Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

	По условию задачи		– полярный угол точки, поэтому функция
( )	периодическая с периодом 2 ( ) ( 2 ) . Это выполняется
лишь	тогда,	когда	( ) с const		0	и	когда
( ) С3 cos С4 sin			( 0 ),	n	– натуральное		число.

Следовательно, ( ) n ( ) An cos n Bn sin n , n 0,1,2,...

Уравнение (2.132) есть линейное однородное уравнение 2-го порядка. Это уравнение Эйлера. Его решают с помощью подстановки ln r . Получаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

R ( ) R( ) 0.

(2.133)

При

общее

решение

уравнения

(2.133)

имеет

вид

R( ) A B Aln r B .

Так как

ln r

при

r 0 , то следует

положить A 0 (в силу ограниченности решения в центре).

При

общее

решение

уравнения

(2.133)

имеет

вид

R( ) C

e n C

r n C

r n

–

произвольные

постоянные). В силу ограниченности решения при r 0 второе слагаемое здесь следует отбросить. Следовательно, R(r) C1n rn .

Вывод: ограниченные	в круге	решения	уравнения (2.133) есть
R(r) B const или R(r)	C1nr n . Итак, существуют ограниченные и 2
периодические решения	u B,	u ( A cos n B sin n )rn . Функция
		n	n

u(r, ) , таким образом, в силу линейности уравнения Лапласа может быть задана в виде

				cos n Bn sin n r n ,
	u(r, ) A0	An		cos n Bn sin n r n ,			(2.134)
		n 1
где An, Bn – произвольные постоянные.
Для нахождения коэффициентов A0 , An, Bn воспользуемся граничным
условием: u	31cos8 32sin 9 ,		(0 2 ) .		Подставив r 1		в обе
	r 1
части соотношения (2.134), получим:

A0 An cos n Bn sin n 31cos8 32sin 9 ,						(0 2 ) .
n 1		n			n 9;
	0,	n	8;	0,	n 9;	.
Таким образом, A0 0, An				Bn		.
	31, n 8;			32, n 9.
Подставив значения в соотношение (2.134), получим:
u(r, ) 31r8 cos8 32r9 sin 9 ,				(0 2 ,		0 r 1).

121

Указание к задаче 10.
Решить начально-краевую задачу
utt 16uxx ;	(2.135)
u(x,0) 31sin x;	(2.136)
ut (x,0) 0;	(2.137)
u(0,t) u(8,t) 0.	(2.138)

Физическая интерпретация задачи: требуется найти закон свободных колебаний струны, при условии, что ее концы закреплены и в начальный момент времени заданы форма струны и скорости ее точек.

Решение.

Согласно методу разделения переменных ищем частное решение уравнения (2.135) в виде u(x,t) X (x) T (t) .

Получим систему:

(2.139)

(x) X (x) 0

(2.140)

(t) 16 T (t) 0.

Граничные условия дают X (0) X (8) 0.

Решение

уравнения

(2.139),

удовлетворяющее

условиям

X (0) X (8) 0 ,

имеет

вид

X (x) X

(x) c

при этом

sin

Решениями

уравнения

(2.140) при

n 2

являются функции

T (t) C

cos

sin

Таким образом, частное решение уравнения (2.135), удовлетворяющее граничным условиям (2.138), можно представить в виде

							nt		nt			nx				(2.141)
	u(x,t) An cos							Bn sin		2	sin		8	.		(2.141)
			n 1				2			2			8
Находим производную:
				n	An		nt	n			nt			nx		(2.142)
ut (x,t)				2	An	sin		2	Bn cos		2	sin		8	.	(2.142)
		n 1		2			2	2			2			8
Согласно условию (2.137)						ut (x,0) 0. Полагая в (2.142)									t 0,	получаем
	n		nx				x 0, 8 , отсюда Bn 0 ,							n 1,2,....
ut (x,0)	2	Bn sin		8	0		x 0, 8 , отсюда Bn 0 ,							n 1,2,....
n 1	2			8

122

Согласно условию (2.136)	u(x,0) 31sin x . Полагая			в (2.141) t 0,
	nx	31sin x	x 0,8 .	Отсюда найдем
получаем u(x,0) An sin
n 1	8

0, n 8;

коэффициенты An : An 31, n 8.

Таким образом, получаем решение исходной задачи:

u(x,t) 31cos 4 t sin x (0 x 8, 0 t ).

Указание к задаче 11.
Решить начально-краевую задачу	(2.143)
utt 16uxx ;	(2.143)
u(x,0) 31sin x;	(2.144)
ut (x,0) 4 sin x;	(2.145)
u(0,t) u(8,t) 0.	(2.146)

Решение.

Аналогично задаче 10 ищем частное решение уравнения (2.143) в виде u(x,t) X (x) T (t) .

Получим систему:

(2.147)

(x) X (x) 0 ,

(2.148)

(t) 16 T (t) 0.

Граничные условия дают X (0) X (8) 0.

Решение

уравнения

(2.147)

удовлетворяющее

условиям

X (0) X (8) 0 ,

имеет

вид

X (x) X

(x) c

при этом

sin

Решением

уравнения

(2.148) при

n 2

являются функции

T (t) C

cos

sin

Таким образом, решение уравнения (2.143), удовлетворяющее граничным условиям (2.146), можно представить в виде

	nt		nt		nx		(2.149)
u(x,t) An cos	2	Bn sin	2	sin	8	.
n 1

123

Согласно условию (2.144) u(x,0) 31sin x имеем:

n 8;

u(x,0) An sin

31sin x . Отсюда An

n 1

31, n 8.

Находим производную:

(2.150)

ut (x,t)

sin

Bn cos

sin

n 1

Согласно

условию (2.145)

ut (x,0) 4 sin x .

Полагая

(2.150) t 0,

n 8;

получаем ut (x,0)

sin

4 sin x . Отсюда Bn

n 8.

n 1

Таким образом, решение задачи (2.143)-(2.146) имеет вид

u(x,t) 31cos 4 t sin x sin 4 t sin x .

Указание к задаче 12.

Решить начально-краевую задачу

(2.151)

utt

16uxx ;

u(x,0) 0;

(2.152)

ut (x,0) 4 cos x;

(2.153)

Решение.

ux (0,t) ux (7,t) 0.

(2.154)

Согласно методу Фурье ищем частное решение уравнения (2.151) в

виде u(x,t) X (x) T (t) .

Подставляя

u(x,t) X (x) T (t)

уравнение

(2.151) и разделяя переменные, получим систему из двух уравнений:

(2.155)

(x) X (x) 0 ,

(2.156)

(t) 16 T (t) 0.

Граничные условия (2.154) дают X (0) X (7) 0.

Таким образом, требуется найти ненулевые решения уравнения (2.155),

удовлетворяющие

условиям

X (0) X

(7) 0. Характеристическое

уравнение имеет вид k 2 0 . Рассмотрим три случая:

0. Общее решение уравнения (2.155)

имеет вид X (x) Ax B , где

A, B const .

Удовлетворяя условиям

X (0) X (7) 0 ,

получим

A 0 .

Следовательно, получили решение X (x) B .

Общее

решение

уравнения

(2.155)

имеет

вид

X (x) С e x С

e x ,

C , C

const .

Удовлетворяя

условиям

0 ,

получаем

С1 0 ,

C2 0 ,

X (x) 0

–

тривиальное

X (0) X (7)

решение.

Общее

решение

уравнения

(2.155)

имеет

вид

X (x) С3 cos

x С4 sin

x ,

C3 , C4

const .

Удовлетворяя условиям

124

получаем С4 0 ,

sin 7

0 .

Отсюда

7 n

X (0)

(7) 0 ,

или

где

n – произвольное

натуральное число.

Значит,

X (x) C

cos

Таким образом,

X (x) C

( n 0,1,2,...)

– это

решение

cos

(7) 0 .

уравнения (2.155), удовлетворяющее условиям X (0) X

Общее решение уравнения (2.156) при

имеет вид

1)n 0 : T (t) Ct D , где C, D – произвольные константы.

2)n 0 : Tn (t) C1n cos 4 7nt C2n sin 4 7nt .

Таким образом, частное решение уравнения (2.151), удовлетворяющее граничным условиям (2.154), можно записать в виде

4 nt

(2.157)

u(x,t) A0t B0 An cos

Bn sin

cos

n 1

где Ai , Bi

– произвольные постоянные ( n 0,1,2,...).

Согласно условию (2.152)

u(x,0) 0 .

Полагая в (2.157)

t 0,

получаем

x 0, 7 , отсюда B0 0, An 0 , n 1,2,....

u(x,0) B0 An cos

n 1

Найдем производную:

4 n

4 nt

4 n

4 nt

ut (x,t) A0

sin

Bn cos

cos

. (2.158)

n 1

Согласно

условию

(2.153)

ut (x,0) 4 cos x .

Полагая

в (2.158) t 0,

получаем

ut (x,0)

4 n

4 cos x .

Отсюда

A0 0 ,

Bn cos

n 7;

n 1

n 7.

Таким образом, решение задачи (2.151)-(2.154) имеет вид u(x,t) sin 4 t cos x .

125

Указание к задаче 13.

Решить начально-краевую задачу

utt

81uxx ;

(2.159)

u(x,0) 0;

(2.160)

ut (x,0) 9 sin x;

(2.161)

Решение.

u(0,t) ux (2,5; t) 0.

(2.162)

Согласно методу разделения переменных ищем частное решение

уравнения (2.159) в виде u(x,t) X (x) T (t) .

Получим систему:

(2.163)

(x) X (x) 0 ,

81 T (t) 0.

(2.164)

(t)

Граничные условия (2.162) дают X (0) X (2,5) 0.

Решение

уравнения

(2.163),

удовлетворяющее

условиям

0 , имеет вид X (x) X

(x)

2n 1 x

(0) X

sin

(2,5)

Решением

уравнения

(2.164)

являются

функции

2n 1 9 t

1 9 t

(t) C

cos

sin

Таким образом, решение уравнения (2.159), удовлетворяющее

граничным условиям (2.162), можно представить в виде

2n 1 9 t

(2n

1) x

u(x,t) An cos

Bn sin

sin

n 1

Согласно условию (2.160) u(x,0) 0 . Полагая в (2.165)

(2.165)

t 0, получаем

(2n

1) x

x 0, 7 , отсюда An

u(x,0) An sin

0 ,

n 1,2,.... Тогда

n 1

1 9 t

(2n 1) x

u(x,t) Bn sin

sin

n 1

Коэффициенты Bn найдем из условия (2.161) ut (x,0) 9 sin x . Тогда

2n 1 9

(2n

1) x

получим

ut (x,0)

Bn sin

9 sin x .

Отсюда

n 1

n 2;

n 2.

Тогда u(x,t) sin 9 t sin x – решение задачи (2.159) – (2.162).

126

Указание к задаче 14.
Решить начально-краевую задачу
utt 4uxx ;	(2.166)
u(0,t) 3;	(2.167)
u(2,t) 5	(2.168)
u(x,0) 3 4x;	(2.169)
ut (x,0) 20 sin 4 x.	(2.170)
Решение.

Задача (2.166)-(2.170) является начально-краевой задачей с неоднородными граничными условиями. Решение задачи будем искать в виде u(x,t) v(x,t) 3 4x .

Тогда задача (2.166)-(2.170) сводится к задаче с однородными

граничными условиями для функции v(x,t) :
			vtt 4vxx ;		(2.171)
			v(0,t) 0;		(2.172)
			v(2,t) 0;		(2.173)
			v(x,0) 0;		(2.174)
			vt (x,0) 20 sin 4 x;		(2.175)
Согласно методу разделения переменных ищем частное решение
уравнения (2.171) в виде v(x,t) X (x) T (t) .
Получим систему:	X			,	(2.176)

			(x) X (x) 0
					(2.177)
	T	(t) 4 T (t) 0.			(2.177)
Граничные условия (2.172), (2.173) дают X (0) X (2) 0.
Решение	уравнения		(2.176),	удовлетворяющее	условиям
X (0) X (2) 0 , имеет вид			X n (x) sin nx	. Решением уравнения (2.177)
			2

являются функции Tn (t) An cos nt Bn sin nt .

Таким образом, решение уравнения (2.171), удовлетворяющее граничным условиям (2.172), (2.173), можно представить в виде

v(x,t) An cos nt Bn sin

n 1

Согласно условию (2.174) v(x,0) 0 имеем:

Отсюда An 0 .

nt sin

v(x,0)

nx .2

	nx	0.
An sin	2
n 1

127

			nx
Находим производную: vt (x,t) n Bn cos nt sin					2	.
		n 1
Согласно	условию (2.175)		vt (x,0) 20 sin 4 x . Получаем
	nx			0,		n 8;
		20 sin 4 x .	Отсюда Bn		5
vt (x,0) nBn sin						, n 8.
n 1	2				2

Тогда решение задачи (2.171)-(2.175) имеет вид v(x,t) 52 sin 8 t sin 4 x .

Решение исходной задачи:

u(x,t) v(x,t) 3 4x 52 sin 8 t sin 4 x 3 4x .

Указание к задаче 15.

Решить смешанную задачу для данного неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями

u(x,0) 0,	ut (x,0) 0,	u(0,t) u( ,t) 0.
utt 1 uxx 50e 7t		sin 3x.	(2.178)

Решение.

Решение уравнения (2.178) будем искать в виде

u(x,t) X n (x) un (t) ,

n 1

где X n (x) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.

В данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля

примут вид X (0) X (l) 0 , поэтому

X n (x) sin

n n

. Так как

l , то

X n (x) sin nx , u(x,t) sin nx

un (t) .

n 1

Подставим в уравнение (2.178):

un (t) sin nx 1 n 2 un (t) sin nx 50 e 7t sin 3x ,

n 1

9 n 1

un (t)

n un (t) sin nx u3 (t) u3 (t) 50e

sin 3x 0.

или

n 1

n 3

получаем:

В силу линейной независимости системы sin nx n 1

un 0

1) un

, un (0) un (0) 0 , n 3 .

128

2) u3 u3

50e 7t , u3 (0)

u3 (0)

0 .

Общее

решение

уравнения

un 0

имеет

вид

cos n t

sin n t .

(t) A

Удовлетворяя

начальным

условиям

, получим тривиальное решение un (t) 0,

n 3.

un (0) un (0) 0

Решение уравнения

u3 u3

50e 7t

будем искать в виде

u3 u30 u3* .

Общее решение однородного уравнения имеет вид u0 C cos t C

sin t ,

частное решение u3* Ae 7t .

Подставим

u3*

в уравнение: 49 Ae 7t Ae 7t

50e 7t

A 1.

Тогда

(t) C

cos t C

sin t e 7t .

Удовлетворяя

начальным

условиям,

получаем u3 (t) 7 sin t cost e 7t .

Таким образом, решение исходной задачи имеет вид u(x,t) 7 sin t cos t e 7t sin 3x .

129

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1984. – 383 с.

2.Бугров, Я. С. Высшая математика / Я. С. Бугров, М. С. Никольский. –

Т. 3. – М. : Дрофа, 2004. – 488 с.

3.Будак, Б. М. Сборник задач по математической физике / Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. – М. : Наука, 1972. – 687 с.

4.Вельмисов, П. А. Дифференциальные уравнения : методические указания по типовому расчету / П. А. Вельмисов, Т. Б. Распутько. – Ульяновск, 2003.

5.Вельмисов, П. А. Уравненияматематической физики: учебноепособие/ П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 48 с.

6.Вельмисов, П. А. Уравнения математической физики: учебное пособие/ П. А. Вельмисов, Т. Б. Распутько. – 2-е изд. – Ульяновск : УлГТУ, 2001. – 67 с.

7.Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. –

М. : Наука, 1971. – 416 с.

8.Зарубин, В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности / В. С. Зарубин. – М. : Энергоатомиздат, 1983. – 326 с.

9.Исаченко, В. П. Теплопередача / В. П. Исаченко, В. А. Осипова, А. С. Сукомел. – М. : Энергоиздат, 1981. – 417 с.

10.Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. – 6-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2003. – 576 с.

11.Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической

физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М. : Высшая школа, 1970. – 710 с.

12. Краснов, М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. Л. Краснов. – М. : Высшая школа, 1983.

13.Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты : учебное пособие / Л. А. Кузнецов. – СПб. : Лань, 2008. – 240 с.

14.Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. – М. :

Наука, 1978. – 736 с.

15.Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. – М. : Высшая школа, 1967. – 600 с.

16.Мартыненко, В. С. Операционное исчисление / В. С. Мартыненко. – Киев : Издательство Киевского университета, 1965. – 88 с.

17.Пантелеев, А. В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах : учебное пособие / А. В. Пантелеев, А. С. Якимова. – М. : Высшая школа, 2001. – 445 с.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]