Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

Подставив

y ч.н.

и

ее

производные

в

исходное

уравнение,

получим

ex Ax 2 4Ax Bx 2A 2B

3ex Ax 2 2Ax Bx B

2ex Ax 2 Bx xex .

Сокращаем на ex и приводим подобные члены: 2 Ax 2 A B x .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в

левой и

правой частях тождества, находим: A 0,5,

B 1.

x2

x

Имеем y ч.н.

x e

.

2

Общее решение уравнения имеет вид

y y0.0. y

x

2 x

x2

x

.

ч.н. C e

C e

x e

1

2

2

Указание к задаче 14.1.

Найти общее решение уравнения

y 2 y

5y 17cos2x .

Решение.

Составим

характеристическое

уравнение

и

найдем

его корни

K2 2K 5 0,

K

1

4 1 2i,

1,

2, тогда

1,2

e x C cos2x C sin2x .

y

0.0.

i 2i

1

2

Так как

не

совпадает

с

корнями

характеристического

уравнения,

то

y ч.н. Acos2x Bsin2x .

Подставляя

y ч.н.

в

исходное

уравнение, получаем тождество

4Acos2x 4Bsin2x 2 2Asin2x 2Bcos2x 5 Acos2x Bsin2x 17cos2x 0.

Приравнивая к

нулю суммарные коэффициенты при cos2x и sin2x ,

получаем: cos2x: 4 A 4B 5A 17;

sin 2x: 4B 4 A 5B 0 .

Решая систему,

находим:

A 1, B 4 , тогда y ч.н. cos2x 4sin2x .

Для

общего решения получаем выражение

y C e x cos2x C e x

sin 2x cos2x 4 sin 2x .

1

2

Указание к задаче 14.2.

Найти общее решение уравнения

y 4 y 4 y e2 x cos x .

Решение.

уравнение K2 4K 4 0

Составим

характеристическое

или

K 2 2 0 . Корень K 2

кратности 2, поэтому y0.0. C1e2 x C2 xe2 x . Так

как i 2 i

не совпадает с корнями характеристического уравнения,

31

Решение.

Характеристическое уравнение K2 2K 1 0 имеет корень

K 1,

кратности 2. Значит, y

0.0

C ex

C xex .

1

2

Для отыскания частного решения исходного уравнения найдем

частные решения двух уравнений:

y 2 y y ex ,

(1.18)

y 2 y y ex sin x .

(1.19)

имеем

1, 0,

s 0, m 0 .

Число

i 1

является

корнем

характеристического

уравнения

кратности

2, значит,

частное решение

y(1) ч.н.

уравнения (1.18) ищем в виде

y(1) ч.н. Ax2ex . Подставив

y(1) ч.н.

в уравнение (1.18),

получим A 1 , т.

е.

y(1) ч.н. 1 x2ex . Правая часть

2

2

уравнения (1.19) равна: f (x) ex sin x , т. е. 1, 1,

s 0, m 0 ; число

i 1 i не является корнем характеристического уравнения.

Значит,

частное решение y(2) ч.н. уравнения (1.19) ищем в виде

y(2) ч.н. ex Acos x Bsin x .

Признак. Уравнение имеет вид

y P1 (x) y P2 (x) y Q(x) .

(1.20)

y1 , y2

– фундаментальная система

решений

соответствующего

однородного уравнения

y P1 (x) y P2 (x) y 0 .

(1.21)

Функции C1 (x) и C2 (x) определяются из системы:

y1C1 y2C2 0,

y1C1 y2C2 Q(x) .

(1.22)

Сначала находим C1 ,

C2 , затем интегрированием C1

C2 .

Заметим,

что при всяком фиксированном

x система (1.22)

представляет

y

1,

0.

2

y

2

Его характеристическое уравнение

K2 1 0 имеет корни K

i , и

1,2

где

y1 cos x,

y2

sin x .

Общее:

решение

исходного

неоднородного

уравнения ищем в виде y C1 (x) cos x C2 (x) sin x .

Составляем систему уравнений (1.22) для C1 ,

C2 :

cos xC1 (x) sin xC2

(x) O

(1.23)

5 2

1 2

.

sin xC1(x) cos xC2 (x) sin x

cos x

Решаем систему (1.23) методом Крамера:

cos x

sin x

cos2 x sin2

x 1 0;

sin x

cos x

1

0

sin x

sin x 1,5 cos x 0,5 ;

sin x

2,5

cos x

0,5

cos x

2

cos x

0

sin x 2,5

cos x 0,5 ;

sin x

sin x

2,5

cos x

0,5

получаем: C1 (x)

1

sin x 1,5 cos x 0,5

1

;

sin3 x cos x

C2 (x)

2

sin x 2,5 cos x 0,5

cos x

. Интегрируя, находим

sin5 x

C (x)

dx

1

dx

dtgx

t tgx

1

sin3 x cos x

sin3 x cos x cos2 x

tg3 x

cos4 x

dt

t 1,5dt

t 0,5

D

2

D

2

D

2

ctgx D ;

t 3

0,5

1

t

1

tgx

1

1

C2 (x)

cos x

dx

cos x cos4 x

dx

1

dx

t tgx

sin5

sin5 x

cos2 x

tg5 x cos2

dt

x

x

2

D2

2

D2

2

ctg 3 x D2

t 5

3

t 3

3

tg3 x

3

y C1 y1 C2 y2

2

ctgx D1

2

ctg

3

x D2

cos x

3

sin x

y D cos x D

sin x 4

ctgx cos x ,

(1.24)

1

2

3

где D1 , D2

– произвольные числа.

Теперь требуется найти такие значения D1 , D2 ,

при которых функция

(1.24) удовлетворяла бы начальным условиям: y

1,

0 .

y

Подставляя в (1.24) x ,

2

2

y 1, получаем D 1.

2

2

Находим производную функции (1.24):

y C1 y1 C2 y2 C1 y1 C2 y2 C1 y1 C2 y2 C1 y1 C2 y2

2

2

ctg

3

x D

ctgx D cos x

3

sin x

1

2

2

2

ctg3x D

ctgx D sin x

3

cos x.

1

2

Подставляя

в последнее

выражение

x

и приравнивая

его

к

0,

2

D1 0, D2

1

получаем:

0 D1 0D2 ,

D1 0 .

Подставляя

значения

в

выражение (1.24), получаем решение задачи: y sin x 4

ctgx cos x .

3

решение

y(x)

также

представляется

степенным

рядом

y a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2

... ak (x x0 )k

с неопределенными

y(x0 ) y0(0) ,

y (x0 ) y0(1) ,

y (x0 ) y0(2) ,...,

y (n 1) (x0 ) y0(n 1) , где

y0(0) ,

y (1) , y

(2) ,... – заданные числа, при этом ak

y0(k )

, k 0,1,..., n 1.

0

0

k!

б)

Если уравнение имеет вид,

разрешенный относительно старшей

производной

y

(n)

(n 1)

) ,

то

коэффициенты

ak ,

f (x, y, y ,..., y

k 0,1,..., n 1

для задачи Коши в точке x x0

определяются из начальных

ak

y (k ) (x0 )

1

d k n f

.

k!

k!

dx k n

x x0

Решение. а) Представим функцию e2x

рядом Тейлора

e

2x

1

2x

2x

2

4

x

3

... .

3

Искомое решение y(x) также

зададим

степенным

рядом с

неопределенными коэффициентами ( x0 0 ):

y a

0

a x a

2

x 2 a

3

x3

a

4

x 4

... .

Подставляя e2x

1

и y(x)

в дифференциальное уравнение, получим

a

2a

2

x 3a

3

x 2

... x(a

2 2a

0

a x a 2 x 2

2a

0

a

2

x 2

...)

1

0

1

1

(1 2x

2x

2

4

x

3

...) .

3

a 1, 2a

2

a 2 2 , 3a

3

2a

0

a 2 .

1

0

1

1 , a

4 .

Так как

y(0) 1, то a

0

1. Тогда a

1, a

2

3

1

2

3

Первые четыре члена разложения для y(x)

имеют вид

y 1 x

1

x

2

4

x

3

....

2

3

б) Так как уравнение имеет вид, разрешенный относительно

производной, коэффициенты ak

можно определить дифференцированием

этого

уравнения.

Имеем

y xy 2 e2 x ,

y y 2 2xyy 2e2 x ,

y 4 yy 2xy 2

2xyy 4e2 x .

y

(0) 8 .

Учитывая,

что

Тогда

y(0) 1,

y (0) 1,

y (0) 1,

ak

y (k ) (0)

, получим заданное выше разложение.

k!

Б) Метод малого параметра

Метод можно использовать для построения приближенных решений

уравнения F (x, y,..., y (n) ) 0 ,

при

условии, что уравнение или условия

для

искомой функции y(x)

содержат

(или

позволяют

ввести) малый

параметр .

y(x)

Метод решения. Коэффициенты уравнения, а также искомое решение

представляется в виде разложения в ряд (как правило, степенной) по

малому

параметру

:

y(x) f k

( ) yk (x) ,

1.

Во

многих задачах

f0 ( ) 1, а

y0 (x)

k 0

–

известное

возмущаемое

решение.

Уравнения

для

37

y y0

0 , y1 y1 16 y03 , ... .

(1.25)

y0 a0 sin(x 0 ) ,

(1.26)

a3

a3

y

a sin(x

1

)

0

x cos(x

0

)

0

sin 3(x

0

) ,

1

1

16

192

где ak , k

– произвольные постоянные. Приближенное решение задачи

имеет вид

3

3

y a0 sin(x 0 )

a1 sin(x 1 )

a0