Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

Решение. 1) Перейдем от оригиналов к изображениям. Воспользуемся свойством 5° и таблицей изображений:

3) Воспользуемся таблицей изображений и найдем оригинал для функции

Замечание. Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 2.15. Решить задачу Коши:

Решение. 1) Перейдем от оригиналов к изображениям:

t

t

x(t) h(t ) f ( )d f (0)h(t),

0

t

x(t) h( ) f (t )d f (0)h(t).

0

Замечание. Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на формуле Дюамеля, применяют, как правило, в тех случаях, когда возникают трудности при нахождении изображения правой части f (t) уравнения (1.43), а также при необходимости многократного решения

задачи (1.43)-(1.44) для различных функций f (t) .

Пример 2.16. Решить задачу Коши:

h(t) 12 et 12 e2t .

Задания для типового расчета

Задания по подразделам 1.1 – 2.5 рекомендуется выполнять студентам из [13]. По подразделу 4.4 задания в сборнике [13] не представлены.

В качестве заданий по подразделу 4.4 предлагаются задания 23, 24, 26 раздела 1 сборника [29].

В данном параграфе предлагаются задания для самостоятельного выполнения студентами по разделам, которые отсутствуют в сборниках

[13], [29].

1. Приближенный метод решения с помощью рядов (подраздел 2.6)

При указанных начальных условиях найти три первых члена разложения в степенной ряд функции y(x) , являющейся решением

заданного дифференциального уравнения.

3.y 2x 3 ln y y , y(0) 1.

6.y sin 2x xy , y(0) 1.

8.y cos x x e y , y(0) 0 .

9.y xe x y 2 1, y(0) 0 .

10.y tgx xy 2 e x , y(0) 0 .

11.y 2x3 y 2 2x , y(0) 1.

12.y ln(x 1) e y , y(0) 0 .

13.y x 2 sin y 1, y(0) 0 .

14.y xe x ln y , y(0) 1.

15.y sin 2x cos y , y(0) 0 .

16.y x 2 y ln y y , y(0) 1.

17.y e 2 x 3y 2 , y(0) 0 .

18.y cos 2x x y 2 , y(0) 0 .

19.y cos x y 2 , y(0) 1.

20.y y y 2 , y(0) 3 .

21.y 2e y xy , y(0) 0 .

54

25.x 5x 2 y

y 10x 4 y 2 cos3t.

3. Метод малого параметра (подраздел 2.6)

Построить два первых члена разложения для решений следующих д. у. ( 1; если уравнение не содержит , то y 1):

57

РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1.Основные понятия

Определение. Уравнение, связывающее неизвестную функцию u x1,..., xn , независимые переменные x1,..., xn и частные производные от

неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными.

Оно имеет вид

где F – заданная функция своих аргументов.

Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение (2.1),

называется порядком уравнения с частными производными.

Общий вид уравнения с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными x и y

Аналогично общий вид уравнения с частными производными второго порядка

Определение. Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции.

Например, уравнение

C x, y,u,ux ,uy 2u f x, y,u,ux ,uy 0

y2

есть квазилинейное уравнение второго порядка.

58

Определение. Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Например, уравнение

есть линейное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции u x, y .

Определение. Решением уравнения с частными производными (2.1) называется всякая функция u u x1,..., xn , которая, будучи подставлена в

уравнение, обращает это уравнение в тождество.

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Например:

1) при изучении различных видов волн – упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к

волновому уравнению

где с – скорость распространения волны в данной среде; 2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле,

так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

59

При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (2.8) переходит в уравнение Лапласа, которое описывает стационарное распределение температур

Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют массы и соответственно электрические заряды.

Уравнения (2.6)–(2.9) называют основными уравнениями математической физики.

Каждое из уравнений (2.6)–(2.9) имеет бесчисленное множество частных решений. При решении конкретной физической задачи необходимо из всех этих решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из ее физического смысла. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т. е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления.

Математическая задача, имеющая своей целью описать действительность, должна удовлетворять следующим трем требованиям:

1) решение должно существовать, 2) решение должно быть единственным и 3) решение должно быть устойчивым. Это значит, что малые изменения любого из данных задачи должны вызывать соответственно малые изменения решения. Задача, удовлетворяющая всем трем требованиям, называется корректно поставленной задачей.

2.Классификация уравнений второго порядка

2.1.Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка

считаем вещественными.

60