Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

б) Если в граничных условиях * * * 0 и внешняя нагрузка отсутствует, т. е. F* (x) 0 (случай свободных колебаний), то для g(x )

получим однородную краевую задачу на собственные значения, из решения которой определяются собственные частоты и собственные формы колебаний. Действительно, при удовлетворении граничных условий возникает уравнение для собственного значения , через которое будет находиться собственная функция, а затем собственная частота и соответствующая ей собственная форма колебаний.

Гармонические колебания мембраны возможны в случае, когда граничные условия имеют вид

u sin( t ) *(x, y) ,

а внешняя нагрузка задается выражением F sin( t )F*(x, y) . Тогда

прогиб мембраны следует искать в виде

u sin( t ) g(x, y) .

После подстановки u(x, y,t) в уравнение колебаний мембраны получим для g(x, y) неоднородное уравнение Гельмгольца (эллиптического типа)

g *(x, y) .

В случае свободных колебаний F* * 0 . Приведем в этом случае

однородное уравнение Гельмгольца для определения формы колебаний в полярной системе координат:

grr 1r gr r12 g k 2 g 0 .

Для акустических колебаний сжимаемой среды (газа или жидкости) имеем:

g(x, y, z) sin( t ), gxx gyy gzz k 2 g 0, k 2 2 / a2 ,

где a − скорость звука в данной среде. Тогда из граничных условий для

91

6. Применение операционного исчисления к решению уравнений в частных производных

Многие инженерно-технические задачи приводятся к исследованию линейных уравнений в частных производных второго порядка.

Рассмотрим функцию u u(x, t) , зависящую от пространственной

координаты x и времени t ; t изменяется на полупрямой 0 t , а x – на конечном или бесконечном интервале.

Рассмотрим линейное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными x и t

B2 AC уравнения (2.71) определяет тип уравнения.

Уравнение (2.71) называется в точке М(x,t) уравнением

параболического типа, если в точке М B2 AC 0 .

Уравнения в частных производных могут быть решены операционным методом.

Гиперболические и параболические уравнения описывают так называемые нестационарные задачи (переходные процессы физической системы), решение которых существенно зависит от начальных условий. Исследование переходных (нестационарных) процессов физической системы представляет собой технически важную задачу.

Рассмотрим однородное уравнение вида

где A, C, D, E и G – непрерывные функции на интервале 0 x l . При

A 0 уравнение (2.72) будет гиперболического типа, если C 0, и параболического типа, если C 0 .

92

Операторным уравнением для уравнения (2.72) будет обыкновенное дифференциальное уравнение

Интегрируя уравнение (2.75) каким-либо методом при граничных условиях (2.76), получаем изображение U (x, p) . Тогда с помощью теоремы

разложения или, пользуясь таблицами формул преобразования Лапласа, находим решение.

Пример 2.5. Стержень длины l находится в состоянии покоя и один его конец закреплен, а к свободному концу приложена сила Asin t ,

направленная по оси стержня.

Решение. Уравнение колебаний стержня имеет вид

где u u(x,t) – продольное смещение; a2 – коэффициент, зависящий от

материала стержня. Начальные условия

u(x,0) 0 , u(x,0) 0,

t

где Е – модуль упругости. По закону Гука сила, действующая вдоль

Пользуясь граничными условиями (2.80), определяем произвольные постоянные

Функция U (x, p) имеет простые полюсы

определяющиеся нулями функции B( p) (предполагаем, что условие резонанса отсутствует, т. е. k ).

Оригинал u(x,t) для изображения U (x, p) находим по теореме

Пример 2.6. Найти распределение температур u(x,t) в линейном

проводнике тепла при граничных и начальных условиях

u(x,0) 0 , u(0,t) u0 , 0 x , t 0 .

Решение. Уравнение теплопроводности имеет вид

u a2 2u .t x2

Имеем

u(x,t) U (x, p) ,

u pU (x, p) ,

t