Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

получаем уравнение малых колебаний струны (неоднородное волновое уравнение):

Уравнение свободных колебаний имеет вид (внешние силы отсутствуют):

81

Если малые поперечные колебания совершает натянутая упругая пленка (мембрана), то волновое уравнение является двумерным:

В частности, для свободных колебаний мембраны в полярных координатах имеем уравнение

5.2. Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня

Покажем, что уравнение вида (2.55) описывает также продольные колебания упругого прямолинейного стержня. Будем предполагать, что точки стержня совершают только продольные колебания, при этом поперечные сечения стержня в процессе движения остаются плоскими и нормальными к направлению движения. Математическое выражение понятия упругости заключается в том, что согласно закону Гука напряжения , возникающие в стержне, пропорциональны деформациям: E ( − сила, действующая на единицу площади поперечного

сечения, − относительное удлинение, E − модуль упругости). Рассмотрим элемент стержня длиной dx и площадью поперечного сечения s, которое будем считать не меняющимся по длине стержня.

F(x,t)

N(x,t) N(x+dx,t)

Рис. 2.4. К выводу уравнений колебаний стержня

Предположим, что стержень находится под действием внешней распределенной нагрузки с объемной плотностью F(x, t). В сечении x на

элемент действует сила F1 s (x, t) , в сечении (x dx) − сила

82

Запишем уравнение малых колебаний элемента согласно закону Ньютона

sdx 2u s dx s sFdx,

t2 x

где u(x, t) − продольное смещение (вдоль оси x ) сечения стержня с

координатой x в момент времени t от положения, которое занимает это сечение при равновесии, т. е. когда стержень находится в ненапряженном

стрежня.

Заметим, что сила, действующая в сечении стержня с координатой x , выражается через смещение u(x, t) по формуле N s Es xu (x,t) .

Покажем, что уравнение вида (2.55) описывает и крутильные колебания упругого прямолинейного стержня. Рассмотрим усилия, действующие на элемент стержня длиной dx с поперечным сечением s. В

распределенный по длине стержня момент внешних сил с линейной плотностью R(x, t)dx . Записывая уравнение вращения элемента, имеем:

J0 t22u dx M (x,t) M (xx,t) dx M (x,t) R(x,t)dx ,

где J 0 − полярный момент инерции единицы длины стержня, − плотность стержня. Крутящий момент M (x, t) и угол закручивания u(x, t)

находятся в зависимости M GJ0 ux , где G − модуль сдвига.

83

Подставляя М в уравнение, получим:

Для однородного стержня постоянного сечения уравнение удобно представить в виде

5.3. Уравнения движения жидкостей и газов

Рассмотрим некоторый объем жидкости (газа) , ограниченный поверхностью s. Если внутри объема нет источников и стоков, то изменение в единицу времени массы жидкости, заключенной внутри , равно потоку жидкости через поверхность

t d s Vn ds,

где (x, y, z, t) − плотность жидкости; V n − проекция вектора скорости

V (V (x ) ,V ( y) ,V (z) ) жидкости на внешнюю нормаль к поверхности s.

Преобразуя правую часть по формуле Остроградского и дифференцируя по t под знаком интеграла, получаем:

Так как последнее равенство справедливо для любого объема , то отсюда следует уравнение неразрывности

давление. Равнодействующая сил инерции, действующих на жидкость в

Fd , где F (F (x ) , F ( y) , F (z) ) − внешняя сила, рассчитанная на единицу

84

Отсюда, в силу произвольности объема , следует уравнение движения (уравнение Эйлера)

dVdt gradP F ,

где

Это уравнение векторное, оно эквивалентно трем скалярным уравнениям:

Замечание. Идеальная жидкость − такая сплошная среда, в которой внутренние силы приводятся к давлению, так что если выделить в этой жидкости некоторый объем , ограниченный поверхностью s, то действие на него остальной части жидкости приводится к силе, направленной в каждой точке поверхности s по нормали к ней. Величина этой силы, отнесенная к единице площади, и есть давление. Силами трения в модели идеальной жидкости пренебрегают.

Рассмотрим некоторые частные случаи движения идеальной жидкости.

Имеем четыре скалярных уравнения (2.61), (2.62) для определения четырех неизвестных − проекций вектора скорости V (x ) ,V ( y) ,V (z) и давления Р.

85

Если, кроме того, движение безвихревое rotV 0 , то вводя потенциал

Подставляя V grad в уравнения движения и интегрируя их по x, y, z

соответственно, найдем связь между давлением и потенциалом скорости (интеграл Лагранжа-Коши)

где P0 − давление в покоящейся среде, для которой 0.

Таким образом, исследование безвихревых течений жидкости в модели идеальной несжимаемой среды сводится к решению уравнения Лапласа (2.63). При этом давление находится согласно интегралу Лагранжу-Коши (2.64).

б) Малые возмущения сжимаемой жидкости (газа). Уравнение неразрывности и уравнения движения в случае сжимаемой среды (const ) дают четыре скалярных уравнения для пяти неизвестных

V (x ) ,V ( y) ,V (z) , P, . Еще одно уравнение можно получить, предполагая

Теперь имеем пять уравнений (2.60), (2.61), (2.65) для пяти неизвестных V ( x) , V ( y) , V ( z) , P, . В частности, для течений с постоянной энтропией

(изэнтропических) s const , тогда P C const , что и будем в

дальнейшем предполагать. В покоящейся среде P P0 , 0 , тогда

C P0 .

0

Будем считать возмущения первоначально покоящейся среды малыми. В соответствии с этим предположением положим

уравнения неразрывности, движения и в условие изэнтропичности, оставляя старшие члены − порядка , получим соответственно:

распространения малых возмущений в этой среде), индексы t, x, y, z снизу

обозначают производные. Получили систему пяти уравнений для пяти функций.

Предполагая течение безвихревым, эту систему можно свести к одному уравнению. Положим u* *x , v* *y , * *z . Подставляя u*, v*, * в уравнения движения и интегрируя их соответственно по x, y, z ,

Итак, для потенциала скорости возмущенного движения получили волновое уравнение − уравнение акустических колебаний сплошной среды.

Продифференцировав уравнение неразрывности по t , используя уравнения движения, продифференцированные по x, y, z соответственно, и

связь P * a02 * , несложно показать, что давление P *(x, y, z, t) и плотность*(x, y, z, t) также удовлетворяют волновому уравнению. Этому же

87

уравнению удовлетворяют и проекции вектора скорости u*, v*, *; последнее получим, если продифференцируем уравнение для по x, y, z

соответственно и учтем, что u* *x , v* *y , * *z .

5.4. Постановка начально-краевых задач для волнового уравнения

Дифференциальные уравнения (2.55)-(2.59) имеют, вообще говоря, бесконечно много решений. Поэтому одного лишь уравнения движения для определения формы струны (или стержня) или угла поворота стержня в любой момент времени недостаточно. Необходимо еще задать начальные и граничные условия.

Начальные условия состоят в том, что известна форма струны (стержня) или угол поворота сечений стержня в начальный момент времени и начальная скорость точек струны (стержня) или угловая скорость сечений стержня:

Граничные условия указывают, что происходит на концах струны (стержня) в любой момент времени. Различают три основных типа граничных условий, которые укажем, например, для левого конца.

1. Конец x 0 движется (вращается) по заданному закону u(0, t) (t) . В частности, если конец закреплен, то граничное условие

имеет вид u(0, t) 0 .

2. Известна сила (или момент), приложенная к концу: ux (0, t) (t) (например, для продольных колебаний стержня SE , для крутильныхGJ 0 ). В частности, если конец свободен, то условие имеет вид

ux (0, t) 0 .

3. Конец упруго закреплен. Это означает, что он может перемещаться (или вращаться), но упругая сила (или упругий момент) закрепления вызывает на этом конце усилие (момент), стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение. Эта сила (или момент), согласно закону Гука, пропорциональна смещению (или углу поворота) u(0, t) ; коэффициент пропорциональности называется коэффициентом

жесткости закрепления:

Если точка (сечение), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается (вращается), и ее отклонение от начального положения задается функцией (t) , то граничное условие принимает вид

88

котором большие сдвиги (повороты) конца вызывают слабые натяжения

Аналогично задаются условия и на правом конце x . Комбинируя различные типы граничных условий, мы получим различные задачи.

Первая краевая задача для уравнения (2.55): найти функцию u(x, t) , определенную в области 0 x , t 0, удовлетворяющую уравнению:

граничным условиям u(0, t) 1 (t), u( , t) 2 (t) , и начальным условиям

Если на обоих концах берутся граничные условия 2-го или 3-го рода, то соответствующие задачи называются второй или третьей краевой задачей. Если граничные условия при x 0 и x имеют различные типы, то такие краевые задачи называются смешанными.

Начальные условия для уравнения (2.57), описывающего колебания мембраны, имеют вид

где , − заданные функции; граничное условие:

u (x, y, t) ,

где − граница мембраны; (x, y, t) − известная функция.

В случае трехмерных акустических колебаний сжимаемой среды (газа или жидкости) начальные условия для потенциала скорости запишутся в виде

где − граница расчетной области, функции , заданы.

89

5.5. Гармонические колебания

Рассмотрим часто встречающийся в практике случай периодических колебаний с постоянной частотой (гармонические колебания). Для струны (или стержня) перемещение (или угол) u(x, t) и интенсивность внешних

сил F(x, t) в этом случае имеют вид

от физического смысла задачи. Граничные условия, которые запишем для конца x 0, в случае гармонических колебаний могут быть трех типов

u(0, t) * sin( t ), ux (0, t) * sin( t ),ux (0, t) u(0, t) * sin( t ) ,

где *, *, * − некоторые постоянные. Тогда для g(x) соответствующие

В частности, если конец жестко закреплен, то g(0) 0 , а если свободен от нагрузки, то g (0) 0.

Аналогичные условия имеют место при x .

Замечания. а) В более общем случае в граничных условиях функции(t), (t), (t) (см. п.5.2.), а также функция E(x, t) могут быть

представлены рядами

, , , F n, n, n, Fn(x) sin( nt ) . n 1

Тогда u(x, t) следует искать также в виде ряда

u(x, t) gn (x) sin( nt ) .

n 1

Для каждой формы колебаний gn (x) , соответствующей частоте n , будем иметь свою отдельную краевую задачу.

90