивистской механике для случая движения тела параллельно оси х.

3.Запишите и поясните преобразования Лоренца. В каком случае они переходят в преобразования Галилея? Запишите и поясните классическое и релятивистское выражения для импульса тела. Является ли импульс инвариантом относительно преобразований Лоренца?

4.Объясните термин «четырехмерное пространство». Что такое пространственно-временной интервал? Какими интервалами могут быть разделены причинно-следственные события?

5.Что называется полной энергией в релятивистской механике? Чему равна кинетическая энергия релятивистской частицы? Что называют энергией покоя?

6.Дайте определение давления. Сформулируйте закон Паскаля для покоящейся жидкости. Запишите и поясните выражение для гидростатического давления. Запишите выражение для силы Архимеда и сформулируйте условие равновесия тел, плавающих в жидкости.

7.Выведите уравнение Бернулли для идеальной жидкости. Запишите формулу Торричелли для скорости истечения идеальной жидкости из отверстия.

8.Какой режим течения жидкости называют ламинарным, а ка-

кой турбулентным? Запишите формулу для числа Рейнольдса. Что оно характеризует?

34

9.Что такое вязкость жидкости? Запишите формулу для силы внутреннего трения между слоями жидкости. В чем заключается физический смысл коэффициента динамической вязкости жидкости? В чем он измеряется и как зависит от температуры?

10.Какую физическую величину называют коэффициентом поверхностного натяжения? От чего зависит его значение? При каком условии жидкость смачивает твердое тело, а при каком – нет? Запишите формулу для определения высоты уровня жидкости в капилляре

ипоясните ее.

5.2.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Стержень движется с некоторой постоянной скоростью V. Его длина в неподвижной системе ℓ1 = 3 м, а в системе отсчета, связанной

со стержнем, ℓ2 = 6 м. Определить собственную длину ℓ0 стержня и его скорость u относительно неподвижной системы отсчета.

ℓ0 = 4,24 м; u = 212 Мм/с.

2. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет а = 5 м и угол между этим катетом и гипотенузой a = 30°. Найти в системе отсчета К’, движущейся относительно этого треугольника со скоростью V = 0,866×с (с – скорость света в вакууме) вдоль катета а длину гипотенузы ℓ¢.

ℓ¢ = 3,8 м.

3. Прямоугольный брусок со сторонами a = 3,3 см и b = 6,9 см движется параллельно большому ребру. При какой скорости V движения прямоугольный брусок превратится в куб?

V = 2,63×108 м/с.

4. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью V = 0,8×с (с – скорость света в вакууме), испустил фотон в направлении своего движения. Определите скорость u фотона относительно ускорителя.

u = с.

35

5. Световой сигнал, посылаемый на Землю с планеты Саракш, возвращается на Саракш через время 2Т = 30 лет. Скорость планеты относительно Земли пренебрежимо мала, а ее календарь согласован с земным. Звездолет летит по направлению к Солнечной системе со скоростью V = 0,6×с. В день, когда он пролетает мимо Саракша, на звездолете рождается мальчик Ваня. В тот же день (по саракшско-земному календарю) на Земле рождается мальчик Петя. Сколько лет будет Ване (t1) и Пете (t2), когда звездолет будет пролетать мимо Земли?

t1 = 20 лет; t2 = 25 лет.

6. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы t = 10 нс. Какой путь S пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни t = 20 нс?

S = 5 м.

7. Один из близнецов в возрасте 20 лет отправляется в далекое космическое путешествие к звезде Арктур на корабле со скоростью V = 0,99×с. Для жителей Земли расстояние до звезды Арктур составляет 40 св. лет (т. е. расстояние таково, что свет от звезды доходит до Земли за 40 лет). На сколько лет Dt космический путешественник окажется моложе своего брата, оставшегося на Земле?

Dt = 69,4 года.

8. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью V = 3с/4 (с – скорость света в вакууме), попали в неподвижную мишень с промежутком времени Dt = 50 нс. Найти собственное s расстояние между частицами до попадания в мишень.

s = 17 м.

9. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчета по линейке Dх1 = 4 м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стерж-

36

нем, то разность отсчетов по этой линейке Dх2 = 9 м. Найти собственную длину ℓ стержня и его скорость V относительно линейки.

ℓ = 6 м; V = 2,2×108 м/с.

10. В пунктах А и В, удаленных на расстоянии ℓ = 10 км, произо-

шли одновременно два события, например зажглись экраны телевизоров. Чему равно число микросекунд t, разделяющих эти события с точки зрения наблюдателя на космическом корабле, удаляющемся от Земли вдоль прямой АВ со скоростью V = 0,8×c, где с – скорость света?

t = 44 мкс.

11. Стартовавшая с Земли воображаемая космическая ракета движется с ускорением а¢ = 10×g, одинаковым в каждой инерциальной системе, мгновенно сопутствующей ракете. Разгон продолжался по земному времени t = 1 год. Найти, на сколько процентов отличается скорость ракеты от скорости света в конце разгона. Каков путь S, пройденный ракетой к этому моменту?

На 0,47 %; S = 0,91 светового года.

12. Плотность покоящегося тела равна r0. Найти скорость V системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на 25 % больше r0.

V = 0,6×с.

13.Определите импульс p электрона, обладающего кинетической энергией Eк = 5 МэВ.

р= 2,93×10-21 кг×м/с.

14.Найти скорость V частицы, кинетическая энергия которой равна Eк = 500 МэВ и произведение ее импульса на скорость света в

вакууме р×с = 865 МэВ.

V = 0,87×с.

15. Какую работу А надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от V1 = 0,6×с до V2 = 0,8×с (с – скорость света в вакууме)?

А = 0,42 mc2.

37

16. На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высоты Н = 50 см. Сосуд наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте h от дня сосуда следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из него била в поверхность стола на максимальное растояние от сосуда и чему равно это расстояние?

h = 25 см.

17. В широком сосуде, заполненном водой, на высоте h = 0,1 м имеется отверстие сечением S = 2 см2, через которое вытекает струя воды. К сосуду сверху подведена труба, через которую поступает вода так, что ее уровень в сосуде остается неизменным. Сколько воды Q должно ежесекундно вливаться в сосуд, чтобы вытекающая через отверстие струя достигла уровня дна в сосуде в точке, находящейся на расстоянии ℓ = 0,5 м от края сосуда?

Q = 0,7 л/с.

18. Определите, на какую высоту h поднимется вода в вертикальной трубке, впаянной в узкую часть горизонтальной трубы диаметром d2 = 3 см, если в широкой части трубы диаметром d1 = 9 см скорость воды V1 = 25 см/с.

h = 25,5 см.

на эту поверхность на расстоянии ℓ = 8 м

(рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха движению воды, найти избыточное давление р воды в рукаве, если площдь поперечного сечения рукава равна S2 = 50 см2?

р = 77,9 кПа.

20. Какую мощность развивает сердце человека, если при каждом биении левый желудочек, сокращаясь, выталкивает в аорту кровь

38

массой m = 70 г под давлением р = 26 кПа, а за 1 = 1 мин происходит приблизительно n = 75 сокращений желудочка?

Р = 2,2 Вт.

21. Два свинцовых шарика диаметрами d1 = 2 мм и d2 = 1 мм опускают в сосуд с глицерином высотой h = 0,5 м. Считая, что скорость шариков сразу становится равномерной, определите, на сколько раньше ( t) и какой из шариков достигнет дна сосуда.

Первый, t = 41,64 с.

22. Один из методов определения вязкости жидкостей заключается в измерении скорости падения шарика в цилиндре, который заполнен исследуемой жидкостью, и вычислении коэффициента динамической вязкости по формуле Стокса. Принимая для шара критическое значение числа Рейнольдса Re = 0,05, найти максимальное значение радиуса r стального шарика, который может быть использован в опыте при определении вязкости глицерина.

r = 1,4 мм.

23. Вода по каплям вытекает из сосуда через вертикальную трубку диаметром d = 3 мм. При остывании воды от t1 = 100 °С до t2 = 20 °С масса каждой капли изменилась на m = 13,5 мг. Зная поверхностное натяжение воды при t2 = 20°С, найти поверхностное натяжение σ1 воды при t1 = 100 °С. Диаметр шейки капли в момент отрыва считать равным внутреннему диаметру трубки.

σ1 = 0,059 Н/м.

24. Ртуть массой m = 3 г помещена между двумя параллельными стеклянными пластинками. Определите силу F, которую необходимо приложить, чтобы расплющить каплю до толщины d = 0,1 мм. Ртуть стекло не смачивает.

F = 2,2 Н.

25. В сосуд с водой опущен капилляр, внутренний радиус которого r = 0,16 мм. Каким должно быть давление p воздуха на

39

жидкостью в капилляре, чтобы уровень воды в капилляре и в сосуде был одинаков? Атмосферное давление р0 = 101,3 кПа. Смачивание считать полным.

р = 102,2 кПа.

26. В воронку налит спирт. Диаметр отростка воронки d = 0,4 мм. До какой высоты h нужно налить спирт, чтобы он начал по каплям выливаться из отростка?

h ³ 2,8 см.

27. В жидкость нижними концами опущены две вертикальные капиллярные трубки с внутренними диаметрами d1 = 0,05 см и d2 = 0,1 см. Разность уровней жидкости в трубках равна Dh = 11,6 мм. Плотность жидкости равна ρ = 0,8 г/см3. Найти поверхностное натяжение s жидкости.

s = 22 мН/м.

28. Водомерка бегает по повехности воды. Найти массу m водомерки, если известно, что под каждой из шести лапок насекомого образуется ямка, равная полусфере радиусом r = 0,1 мм.

m = 27,5 мг.

29. Ареометр плавает в жидкости, полностью смачивающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра d = 9 мм. Плотность жидкости ρ = 800 кг/м3, поверхностное натяжение жидкости s = 0,03 Н/м. На сколько изменится глубина погужения ареометра (Dh), если вследствие замасливания ареометр стал полностью несмачиваемым этой жидкостью?

Dh = 3,5 мм.

30. Определить работу А, необходимую для превращения воды массой m = 1 г в туман, т. е. для распыления ее в капельки диаметром d = 0,2 мкм.

А = 2,2 Дж.

40