Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Задача Штурма-Лиувилля.

X 2 X 0 – дифференциальное уравнение; X (0) X (l) 0 – граничные условия.

Разыскиваются числа n (собственные числа), при которых

существуют ненулевые решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, а также и сами ненулевые решения (собственные функции). Рассматриваются также задачи Штурма-

2. Задачи для волнового уравнения.

а) Задача для волнового уравнения на отрезке 0,l с однородными граничными условиями.

utt а2uxx – дифференциальное уравнение;

u(x,0) (x), ut (x,0) (x) – начальные условия; u(0,t) u(l,t) 0 – граничные условия.

Рассматриваются также однородные граничные условия следующих видов:

ux (0,t) ux (l,t) 0 , u(0,t) ux (l, t) 0 , ux (0, t) u(l,t) 0 .

Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде

u(x,t) X n (x) Tn (t) ,

n 1

где X n (x) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями,

102

n – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;

An , Bn – коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

б) Задачи для неоднородного волнового уравнения

utt а2uxx f (x,t) .

Решение задачи можно получить в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

3. Задачи для уравнения теплопроводности

а) Задача для уравнения теплопроводности на отрезке 0,l с однородными граничными условиями.

ut а2uxx – дифференциальное уравнение; u(x,0) (x) – начальное условие;

u(0,t) u(l,t) 0 – граничные условия.

Рассматриваются также однородные граничные условия следующих видов:

ux (0,t) ux (l,t) 0 , u(0,t) ux (l, t) 0 , ux (0, t) u(l,t) 0 .

Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде

u(x,t) X n (x) Tn (t) ,

n 1

где X n (x) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями,

б) Задача для неоднородного уравнения теплопроводности ut а2uxx f (x, t) .

103

Решение задачи можно получить в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

4. Задачи для волнового уравнения и уравнения теплопроводности с неоднородными граничными условиями

u(0,t) A(t), u(l,t) B(t) .

Каждая из этих задач сводится к задаче с однородными граничными

Решение получается в виде u(x,t) v(x,t) w(x,t) .

5. Задачи для уравнения Лапласа а) Краевая задача для уравнения Лапласа в круговом секторе

0 r R, 0 ( r, – полярные координаты, 2 ).

u urr 1r ur r12 u 0 – дифференциальное уравнение;

1)u (R, ) f ( ) – граничное условие (на окружности r R ),

2)u (r,0) u (r, ) 0 – граничные условия (на лучах 0, ).

Вместо условий 2) на лучах рассматриваются также условия

3) u (r,0) u (r, ) 0 , u (r,0) u (r, ) 0 , u (r,0) u (r, ) 0 .

Решение задачи по методу Фурье получается в виде

u(r, ) Rn (r) n ( ) ,

n 1

где n ( ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля для

дифференциального уравнения 2 0 с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям вида 2) или 3);

Rn (r) Cnrn ; Cn – коэффициенты, определяемые по граничным условиям 1).

104

u (R, ) f ( ) – граничное условие.

Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде

u(r, ) A0 An cos n Bn sin n r n ,

n 1

где An , Bn – коэффициенты, определяемые по граничному условию.

105

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Указания к задачам 2, 3 из сборника [29]

Указание к задаче 2. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду 49uxx 14uxy uyy 14ux 2uy 0 .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

Подставляя последнее соотношение в исходное уравнение, получаем уравнение в канонической форме:

7u 2u 0.

При всяком фиксированном это есть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами; корни его

произвольные функции переменной . Возвращаясь к прежним

переменным, получаем общее решение уравнения:

u(x, y) C1 (7x y) C2 (7x y) ,

где C1 ( ) и C2 ( ) – произвольные дважды дифференцируемые функции одной переменной x 7y .

Указание к задаче 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду

2uxx 5uxy 3uyy 0.

Решение. Имеем: a11 2, a12 52, a22 3, a122 a11a22 494 0 . Значит,

уравнение имеет гиперболический тип. Запишем характеристическое

106

произвольные постоянные. Значит, следует ввести новые независимые

u 0.

Интегрируя по переменной , имеем u ( ) , где ( ) – произвольная

функция. Интегрируя еще раз, но уже по переменной , находим u( , ) ( )d ( ) или u( , ) ( ) ( ) ,

где ( ) ( )d , ( ) – произвольные функции. Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид

u(x, y) ( y 12 x) ( y 3x) ,

Указания к задачам 1-15 из сборника [13]

Условие (2.83) задает распределение температуры в начальный момент времени, условия (2.84) задают температуру (нулевую) на концах стержня. Требуется найти распределение температуры по длине стержня в произвольный момент времени.

Решение.

Согласно методу разделения переменных ищем частное решение уравнения (2.71) в виде u(x,t) X (x) T (t) . Найдем частные производные:

Согласно граничным условиям X (0) X (9) 0.

Таким образом, требуется найти ненулевые решения уравнения (2.86), удовлетворяющие условиям X (0) X (9) 0. Уравнение (2.86) есть

линейное однородное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение k 2 0 имеет корни k . Рассмотрим три случая:

В силу линейности уравнения (2.82), решением его является линейная комбинация частных решений вида

Это решение удовлетворяет граничным условиям (2.84).

Для нахождения коэффициентов Cn воспользуемся начальным условием

(2.83).

Подставляя полученные значения в (2.89), находим решение задачи

(2.82)-(2.84)

Решение.

Аналогично задаче 1 ищем частное решение уравнения (2.90) в виде u(x,t) X (x) T (t) . Получим систему:

X (x) B . При этом общее решение уравнения (2.94) при 0 имеет вид

Решение уравнения (2.90), удовлетворяющее граничным условиям (2.92), можно записать в виде линейной комбинации полученных частных решений

110