Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

Дадим классификацию уравнений вида (2.10) в точке. Зафиксируем определенную точку x10 ,..., xn0 в области D и составим квадратичную форму

i, j 1

Уравнение (2.10) принадлежит эллиптическому типу в точке x10 ,..., xn0 ,

если в этой точке квадратичная форма (2.11) положительно определенная или отрицательно определенная.

Уравнение (2.10) принадлежит гиперболическому типу в точкеx10 ,..., xn0 , если в этой точке квадратичная форма (2.11) при приведении

ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент противоположного знака.

Уравнение (2.10) принадлежит ультрагиперболическому типу в точкеx10 ,..., xn0 , если в этой точке квадратичная форма (2.11) при приведении

еек сумме квадратов имеет больше одного положительного коэффициента и больше одного отрицательного, причем все коэффициенты отличны от нуля.

Уравнение (2.10) принадлежит параболическому типу в точкеx10 ,..., xn0 , если в этой точке квадратичная форма (2.11) при приведении

ее к сумме квадратов имеет только один коэффициент, равный нулю, все же другие коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Определение. Уравнение (2.10) принадлежит эллиптическому типу, соответственно гиперболическому типу и т. д. в области D , если во всех точках этой области оно принадлежит эллиптическому типу, соответственно гиперболическому типу и т. д.

Если коэффициенты aij постоянные, то принадлежность уравнения к

тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение

Лапласа, уравнением гиперболического типа является волновое уравнение, уравнением параболического типа – уравнение теплопроводности.

2.2.Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами

61

Положим, что все k отличны от нуля, т. е. что уравнение (2.12) не

параболического типа, и покажем, что в этом случае при помощи преобразования функции u можно освободиться от производных первого порядка. С этой целью вместо u введем новую искомую функцию v по формуле

все k 1. Таким образом, сохраняя прежние обозначения, мы можем

утверждать, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к виду

уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами приводится к виду

преобразование независимых переменных, которое приводит уравнение (2.12) к каноническому виду в этой точке. Для каждой точки x10 ,..., xn0

имеется, вообще говоря, свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду; в других точках это преобразование может не приводить уравнение к каноническому виду.

2.3.Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными

Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка для функции двух переменных u(x, y) имеет вид

63

где коэффициенты a11,a12 ,a22 – функции переменных x и y , имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно, u(x, y) – неизвестная функция. Будем предполагать, что a11,a12 ,a22 не обращаются одновременно в нуль.

получаем новое уравнение, эквивалентное исходному. Естественно поставить вопрос: как выбрать и , чтобы уравнение имело наиболее

простую форму? Преобразуя производные к новым переменным, получаем:

uxy u x y u x y y x u x y u xy u xy .

Подставляя значения производных (2.24) в уравнение (2.23), будем иметь:

функция z (x, y) удовлетворяет уравнению (2.29).

Определение. Уравнение (2.30) называется характеристическим для уравнения (2.23), а кривые, определяемые соотношением (x, y) C , –

характеристиками.

64

Полагая (x, y) , где (x, y) C есть общий интеграл уравнения

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (2.23). Уравнение (2.23) мы будем называть в точке M уравнением:

гиперболического типа, если в точке M

a122 a11a22 0;

эллиптического типа, если в точке M

a122 a11a22 0;

параболического типа, если в точке M

a122 a11a22 0 .

Можно доказать, что при преобразовании переменных тип уравнения не меняется. Заметим также, что в разных точках плоскости уравнение может принадлежать различным типам.

Рассмотрим область плоскости, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Через каждую точку этой области в случае гиперболического типа уравнения проходят две характеристики – действительные и различные, для уравнения эллиптического типа – две комплексные и различные характеристики, для уравнения параболического типа – одна действительная характеристика.

1. Для уравнения гиперболического типа a122 a11a22 0.

65

Функция в общем случае зависит от ux , uy , u, x, y и не зависит от

вторых производных.

Проведенная классификация справедлива и для так называемых квазилинейных уравнений, имеющих вид a11uxx 2a12 uxy a22 uyy F 0 ,

где aij и F зависят от x, y, u, ux , uy . В этом случае форма характеристик

зависит от вида решения и определяется лишь после нахождения этого решения.

Примерами уравнений второго порядка с частными производными (для функций двух переменных), записанных в канонической форме,

являются простейшие уравнения математической физики: utt a2 uxx – волновое уравнение, описывает поперечные колебания струны или продольные колебания стержня (гиперболического типа); ut a2 uxx –

уравнение теплопроводности, описывает процесс распространения тепла в стержне (параболического типа); uxx uyy 0 – уравнение Лапласа,

описывает поля: гидродинамическое, стационарное тепловое, электромагнитное и др. (эллиптического типа); uxx uyy f (x, y) –

уравнение Пуассона, описывает стационарное тепловое поле с учетом

описывает гармонические колебания мембраны, акустические колебания газа и др. (эллиптического типа).

Замечания. а) Знание типа уравнения необходимо для правильной (корректной) постановки задач с точки зрения обеспечения существования и единственности решения и непрерывной зависимости его от начальных и граничных данных. Так, например, для уравнений эллиптического типа

66

граничные условия должны задаваться на замкнутой границе, для уравнений гиперболического типа часть границы должна быть свободной от условий.

Необходимо также отметить, что от типа уравнений зависят и методы его решения.

б) В некоторых случаях приведение к канонической форме позволяет найти общее решение заданного уравнения.

Пример 2.1. Найти область гиперболичности, эллиптичности и

y 0 уравнение имеет гиперболический тип, при y 0 – эллиптический, и при y 0 – параболический.

67

перейти к новым переменным по формулам: y x, 3x . Пересчитаем

решениями являются гармонические функции. Общее решение исходного

3.Некоторые сведения из теории рядов и дифференциальных уравнений

3.1. Тригонометрический ряд Фурье

68

Теорема 2.2. (Дирихле). Если на отрезке [ ; ] функция f (x) имеет

конечное число точек разрыва, причем все они первого рода, и конечное число точек экстремума, то ее ряд Фурье сходится, т. е. имеет сумму S(x)

во всех точках этого интервала. При этом: 1) в точках непрерывности

3.2. Задача Штурма-Лиувилля. Ряды по собственным функциям

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

Задача Штурма-Лиувилля: Требуется найти отличные от нуля (нетривиальные) решения уравнения (2.33), удовлетворяющие краевым условиям (2.34), и соответствующие им значения .

Те значения , при которых существуют нетривиальные решения задачи (2.33)-(2.34), называются собственными значениями этой краевой задачи, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями. Имеют место утверждения:

1) Собственные значения образуют бесконечную возрастающую последовательность:

единственная (с точностью до постоянного множителя) собственная функция yn(x).

69