Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

1 u

du

dx1

,

u2 2

x1

1

u

dx

du

1 ,

u2

2

u2 2

x1

u 2

1

ln

1 ln

u2 2

ln

x

ln

C

,

2

2

u

2

2

1

u 2

ln

2 ln

u 2

2 ln

u 2

2 2 ln

x

ln

C

,

u

2

1

1

u 2

u 2

x1

C1

(1 2) ln

(1 2) ln

2

2 ln

ln

.

(u 2)1 2

(u 2)1 2 C x2 2 .

1

Возвращаясь

к

переменным

y1

y

3

x,

y u

,

общий

интеграл

x1

x 1

y 3

1 2

y

3

1 2

C1x 2 2 .

уравнения запишем в виде

2

2

1

x 1

x

1.4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Признак. Линейное уравнение 1-го порядка имеет вид

y P(x) y Q(x) ,

(1.1)

где P(x),

Q(x) – заданные функции, непрерывные на интервале (a,b) .

Метод решения. Следует искать решение уравнения в виде

произведения

двух

функций: y(x) U (x)V (x) . Подставляя

y

в

(1.1),

получим

VU PV V U Q .

Функцию

V

определяют

из

условия

PV V 0

(тогда V C exp P( x)dx , где постоянную интегрирования

C

можно без ограничения общности выбрать равной единице),

затем

находят

U

из

уравнения VU Q (тогда

U Q / V dx C,

C –

общее решение полного (неоднородного) уравнения отыскивают в виде

y C ( x) exp Pdx . Подставляя y( x) в (1.1), получим уравнение для

P( x)dx

Q .

C ( x) : C ( x) exp

Указание к задаче 4.

x / 1 x2 ,

Найти решение задачи Коши y x ln x y 2x2 ln2

y(e) 0 .

Решение.

y U (x)V (x) , тогда

Будем искать общее решение уравнения в виде

x ln xVU

xV ln x V U 2x2 ln2

x /

1 x2

.

(1.2)

Функцию V находим из условия xV ln x V 0 . Тогда имеем

dV

dx

,

ln

V

ln

ln x

ln

C

,

V C ln x .

V

x ln x

Выбирая любое частное решение, например, V ln x C 1 ,

и подставляя

его в (1.2), получим уравнение для U (x) : x ln2 xU 2x2 ln2

x / 1 x2 .

Откуда находим

U 2x / 1 x2 , U ln 1 x2

C .

Следовательно,

частного решения,

удовлетворяющего

условию

y(e) 0, положим

x e,

y 0 . Получим: 0 ln 1 e2

C , откуда C ln 1 e2 .

Таким образом, решение задачи Коши имеет вид y ln

1

x2

ln x .

1

e2

Указание к задаче 5.

Решить задачу Коши

ydx 0, y(0)

1.

2 y ln y y x dy

Решение.

Уравнение можно привести к уравнениям вида

dy

y

,

dx

2 y ln y y x .

dx

2 y ln y y x

dy

y

Первое уравнение для функции y y(x) нелинейное,

второе после

элементарных преобразований приводится к виду

dx

1

x 1 2ln y.

(1.3)

dy

y

(считаем искомой функцией

x ,

а аргументом y ). Представляем

x в виде

x U( y)V ( y) и подставляем в (1.3):

VU V

V / y U 1 2 ln y.

V

Функции U и V находим из системы V y

0,

VU 1 2 ln y. Из первого

уравнения

имеем:

dV dy

, ln

V

ln

y

lnC ,

V C / y;

второе

V

y

y 1U 1 2 ln y.

уравнение

системы

при

C 1

дает

Отсюда

U y 2 y ln y dy y2

ln y C .

Тогда

общее

решение

имеет

вид

x yln y C /

y . Подставляя

в

это

выражение

значения

x 0,

y 1,

находим C 0 . Задача Коши имеет решение: x y ln y .

Признак. Уравнение Бернулли имеет вид y P( x) y Q( x) y ,

где – вещественное число, 0,

1.

Метод

решения:

Замена

z( x) y1 ,

переводящая

уравнение

Бернулли в линейное уравнение

z (1 ) P(x)z

1

Q( x) .

Указание к задаче 6.

Найти решение задачи Коши:

y y cos x y2 cos x,

y(0) 1.

Решение.

1

z

1 cos x

1

Сделаем

замену

z(x)

.

Получаем:

cos x,

y(x)

z2

z2

z

z z cos x cos x .

Последнее уравнение – линейное. Его общее решение

z 1 Ce sin x , C

– произвольная постоянная. Тогда общее решение

исходного уравнения

y

1 Cexp sin x

1 .

1.5. Уравнения в полных дифференциалах

Признак. Уравнение в

полных дифференциалах

имеет вид

M(x, y)dx N(x, y)dy 0,

где функции M(x, y) и N(x, y) удовлетворяют

условию

M (x, y)

N (x, y)

.

(1.4)

y

x

Метод решения. Соотношение (1.4) равносильно существованию

функции F F(x, y) , удовлетворяющей условиям:

F(x, y)

M(x, y),

F(x, y) N(x, y) .

(1.5)

x

y

Следует найти функцию

F(x, y) . Интегрированием из первого условия

(1.5) получим

F(x, y) M(x, y)dx ( y) ,

(1.6)

где ( y) – пока произвольная функция. Подставляя F(x, y)

из (1.6) во

второе уравнение (1.5), имеем

( M (x, y)dx) ( y) N (x, y) , откуда

y

1

1

sin y ysin x

dx xcos y cos x

dy 0 .

x

y

дифференциалах: M sin y ysin x 1

,

1

M

x

N cos y sin x.

N x cos y cos x

,

cos y sin x,

y

y

F

x

Итак,

M

N

– верно. Тогда имеем:

sin y ysin x 1 ,

y

x

x

x

F

1

x

( y) .

sin y ysin x

x

dx ( y) xsin y ycos x ln

15

Далее, подставляя F в уравнение

F

x cos y cos x

1

,

y

y

находим

1

,

( y) : x cos y cos x ( y) x cos y cos x y

( y)

1

, ( y) ln

y

ln

C

.

y

xyC

Тогда

F(x, y) x sin y y cos x ln

.

Общий интеграл исходного

f (x, y) 0( y 0) , то функция y(x) , являющаяся решением д. у.,

в точках

этой изоклины возрастает;

если

f (x, y) 0

( y 0) – убывает.

Если в

точках плоскости

f x f

f y 0

( y 0) ,

то интегральные

кривые

выпуклы вниз, если

f x f

f y 0 ( y 0) , то кривые выпуклы вверх.

y 2x

2

y,

1

;

1

M

4

2

.

2x2 y K , или

y 2x2 K .

Таким образом, изоклинами являются

параболы.

При

K 0

получим

изоклину y 2x2 .

Эта кривая делит

плоскость

xOy на две области, в каждой из которых

y имеет свой знак

(один и

тот же

для

каждой точки области). Интегральные кривые,

16

Рис. 1.1. Изоклины при K 0, K 1, K 3

Найдем

y

(2x

2

4x y

4x (2x

2

y) 2(x 1)

2

2

y .

На

y)

кривой y 2x2 4x 2(x 1)2

2 имеем y 0 . В части плоскости

xOy ,

расположенной

выше

кривой

y 2x2 4x,

y 0 ,

а

значит,

Таким образом, интегральная кривая, проходящая через точку

1

;

1

, имеет одну точку, соответствующую минимуму; одну точку,

M

4

2

MN

2

2

2

x

2

x

2

2

.

x X

y Y

( y )

По

условию

MN

2

100,

тогда

приходим

к

дифференциальному

уравнению: x

2

x

2

2

100

. Преобразовывая его к виду y x /

100 x

2

,

(y )

далее находим

2 1 d(100

x

2 )

100 x2 C .

y

xdx

2

2

100 x

100 x

острый, значит, при

По условию задачи угол между векторами MN

и j

x 0

выполняется

условие

y 0 .

Это

означает,

что

y x /

100 x2 ,

y 100 x2 C . Кривая проходит через т. M0 (6;1) ,

значит, при x 6,

y 1, отсюда С=9.

Ответ: y

100 x2 9 .

Указание к задаче 9.2.

Найти линию,

проходящую через точку M0 (8,4) , если отрезок любой

MN

2

(x X )

2

( y Y )

2

x

2

x

2

2

;

MP

2

2

2

.

( y )

( y y )

y

Согласно условию задачи MN: MP 2:3,

тогда 9 MN 2 4 MP2 . Подставляя

в это равенство выражения для

MN и

MP , получим дифференциальное

уравнение

2

9x

2

9x

2

4 y

2

2

4 y

2

.

( y )

( y )

Решая его: 9x 2 ( y ) 2 4 y 2 ,

y

2 y

,

dy

2dx

, ln

y

2 ln

xC

,

3x

y

3x

3

0

получаем общее решение:

y C(x 2/3 ) .

При

x 0,

y 0 имеем

y 0 ,

поэтому y 2 y / (3x) .

Интегрируя,

находим:

y Cx 2 / 3 .

Полагая

x 8,

y 4 , получаем C 16.

y

(n)

(n 1)

) ,

(1.7)

F (x, y, y ,..., y

удовлетворяющее начальным условиям:

y(n 1) (x0 ) yn 1

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y1 , y (x0 ) y2 ,...,

(1.8)