Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

УДК 51 (075)

ББК 22я7

В28

Рецензенты: кафедра прикладной математики УлГУ зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, профессор А. А. Бутов; д-р физ.-мат. наук, профессор УлГУ А. С. Андреев.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Вельмисов, Петр Александрович

В28 Дифференциальные уравнения : учебное пособие / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова, Т. Б. Распутько. – Ульяновск : УлГТУ, 2017. – 131 с.

ISBN 978-5-9795-1771-1

Пособие содержит краткий теоретический материал по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Является руководством для выполнения типовых расчетов «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики», предлагаемых «Сборником заданий по высшей математике» (автор Кузнецов Л. А.) и «Сборником заданий по специальным курсам высшей математики» (автор Чудесенко В. Ф.).

Пособие предназначено для бакалавров, специалистов и магистров всех специальностей, изучающих разделы «Обыкновенные дифференциальные уравнения» и «Дифференциальные уравнения с частными производными». Может быть использовано также при постановке спецкурсов по математической физике, теории теплопроводности, теории колебаний упругих тел, аэрогидродинамике.

В пособии дано краткое изложение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и представлены практические рекомендации по выполнению расчетных заданий.

Приводится вывод основных уравнений математической физики и постановки краевых и начально-краевых задач для них, даны примеры решения задач математической физики.

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. Печатается в авторской редакции.

УДК 51 (075)

ББК 22я7

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебное пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений и является руководством для выполнения типовых расчетов «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики», предлагаемых «Сборником заданий по высшей математике» (автор Кузнецов Л. А.) [13] и «Сборником заданий по специальным курсам высшей математики» (автор Чудесенко В. Ф.) [29]. Целью типовых расчетов является обучение студентов некоторым методам аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными, а также их качественного исследования.

Пособие состоит из двух разделов:

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения;

2.Дифференциальные уравнения с частными производными.

ВРазделе 1 дано краткое изложение методов решения и качественного исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, изложены практические рекомендации по выполнению задач 1- 16 раздела «Дифференциальные уравнения» типового расчета из [13] (номера задач в данных указаниях совпадают с номерами в [13]) и задач 23, 24, 26 раздела «Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление» из [29] (номера задач в данных указаниях совпадают с номерами в [29]). Дополнительно предлагаются задания для самостоятельного выполнения студентами по разделам, которые отсутствуют в сборниках [13], [29].

ВРазделе 2 дано краткое изложение методов решения дифференциальных уравнений с частными производными, изложены практические рекомендации по выполнению задач 1-15 раздела «Уравнения математической физики» типового расчета из [13] (номера задач в данных указаниях совпадают с номерами в [13]) и задач 1, 2, 3 раздела «Уравнения математической физики» из [29] (номера задач в данных указаниях совпадают с номерами в [29]). Приведены некоторые теоретические сведения по теории рядов, дифференциальных уравнений, необходимых для выполнения этих заданий. Дополнительно предлагаются задания для самостоятельного выполнения студентами по разделам, которые отсутствуют в сборниках [13], [29].

Одной из причин написания пособия является сложность решения задач математической физики, что требует подготовки дополнительных методических материалов. Особенностью данного пособия является также то, что в нем приводится вывод основных уравнений математической физики (волнового, теплопроводности, Лапласа, Пуассона), описывающих соответствующие физические явления и процессы (поперечные колебания

5

струны и мембраны, продольные и крутильные колебания стержня, распространение тепла в телах, стационарные тепловые поля, движение несжимаемой и сжимаемой жидкости), и постановка основных краевых или начально-краевых задач для этих уравнений.

Данное учебное пособие может быть полезным при постановке спецкурса «Уравнения математической физики» и спецкурсов по теории теплопроводности, теории колебаний упругих тел и движения жидкостей и газов.

Специфика задач, предлагаемых в [13] и соответственно в настоящем пособии, такова, что методом решения их является метод Фурье. При этом в пособии не обсуждаются условия сходимости рядов, на основе которых формально построены решения краевых или начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Следует отметить также, что численные значения физических постоянных, входящих в виде коэффициентов в уравнения, являются гипотетическими.

Данное учебное пособие предназначено, в частности, для бакалавров, специалистов, магистров УлГТУ, изучающих дисциплины:

«Дифференциальные уравнения» (для бакалавров и спецалистов всех специальностей);

«Уравнения математической физики» (для бакалавров специальности «Прикладная математика»);

«Спецглавы математики» (для бакалавров машиностроительного факультета);

«Специальные разделы высшей математики» (для магистров строительного факультета);

«Спецкурс математики» (для магистров энергетического факультета).

6

РАЗДЕЛ 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ И УКАЗАНИЯ

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1.Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1.Дифференциальные уравнения первого порядка – основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением (д. у.) называется уравнение, связывающее независимую переменную x , функцию y y(x)

переменной x и ее производные y , y ,... y(n) : F(x, y, y , y ,..., y (n) ) 0 .

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется

порядком д. у.

Определение. Решением д. у. на интервале (a;b) называется функция y (x) такая, что подстановка ее в д. у. превращает это уравнение в тождество на (a;b) . График решения д. у. называется интегральной кривой

этого уравнения.

Рассмотрим д. у. 1-го порядка, разрешенное относительно производной: y f (x, y) , где f (x, y) – некоторая функция двух

переменных. Пусть даны числа x0 , y0 .

Задача Коши для д. у. 1-го порядка формулируется следующим образом: найти решение д. у. y f (x, y) , удовлетворяющее начальному

условию y(x0 ) y0 . Геометрически это означает, что требуется найти

M0 (x0 , y0 ) . Пусть выполняются условия:

1)f (x, y) – непрерывная функция двух переменных в области D ;

2)f (x, y) имеет частную производную f y (x, y) , ограниченную в D .

Тогда найдется интервал (x0 h; x0 h) , на котором существует

единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x0 ) y0 .

7

теоремы 1.1 выполняются. Задача Коши имеет единственное решение. Заметим, что f y ( x, y) обращается в бесконечность при y 0 , т. е. на оси

Ox , поэтому в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Пусть дана задача Коши, и в области D выполняются условия

теоремы 1.1.

Определение. Общим решением д. у. y f (x, y) называется функция y (x, C) , зависящая от переменной x и константы C, удовлетворяющая

y (x, C) будет удовлетворять данному условию.

Определение. Частным решением д. у. называется решение, полученное из общего при каком-либо фиксированном значении константы C.

Определение. Общим интегралом д. у. называется выражение вида(x, y,C) 0 , неявно определяющее общее решение д. у. При

фиксированном значении постоянной С будем иметь частный интеграл. Определение. Решение y (x) д. у. называется особым, если в

каждой точке его графика нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую точку M0 (x0 ; y0 ) , кроме интегральной кривой этого

решения, проходит также интегральная кривая другого решения д. у.

Пример 1.2. Доказать, что функция y ( x C) 3 / 27 является общим решением д. у. y y23 в области D : y 0 .

есть общее решение.

8

Заметим, что функция y 0 также является решением д. у., это проверяется непосредственно. Пусть начальное условие имеет вид

решение дифференциального уравнения.

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Признак. Дифференциальное уравнение первого порядка с

проинтегрировать обе части уравнения по соответствующей переменной.

Вычисляем каждый из полученных интегралов методом подведения под знак дифференциала:

9