Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

	Пример 2.9. Найти общее решение системы
						y		2 y			y	2	y		3	,
							1		1			2			3
						y2 y1 2 y2							y3 ,							(1.32)
												2 y3 .
						y3 y1 y2						2 y3 .
	Решение. Запишем характеристическое уравнение (1.30)
				2 r	1		1			0 , (r 2)(r 2 4r 3) 0 .
				2 r	1		1
				1	2 r		1
				1	1	2 r
Его корни: r			2 , r		1,	r 3 (переобозначили r											(i) r ).
	1			2		3												i	, 3 ):
Система (1.31) принимает вид (переобозначим 1 , 2																			, 3 ):
						(2		r) 0,
												0,								(1.33)
						(2 r)						0,								(1.33)

						(2 r) 0.

Подставим в (1.33)					значение r r1 2 ,							получим:					,		,	, то
есть	.					Полагаем							1 ,					тогда		1,
Y (1)	e2x (1,1,1)			(e2 x , e2x , e2 x )				(элементы						векторов				Y (i)	располагаем в
строку для удобства записи).
Подставим в (1.33) r r2						1:
		0,						0,				0,
								0,				0,
		0,						0.				.
		0.						0.				.
		0.
														ex (0,1,1)				(0,ex ,ex ) . Наконец
Полагая 1 ,				имеем: 0 ,			1, Y (2)							ex (0,1,1)				(0,ex ,ex ) . Наконец
подставляя в (1.33) r r3						3 , приходим к системе:
		0,						0,						0,
		0,						0,						0,
		0,				0.								.
						0.								.
		0.
		0.

Полагая 1 , имеем:						1,					0 ,				Y (3)		e3x (1,0,1) (e3x ,0, e3x ) .

Подставляя в формулу (1.29) Y (1) , Y (2) , Y (3) , получаем общее решение системы (в векторной форме)

	y
Y		y	1	C Y (1)
Y		y	2	C Y (1)
			2	1

	y3

e2x

C2Y (2) C3Y (3) C1 e2x

e2x

	0			e3x
			C3		0
C2 e x			C3		0
		x			3x
		x			3x
e				e

.

В развернутом виде решение можно записать так:

y C e2 x C			3		e3x ,
	1	1	3
y	2	C e 2 x C		2		e x	,
	2	1		2
y	3	C e2 x C		2		e x	C	3	e3x .
	3	1		2				3
		Пример 2.10. Найти общее решение системы
							y1 4 y1 5y2 , y2 y1, y3						y3 .
		Решение. Характеристическое уравнение
						4 r		5		0		0 , (1 r)(r 2 4r 5) 0 .
						4 r		5		0
						1		r		0
						0			0	1 r
Его корни r1,2			2 i ,					r3 1.
Система (1.31) имеет вид										(4	r) 5 0,
										(4	r) 5 0,
											r 0,
											r 0,
											r) 0.
										(1	r) 0.

Подставляя r r3						1, получаем 0 , – произвольное.
Пусть			1 ,		тогда		Y (3) (0,0,e x ) .	Подставив в (1.34)
получаем
(2 i) 5 ,						(2 i) ,
	(2 i) ,
							0.

	0.


Полагаем 1, тогда 2 i . Имеем
Y~(1)		e(2 i) x (2 i;1;0) (2 i)e(2 i) x ;e(2 i) x ;0 .
Находим				вещественную и мнимую				~(1)
								части вектора Y
e ( i ) x				e x (cos x i sin x) ):
e(2 i) x			e2 x (cos x i sin x) ;
(2 i)e(2 i) x e 2 x (2 cos x sin x) ie 2 x (cos x 2 sin x) .
Следовательно,
Y (1)		Re Y~ (1)			(2e 2 x		cos x e 2x sin x; e2 x cos x;0) ,
Y (2)		Im Y~ (1)			(e2 x cos x 2e 2 x sin x; e 2 x sin x;0) ,
							42

(1.34)

r r1 2 i ,

(учтем, что

Окончательно имеем

2e2x cos x e2x sin x

e2x cos x 2e2x sin x

Y C1

cos x

sin x

y			C (2e2x cos x e2x sin x) C	2	(e2x cos x 2e2x sin x),
	1		1	2
			C1e2x cos x C2 e2x sin x,
y		2	C1e2x cos x C2 e2x sin x,
			C3e x .
y3			C3e x .

0 ,e x

Б) Метод исключения состоит в исключении части неизвестных функций из системы уравнений и сведении этой системы к одному уравнению для одной из неизвестных функций. Например, нормальную систему уравнений

dydti fi (t, y1 , y2 ,..., yn ) , i 1,2,..., n

можно привести к одному уравнению для y1 (t) следующим образом. Продифференцировав уравнение для y1 (n 1) раз по t , получим (с учетом

исходной системы, заменяя производные dydti выражениями fi ) систему

уравнений

d y1 F (t, y1 , y2 ,..., yn ) , i 1,2,..., n . dt

Определив (если это возможно!) из первых (n 1) уравнений y2 ,..., yn как функции переменных t, y1 , y1 ,..., y1(n 1) и подставив их в последнее уравнение ( n) , получим уравнение n -го порядка для y1

d n y1 (t, y1 , y1 ,..., y (n 1) ) . dt n 1

Замечание. Переменные y2 ,..., y2 в некоторых случаях могут

исключаться не из n , а из меньшего числа уравнений, тогда порядок уравнения для определения y1 будет ниже. В общем случае указанный

выше общий прием может быть заменен другими искусственными приемами, быстрее приводящими к цели.

Пример 2.11. Найти общее решение системы уравнений: y y x t , x 4 y 3x 2t .

Решение. Дифференцируя по t первое уравнение с учетом исходной системы, имеем y y x 1 3y 2x 3t 1. Подставляя сюда x из

первого уравнения, получим y 2 y y 5t 1.						Общее решение этого
уравнения y(t) (C	C	2	t)e t 5t 9 ,	где	C , C		2	– произвольные
1					1
постоянные. Тогда x(t) y y t (C2				2C1	2C2t)e t			6t 14 .
Замечание. Уравнение для y(t) можно получить,								выразив x(t) из

первого уравнения и подставив во второе.

Пример 2.12. Найти решение системы уравнений:

x y x 0 , y x 5et .

Решение. Найдем из первого уравнения y x x

и подставим во

второе, получим

x 5et .

Общее

решение

этого

уравнения

x(t) 5et C t 2 C

t C

. Тогда

y x

x 10et 2C

t 2

t C

Интегрируя, находим

y(t) 10et

t 3

t 2 (2C

)t C

Здесь

C1 , C2 , C3 , C4 – произвольные постоянные.

4. Операционное исчисление и его применение при решении дифференциальных уравнений

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике. В этом разделе будут кратко даны основные понятия операционного исчисления и изложены операционные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

4.1. Преобразование Лапласа и его свойства

Пусть f (t) − действительная функция действительного переменного t . Определение. Функция f (t) называется оригиналом, если она

удовлетворяет следующим условиям:

1)f (t) 0 при t 0 ;

2)f (t) − кусочно-непрерывная при t 0 , т. е. она непрерывна или в

любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва 1-го рода;

3) f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют

постоянные и положительные числа M и 0 такие, что	f (t)	M e 0 t
постоянные и положительные числа M и 0 такие, что	f (t)	M e 0 t
для всех t .

Условия 1–3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Определение.	Изображением		оригинала		f (t) называется функция
F( p) комплексного переменного p a ib , определяемая интегралом

		F( p) f (t)e ptdt .			(1.35)
		0			изображением, или L
Функцию F( p) называют также лапласовым
изображением.
Определение. Операцию перехода от оригинала f (t) к изображению
F( p) называют преобразованием Лапласа.
Соответствие	между	оригиналом		f (t)	и изображением F( p)
записывают в виде: F( p)		f (t) ,	f (t)	F( p) , L f (t) F( p) , f (t)

F( p) или f (t) F( p) .

Теорема 4.1. (существование изображения). Для всякого оригинала

f (t) изображение	F( p) существует (определено) в полуплоскости
Re p 0 , причем	функция F( p) является аналитической в этой
полуплоскости.

Теорема 4.2. (о единственности оригинала). Если две непрерывные функции f1(t) и f2 (t) имеют одно и то же изображение F( p) , то эти

функции тождественно равны.

Определение. Оригинал по изображению находится с помощью

обратного преобразования Лапласа по формуле обращения

	1	i
f (t)		e pt F( p)dp,	(1.36)
	2 i
		i

где путь интегрирования – любая прямая Rep , параллельная мнимой оси и лежащая правее прямой Re p 0 .

Свойства преобразования Лапласа

1°. Линейность. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая


же линейная комбинация изображений,				т. е. если f1(t)		F1( p) , f2 (t)


F2 ( p) ,..., fn (t)		Fn ( p) , C1,C2 ,...,Cn –		комплексные	постоянные, то


С1 f1(t) С2 f2 (t)	... Сn fn (t)		С1F1( p) С2F2 (t) ... СnFn (t) .

2°. Подобие. Умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число, т. е. если

	F( p), 0, то		1		p
f (t)		f ( t)		F		.

3°. Смещение. Умножение оригинала на функцию eat ( a − комплексная постоянная) влечет за собой смещение переменной p , т. е. если f (t)

F( p), a const, то eat f (t)		F p a .

4°. Запаздывание. Запаздывание оригинала на положительное число

приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на e p , т. е. если f (t) F( p), 0 , то f (t ) e p F( p).

5°. Дифференцирование оригинала.

Если f (t)

F( p)

и функции

f (t) ,

(n)

(t) являются оригиналами, то

f (t) ,...,

(t)

pF( p) f (0) ,

(t)

F( p) p f (0) f (0),

F( p) p

f (0)

f( )t

p f (0) f

(0),

………………………………. ,

f (n) (t)

pnF( p) pn 1 f (0) ... f (n 1) (0) .

6°. Дифференцирование изображения. Если f (t)

F( p), то

F ( p)

t f (t) ,

f (t) ,

F ( p)

……………,

F(n) ( p)

( 1)n tn f (t) .

F( p) .

7°. Интегрирование оригинала. Если

f (t)

F( p), то

f ( )d

f (t)

8°. Интегрирование изображения. Если

f (t)

F( p)

и функция

f (t)

является оригиналом, то F( p)dp

9°. Умножение изображений. Если

f1(t)

F1( p) ,

f2 (t)

F2 ( p) , то

F1( p) F2 ( p)

f1( ) f2 (t )d .

(1.37)

Определение. Интеграл в правой части формулы (1.37) называется сверткой функций f1(t) и f2 (t) и обозначается символом f1(t) f2 (t) , т. е.

f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d .

Замечание. Свертывание обладает переместительным свойством, т. е.

f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t) .

Таким образом, умножению изображений соответствует свертывание их

оригиналов: F1( p) F2 ( p)			f1(t) f2 (t) .			f1	(t)


Следствие. Если f1	(t) f2 (t)				F1( p) F2 ( p) и			также является
оригиналом, то		t
оригиналом, то



p F1( p) F2 ( p)				(t )d f1(0) f2		(t) .		(1.38)
p F1( p) F2 ( p)		f1( ) f2		(t )d f1(0) f2		(t) .		(1.38)

Определение. Формула (1.38) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

p F1( p) F2 ( p) f2 ( ) f1(t )d f2 (0) f1(t) .

4.2. Таблица некоторых изображений

Приведем краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами и их изображениями.

№

Оригинал

Изображение

№

Оригинал

Изображение

f (t)

F( p)

f (t)

F( p)

sin bt

eat

cosbt

p a

sh bt

t n

ch bt

pn 1

p2 b2

Окончание табл.

№

Оригинал

Изображение

№

Оригинал

Изображение

f (t)

F( p)

f (t)

F( p)

teat

p a 2

1 ap

a e

t neat

1a eat 1

p a n 1

p( p a)

t sin bt

2bp

eat ebt

p2 b2 2

a b

( p a)( p b)

t cosbt

p2 b2

1 at eat

p2 b2 2

p a 2

2bp

t sh bt

p2 b2 2

t a sin at

p2 p2 a2

p2 b2

a12 1 cosat

t ch bt

p2 b2 2

p p2 a2

2a2

sin bt

p a 2

sin

p p2

4a2

p a

p2 2a2

cos bt

p a 2

cos

p p2

4a2

sh bt

e t

e 4

Erf

p a

a p

ch bt

p a 2 b2

Erf

2 t

4.3. Нахождение оригинала по изображению

Общий способ определения оригинала по избражению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения (1.36)).

На практике для нахождения оригинала f (t) по изображению F( p) наиболее широко применяют следующие приемы:

1)Если функция F( p) есть правильная рациональная дробь, то ее

разлагают на сумму простейших дробей и находят оригиналы для каждой простейшей дроби, а затем, пользуясь свойством линейности, находят оригинал.

2)Используют теорему разложения, согласно которой, если изображение F( p) является однозначной функцией и имеет конечное

число особых точек p1, p2 ,..., pn , лежащих в конечной части плоскости, то

(1.39)

f (t) res F ( p)e pt .

k 1 pk

P( p)

В частности, если p , p

,..., p

– простые полюсы функции

F( p)

Q( p)

(правильная рациональная дробь), то формула (1.39) примет вид

f (t)

P( pk )

e pk t .

(1.40)

k 1 Q ( pk )

Пример

2.13.

Найти

оригинал по его

изображению

F( p)

2 p2

6 p 12

( p 1)( p

2)( p 3)

Решение. 1 способ: Разложим дробь на сумму простейших

2 p2 6 p 12

( p 1)( p 2)( p 3)

p 1

p 2

p 3

Затем воспользуемся свойством линейности и формулами из таблицы п. 4.2

e2t

e3t

p 2

p 3

p 1

2 p2 6 p 12

4et 8e2t 6e3t .

( p 1)( p 2)( p

2 способ: Воспользуемся теоремой разложения. Так как корни

знаменателя простые

1, p2

2, p3

3 ,

то

удобно

пользоваться

формулой

(1.40),

которой

P( p) 2 p2 6 p 12 ,

Q( p) ( p 1)( p 2)( p 3) ,

( p

2)( p

3) ( p 1)( p 3)

( p 1)( p 2) .

Q ( p)

Получаем:

2 p2 6 p 12

( p 1)( p 2)( p

3) ( 1) ( 2)

1 ( 1)

2 1

4.4.Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и их систем

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения:

an x(n) (t) an 1x(n 1) (t) ... a1x (t) a0 x(t) f (t) ,		(1.41)
x(0) x0 ,	x (0) x0 , ... , x(n 1) (0) x0(n 1) .	(1.42)
Требуется найти	решение x(t) дифференциального уравнения	(1.41),

которое удовлетворяет начальным условиям (1.42).

Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом предполагает три этапа:

1)Переход от исходных функций x(t), x (t),..., x(n) (t), f (t) к их

изображениям по Лапласу. При этом дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое относительно изображения искомой функции (так называемое операторное уравнение).

2)Решение полученного алгебраического уравнения.

3)Получение искомого решения по его изображению.

Задача Коши	трудности	Решение
Задача Коши		задачи Коши
		задачи Коши

Преобразование Лапласа

Пространство оригиналов

Пространство изображений

Обратное преобразование Лапласа

	Операторное			Решение
	Операторное			операторного
	уравнение			уравнения

	Пример	2.14.	Решить	задачу	Коши:
x	4x cos 2t,	x(0) 1,
x	4x cos 2t,	x(0) 1,	x (0) 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]