Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

п нечет

Данный ряд сходится на отрезке [1;3] равномерно и абсолютно.

71

4. Задачи теплопроводности

4.1. Уравнение теплопроводности

Пусть дан тонкий стержень длиной , расположенный между точками x 0 и x оси Ox (или любое другое материальное тело, продольный размер которого значительно превосходит размеры поперечного сечения, например, жидкость в трубопроводе). Обозначим через S площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной оси Ox . Будем считать S настолько малой, что всем точкам одного сечения можно приписать одну и ту же температуру. Обозначим через u u(x, t) температуру точек стержня

с абсциссой x в момент времени t . Будем считать, что стержень теплоизолирован вдоль боковой поверхности, а внутри стержня нет источников или стоков (поглотителей) тепла.

Рассмотрим элементы стержня между его сечениями с абсциссами x

и x dx (рис. 2.1):

Найдем количество тепла dQ , которое накапливается в элементе за время dt . Согласно закону Фурье, интенсивность q(x,t) теплового потока в сечении x определяется выражением:

q(x,t) k(x) u(x,t) ,

x

где k(x) – коэффициент теплопроводности. Тогда через левое сечение

распространяется из области с большей температурой в область с меньшей

всяком фиксированном значении t . Через правое сечение стержня вовне проходит за время dt количество тепла, равное

dQ2 k(x dx)S u(x xdx, t) dt .

72

4.2. Постановка одномерных начально-краевых задач теплопроводности

Пусть дано уравнение (2.43) относительно функции u u(x, t) в области 0 x , 0 t T . Необходимо также задать начальные и

краевые (граничные) условия.

Начальное условие состоит в том, что в начальный момент времени

3.Происходит теплообмен с окружающей средой известной температуры T* . Согласно закону Ньютона количество тепла,

передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды. Поэтому интенсивность теплового потока q(t) равна: q(t) (u(0, t) T* ) , где −

коэффициент теплообмена. С другой стороны, по закону Фурье

76

Аналогично (2.45) и (2.47) можно задать граничное условие при x . Условие теплообмена на правом конце имеет вид

(2.43) в области , удовлетворяющее начальному условию u(x,0) T0 (x)

и граничным условиям u(0, t) 1(t), u( , t) 2 (t) , где T0 (x), 1(t), 2 (t) − заданные функции.

Если на обоих концах задаются граничные условия 2-го или 3-го рода, то соответствующие задачи будем называть второй или третьей начальнокраевой задачей. Если граничные условия при x 0 и x имеют различные типы, то соответствующие начально-краевые задачи будем называть смешанными.

4.3. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач

Процесс распространения тепла в пространстве может быть охарактеризован температурой u(x, y, z, t) , являющейся функцией x, y, z, t .

Для двумерных тепловых полей (в пластинах, тонких плитах) имеем уравнение ut a2 (uxx uyy ) . Если процесс стационарен, то температура u

не меняется с течением времени, и, следовательно, удовлетворяет уравнению Лапласа:

коэффициент теплопроводности. Уравнения теплопроводности и Лапласа на плоскости в полярных координатах имеют вид

r x 2 y2 , tg xy ). Отметим, что уравнение Лапласа и Пуассона имеют

эллиптический тип.

Первая краевая задача (задача Дирихле) для уравнений Лапласа или Пуассона состоит в нахождении функции u, удовлетворяющей внутри ограниченного тела V этим уравнениям и на замкнутой границе тела

условию: u T* , где T* − заданная функция.

Вторая краевая задача (задача Неймана) состоит в нахождении функции u, удовлетворяющей внутри ограниченного объема V

нормали к .

Третья краевая задача состоит в нахождении функции u, удовлетворяющей внутри V соответствующему уравнению, а на замкнутой границе условию:

k un (u T* ) ,

где k, ,T* − заданные функции; un − производная по нормали .

Смешанная краевая задача возникает в случае, когда на различных участках границы заданы условия разных типов (например, на одной части границы заданы значения искомой функции, а на другой части − производная по нормали).

Замечания. а) В начально-краевой задаче для уравнения теплопроводности для трехмерных или двухмерных областей к перечисленным выше граничным условиям следует добавить начальное условие:

u(x, y, z,0) (x, y, z) или u(x, y,0) (x, y) ,

которое задает распределение температуры в начальный момент времени. Тогда будем иметь первую, вторую, третью или смешанную начальнокраевые задачи для уравнения теплопроводности.

б) Граничное условие первой краевой задачи (условие Дирихле) соответствует заданию температуры T* на границе области; в граничном

условии второй краевой задачи (условии Неймана) задается тепловой поток на границе, при этом k − коэффициент теплопроводности, q −

интенсивность теплового потока; в третьей краевой задаче граничное условие есть условие теплообмена, при этом k − коэффициент

78

теплопроводности, − коэффициент теплообмена, T* − температура

окружающей среды.

в) В нестационарных задачах функции T* , q в общем случае зависят

от пространственных координат и от времени, в стационарных задачах зависимости от времени нет.

г) Для потенциала скорости , удовлетворяющего уравнению Лапласа и описывающего безвихревое движение несжимаемой жидкости, характерными являются первая и вторая краевые задачи, а также задачи с условиями для давления P (см. п. 5.3).

5.Колебания струн, стержней, мембран. Движение жидкостей и газов

5.1. Уравнения поперечных колебаний струны и мембраны

Пусть на отрезке [0; ] оси абсцисс расположена тонкая гибкая

упругая нить (струна), концы которой не имеют перемещений в направлении этой оси. В начальный момент времени струну оттянули от положения равновесия и отпустили с определенной скоростью. Задача состоит в том, чтобы найти положение струны в любой момент времени.

Будем предполагать, что смещения точек струны от положения равновесия малы и лежат в одной плоскости. Предполагая, что внешние силы лежат в этой же плоскости, можно приближенно считать, что точки струны совершают только вертикальные колебания. Математическое выражение понятия гибкости заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, в каждой точке направлены по касательной к ее мгновенному профилю. Это условие выражает собой тот факт, что струна не сопротивляется изгибу.

Рассмотрим элемент струны между точками x и x dx ; длину элемента обозначим ds (рис. 2.2). Обозначим смещение струны через u u(x, t) .

u

ds

u(x,t)

Рис. 2.2. Струна

79

принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебаний не происходит. Тогда в силу закона Гука величина натяжения T в каждой точке не меняется со временем.

Запишем уравнение движения струны. Обозначим через Tx ,Tu

проекции T на оси Ox,Ou , а через − угол между касательной к кривой u u(x, t) и осью Ox . На элемент [x, x dx ] действуют силы натяжения

T1 T (x),T2 T (x dx) (рис.2.3), внешние поперечные силы,

интенсивность которых обозначим через F (x, t) , сила тяжести P и сила инерции.

сравнению с силами натяжения и внешней нагрузкой. Следует иметь в виду, что хотя натяжение вдоль струны в каждой точке по модулю постоянно, оно меняется по направлению.

Так как по предположению струна совершает только вертикальные колебания, и силы инерции и внешние силы направлены вдоль оси Ou, то, проектируя уравнение движения элемента на ось Ox , получим: 0 Tx (x) Tx (x dx) . Однако

80