Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

	2 6			nx		0,	n 18, n 24;
Сn							n 18;
	6	0	(31cos3 x cos 4 x)cos	6	dx 31,
							n 24.
						1,

Подставляя полученные значения, находим решение задачи (2.90)-(2.92) u(x,t) 31cos3 x e 18 2t cos4 x e 32 2t .

Указание к задаче 3.

Решить начально-краевую задачу (теплопроводности)

ut 7uxx ;		(2.95)
u(x,0) 3sin 3 x;		(2.96)
u(0,t) 0;	ux (0,5;t) 0.	(2.97)

Из условий (2.97) следует, что на левом конце стержня задана нулевая температура, а правый конец теплоизолирован.

Решение.

Аналогично задаче 1 ищем частное решение уравнения (2.95) в виде u(x,t) X (x) T (t) . Получим систему:

X (x) X (x) 0 ,		(2.98)

		(2.99)
T (t) 7 T (t) 0.		(2.99)
Граничные условия дают X (0) X	(0,5) 0.

Таким образом, требуется найти ненулевые решения уравнения (2.98),

удовлетворяющие

условиям

X (0) X (0,5) 0.

Характеристическое

уравнение имеет вид k 2 0 . Рассмотрим три случая:

0. Общее решение уравнения

(2.98) имеет вид

X (x) Ax B , где

A, B const . Удовлетворяя условиям

X (0) X (0,5) 0,

получим

A B 0 .

Следовательно, получили тривиальное решение X (x) 0 .

Общее

решение

уравнения

(2.98)

имеет

вид

X (x) D e x

e x

, D , D

const .

Удовлетворяя

условиям

0, получаем D1

0 ,

D2 0 , X (x) 0

– опять тривиальное

X (0) X (0,5)

решение.

Общее

решение

уравнения

(2.98)

имеет

вид

X (x) D3 cos

x D4 sin

x ,

D3 ,

D4 const .

Удовлетворяя

условиям

получаем

D3 0 ,

cos 0,5 0 .

Отсюда

X (0) X

(0,5)

0,5

или

2n 1 2 2 ,

где

n –

произвольное

натуральное

X (x) D4 sin 2n 1 x –

число. Значит,

это

решение уравнения

(2.98),

удовлетворяющее условиям X (0) X (0,5) 0.

111

Общее решение уравнения (2.99) при 0 имеет вид T (t) Me 7 t .

Тогда u(x,t) Ce 7 t sin x , C M D4 – произвольная постоянная.

Тогда решение уравнения (2.95), удовлетворяющее граничным условиям (2.97), можно представить в виде

u(x,t) Cn sin 2n 1 x e 7 2n 1 2 2t .

n 1

Для нахождения коэффициентов Cn воспользуемся начальным условием (2.96).


	u(x,0) Cn sin 2n 1 x 3sin 3 x .
	n 1
Найдем коэффициенты Cn :
0,	n 1;
Сn	n 1.
3,	n 1.
Подставляя полученные значения, находим решение задачи
	u(x,t) 3sin 3 x e 63 2t .

Указание к задаче 4.

Решить задачу теплопроводности с неоднородными граничными условиями

ut 5uxx ;	(2.100)
u(x,0) 7sin 3 x 4 5x;	(2.101)
u(0,t) 4;	(2.102)
u(1,t) 9.	(2.103)

Решение.

Задача теплопроводности с неоднородными граничными условиями вида u(0,t) A(t), u(l,t) B(t)

сводится к задаче с однородными граничными условиями для функции

v(x,t) u(x,t) w(x,t) , где w(x,t) A(t) B(t) A(t) x . l

Задача (2.100)-(2.103) является задачей с неоднородными граничными условиями. Решение задачи будем искать в виде u(x,t) v(x,t) 4 5x .

Тогда задача (2.100)-(2.103) сводится к задаче с однородными граничными условиями для функции v(x,t) :

vt 5vxx ;	(2.104)
v(x,0) 7sin 3 x;	(2.105)
v(0,t) 0;	(2.106)
v(1,t) 0.	(2.107)

112

Согласно методу разделения переменных ищем частное решение уравнения (2.104) в виде v(x,t) X (x) T (t) . Получим систему:

	X				,			(2.108)
	X	(x) X (x) 0			,			(2.108)
				0.				(2.109)
	T (t) 5 T (t)			0.				(2.109)
Граничные условия дают X (0) X (1) 0.
Решение уравнения (2.108), удовлетворяющее условиям							X (0) X (1) 0 ,
имеет вид	X (x) C sin nx , при		этом	n 2		( n	–	произвольное
натуральное число).						n 2
Общее	решение уравнения		(2.109)		при	n 2		имеет вид

T (t) Me 5 n 2 t .

Решение уравнения (2.104), удовлетворяющее граничным условиям

(2.106), (2.107), представим в виде

v(x,t) Cn sin nx e 5 n 2 t .

n 1

Для нахождения коэффициентов Cn воспользуемся начальным условием (2.105)

v(x,0) Cn sin nx 7sin 3 x .

n 1

0, n 3;

Находим коэффициенты Сn

7, n 3.

Подставляя полученные значения Cn , находим v(x, t) 7 sin 3 x e 45 2t . Тогда решение задачи (2.100)-(2.103) имеет вид

u(x, t) 7 sin 3 x e 45 2t 4 5x .

Указание к задаче 5.

Решить задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с

нулевыми	начальными				и	граничными	условиями
u(x,0) 0;	u(0,t) 0,	u( ,t) 0.
	ut		1	uxx 2 cos t sin 4x.			(2.110)
	ut			uxx 2 cos t sin 4x.			(2.110)
		16

Решение.

Решение уравнения (2.110) будем искать в виде

u(x,t) X n (x) un (t) ,

n 1

где X n (x) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.

113

В данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля

примут вид

X (0) X (l) 0 ,

поэтому X n (x) sin

nx , n

. Так как

l , то X n (x) sin nx , u(x,t) sin nx un (t) .

n 1

Подставим в уравнение (2.110):

un (t) sin nx

n2un (t) sin nx 2 cos t sin 4x ,

n 1

16 n 1

или un (t)

n un (t) sin nx u4 (t) u4 (t) 2 cost sin 4x 0.

n 1

n 4

получаем:

В силу линейной независимости системы sin nx n 1

1)un n2 un 0 , un (0) 0 , n 4 . 16

2)u4 u4 2 cos t , u4 (0) 0 .

		n	2			n2
		n		un (t) An e		16 t
1) Общее решение	уравнения un	16 un 0 имеет вид		un (t) An e			.
Удовлетворяя начальному условию			un (0) 0 , получим		тривиальное
решение un (t) 0,	n 4 .
2) Решение уравнения u4 u4 2 cos t			будем искать в виде		u4 u40 u4* ,

где общее решение однородного уравнения имеет вид u40 Ce t , частное решение – u4* Acos t B sin t .

Подставим u4*	в уравнение: A sin t B cost Acost B sin t 2 cost
A B 0	u4* cos t sin t .	Тогда		u4	cos t sin t Сe t .
	u4* cos t sin t .	Тогда		u4	cos t sin t Сe t .
A B 2
Подставляя в начальное условие, получаем u4			cos t sin t e t .
Таким образом, решение задачи имеет вид			sin 4x .
	u(x,t) cos t sin t e t		sin 4x .
Указание к задаче 6.
Решить начально-краевую задачу
	ut 1 uxx 10sin 3t sin 4x;				(2.111)
	4
	u(x,0) 31sin 8x;				(2.112)
	u(0,t) u( ,t) 0.				(2.113)

114

Решение.

Общее решение уравнения (2.111) будем искать в виде

u(x,t) X n (x) un (t) ,

X n (x)

n 1

где

– собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. В данном

случае

граничные

условия для задачи Штурма-Лиувилля

примут

вид

X (0) X (l) 0,

поэтому

X n (x) sin

nx ,

n . Так как

l ,

то

X n (x) sin nx ,

u(x,t) sin nx un (t) .

n 1

Подставим в уравнение (2.111):

un (t) sin nx

1 n2un (t) sin nx 10sin 3t sin 4x ,

n 1

4 n 1

или

un (t)

n un (t) sin nx u4 (t) 4u4 (t) 10sin 3t sin 4x 0.

n 1

n 4

В силу линейной независимости системы sin nx n 1 получаем:

1) un n

n 8,

0 , un (0)

n 8.

31,

2) u4 4u4

10 sin 3t , u4 (0) 0 .

Найдем решения задач Коши.

0 ,

un (0) 0, n 8 .

Общее

решение

уравнения

имеет

вид

(t) A e 4 t .

Удовлетворяя

начальному

условию

un (0) 0 ,

получим

тривиальное

решение

un (t) 0,

n 8.

Для n 8 получим

u8 16u8

0 , u8 (0) 31.

Общее решение данного уравнения имеет вид u8 Ce 16t .

Подставляя в

начальное условие u8 (0) 31, получаем С 31, u8

31e 16t .

2) u4 4u4

10 sin 3t , u4 (0) 0 .

Решение данного уравнения будем искать в виде u4 u40 u4* ,

где общее

решение однородного уравнения имеет вид u40 Ce 4t , частное решение – u4* Acos 3t B sin 3t .

115

Подставим u4* в уравнение: A 3sint 3Bcost 4(Acost Bsint) 10sin3t

3A 4B 10 u* 6 cos3t 8 sin 3t .

3B 4A 0 4 5 5

Тогда u4		6 cos3t	8 sin 3t Сe 4t . Подставляя в начальное условие,
		5	5

получаем u4 65 cos3t 85 sin 3t 65 e 4t .

Таким образом, решение задачи (2.111)-(2.113) имеет вид

	6	cos3t	8	sin 3t		6	e	4t	16t	sin 8x .
u(x,t)	5	cos3t	5	sin 3t		5	e	sin 4x 31e		sin 8x .
	5		5			5
Указание к задаче 7.
Решить начально-краевую задачу
		ut		1	uxx 10sin 3t sin 6x;					(2.114)
		ut		36	uxx 10sin 3t sin 6x;					(2.114)
				36
		u(x,0) 31sin 24x x;								(2.115)
		u(0,t) ;								(2.116)
		u( ,t) 2 .								(2.117)

Решение.

Задача (2.114)-(2.117) является начально-краевой задачей с неоднородными граничными условиями. Решение задачи будем искать в виде u(x,t) v(x,t) x .

Тогда задача (2.114)-(2.117) сводится к задаче с однородными граничными условиями для функции v(x,t) :

vt	1	vxx 10sin 3t sin 6x;	(2.118)

36
v(x,0) 31sin 24x;			(2.119)
v(0,t) 0;			(2.120)
v( ,t) 0.			(2.121)

Получили задачу, аналогичную рассмотренной в примере 6. Общее решение уравнения (2.118) будем искать в виде

v(x,t) X n (x) vn (t) ,

n 1

где X n (x) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. В данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут вид

116

X (0) X (l) 0 , поэтому	X n (x) sin	nx	,	n	n	. Так как	l , то
		l			l

X n (x) sin nx , v(x,t) sin nx vn (t) .

n 1

Подставим в уравнение (2.118):

vn (t) sin nx 10sin 3t sin 6x ,

vn (t) sin nx

n 1

36 n 1

или vn (t)

n vn (t) sin nx v6 (t) v6 (t) 10sin

n 1

n 6

В силу линейной независимости системы sin nx n 1

vn n

vn 0 ,

vn (0)

n 24,

n 24.

31,

2) v6 v6

10 sin 3t ,

v6 (0) 0 .

Найдем решения задач Коши.

3t sin 6x 0.

получаем:

0 , vn (0) 0,

n 24 .

1) vn

36 vn

Общее

решение

уравнения

имеет

вид

(t) A e 36 t .

Удовлетворяя

начальному

условию

vn (0) 0 ,

получим

тривиальное решение

vn (t) 0,

n 24 .

Для n 24 получим

0 , v24 (0) 31.

v24 16v24

Решение

данного

уравнения

имеет

вид

v24

Ce 16t .

Подставляя в

начальное условие v24 (0) 31 ,

получаем С 31, v24 31e 16t .

2)v6 v6 10 sin 3t , v6 (0) 0 .

Решение данного уравнения будем искать в виде v6 v60 v6* , где общее решение однородного уравнения имеет вид v60 Ce t , частное решение –

v6* Acos 3t B sin 3t .
Подставим v6* в уравнение:
A 3sint 3Bcost (Acost Bsint) 10sin3t		v6* 3cos 3t sin 3t .

Тогда v6 3cos 3t sin 3t Сe t . Подставляя в начальное условие,

получаем v6 3cos 3t sin 3t 3e t .

117

Тогда решение задачи (2.118)-(2.121) имеет вид

v(x,t) 3cos 3t sin 3t 3e t sin 6x 31e 16t sin 24x .

Таким образом, получаем решение исходной задачи (2.114)-(2.117):
u(x,t) 3cos 3t sin 3t 3e t sin 6x 31e 16t sin 24x x .
Указание к задаче 8.
Найти решение уравнения Лапласа u 0 в круговом секторе	0 r 1,
0 ( r, – полярные координаты, 2 ), на границе	которого
искомая функция u(r, ) удовлетворяет следующим условиям:
u(1, ) 31cos3 ;	(2.122)
u (r,0) 0;	(2.123)
u(r,3 / 2) 0.	(2.124)

Физическая интерпретация задачи: требуется найти стационарное распределение температуры в секторе 0 3 / 2 , 0 r 1, при условии,

что на части границы сектора ( r 1; 3 / 2 ) задан закон распределения температуры, а на другой части ( 0 ) – условие теплоизоляции.

Решение.

Уравнения Лапласа в полярных координатах имеет вид

u u	rr	1 u	r	1	u	0 .	(2.125)

		r		r2

Согласно методу разделения переменных частное решение уравнения (2.125) ищем в виде u(r, ) R(r) ( ) . Подставляя в (2.125),

получим	1		1
	1		1	R 0 .
R		R
R	r	R	r2
	r		r2
Разделим переменные в этом соотношении:					r 2 R rR .
					R

Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных ( r и ), значит, каждая из этих функций есть константа:

r 2 R rR const.

Получаем систему из двух уравнений:

			(2.126)
( ) ( ) 0,			(2.126)
r2 R rR R 0.			(2.127)
		3
	( 2 ) 0.
Граничные условия дают (0)	( 2 ) 0.

Уравнение (2.126) есть линейное однородное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение k 2 0 . Рассмотрим три случая:

118

1) 0. Общее решение уравнения (2.126) имеет вид ( ) A B , где

A, B const . Удовлетворяя условиям (0) ( 2 ) 0 , получим A B 0 .

Следовательно, получили тривиальное решение ( ) 0 .

Общее

решение

уравнения

(2.126)

имеет

вид

( ) С e

C , C

const .

Удовлетворяя

условиям

)

0 , получаем С1

0 , C2

0 ,

( ) 0

– опять тривиальное

(0) (

решение.

Общее

решение

уравнения

(2.126)

имеет

вид

( ) С3 cos

С4 sin

C3 , C4

const .

Удовлетворяя

условиям

)

0 ,

получаем

С4 0 ,

C3 cos

0 .

Отсюда

(0) (

2n 1

где

–

произвольное

натуральное

число. Значит,

( ) C3 cos

– это решение уравнения (2.126), удовлетворяющее

условиям

2 ) 0 .

(0) (

Уравнение (2.127) есть линейное однородное уравнение 2-го порядка.

Это уравнение Эйлера. Его решают с помощью подстановки ln r :

dr d

;

d dR

r 2

dr dr

dr r

Подставляя в уравнение (2.127), получаем линейное однородное

уравнение с постоянными коэффициентами:

R ( ) R( ) 0.

(2.128)

При

2n 1

общее

решение

уравнения

(2.128)

имеет

вид

2n 1

R( ) C

В силу

ограниченности

решения

центре

(при

r 0 )

второе

слагаемое

следует

отбросить.

Следовательно, R(r) C

2n 1

3 .

u(r, )

может быть

В силу линейности уравнения (2.125)

функция

2n 1

r 3 .

задана в виде u(r, ) An cos

n 1

119

Для	нахождения коэффициентов		An воспользуемся			граничным
условием		2n 1		31cos3 .	Отсюда	получаем:
условием	(2.122): u(1, ) An cos	3		31cos3 .	Отсюда	получаем:
	n 1	3
31,	n 5;
An	n 5.
0,	n 5.

Таким образом, решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условиям (2.122) – (2.124) имеет вид

u(r, ) 31cos 3 r 3 .

Указание к задаче 9.

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа u 0 в круге 0 r 1,

0 2	( r,	– полярные координаты), на границе которого искомая
функция u(r, )		имеет следующие значения:
		u(1, ) 31cos8 32sin 9 .	(2.129)

Физическая интерпретация задачи: требуется найти стационарное распределение температуры в круге, при условии, что на границе ( r 1) задан закон распределения температуры.

Решение.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге описывается дифференциальным уравнением:

u u	rr	1 u	r	1	u	0 ,	(2.130)

		r		r2

и граничным условием (2.129).

Согласно методу Фурье разделения переменных частное решение уравнения (2.130) ищем в виде u(r, ) R(r) ( ) .

Получаем систему из двух уравнений:

										(2.131)
				( ) ( ) 0,						(2.131)
				r2 R rR R 0.						(2.132)
	Уравнение (2.131) есть линейное однородное уравнение второго
порядка. Его характеристическое уравнение k 2 0 .
Рассмотрим три случая:
1)	0. Общее решение уравнения (2.131) имеет вид ( ) A B , где
A, B const .
2)	0.	Общее		решение			уравнения	(2.131)	имеет	вид
( ) С e С			e , C , C		2	const .
	1	2		1	2
3)	0.	Общее		решение			уравнения	(2.131)	имеет	вид
( ) С3 cos		С4 sin		,		C3 , C4 const .
							120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]