Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

проходящую через точку M 0 (x0 , y0 ) с

заданным

углом

наклона

касательной ( tg y1 ).

Определение. Общим решением д.

у. (1.7) называется функция

y (x, C1 , C2 ,..., Cn ) , удовлетворяющая

условиям:

1)

при

любых

Пример 2.1. Показать, что функция y C C e x

является общим

решением уравнения y y 0.

1

2

Решение. Находим производные: y C e x ,

y C e x y , т. е.

2

2

y обращает д. у.

y y 0 в тождество по x при любых значениях C1 и

C2 . Далее,

пусть

даны

произвольно

начальные

условия

y(x0 ) y0 ,

y (x0 ) y1 .

Покажем,

что постоянные C1

и C2

можно

Имеем: y C

C e x

, y

C e x .

Полагая

x x

0

,

получаем

систему

1

2

2

C C e x0

y

0

,

C e x0

y , из

которой

однозначно

определяются

1

2

2

1

C

y ex0

и

C y

0

y

.

Таким образом, решение

y y

0

y

y ex0 x

2

1

1

1

1

1

xy y

x 2

( y )2

(x 0) .

Решение.

y и ее производной y .

Введем

Уравнение не содержит функции

новую неизвестную функцию p(x) y (x) . Уравнение примет вид

2

2

p

p

2

xp p

x

p

,

p

1

.

(1.9)

x

x

Это однородное уравнение. Введем новую функцию u(x) p(x) / x :

xu u u 1 u2 ,

x du

1 u2 .

Разделяем переменные и интегрируем

dx

du

dx

1

u2

ln

xC

u

1 u2

Cx, 2Cxu C2 x2

1.

, ln

u

,

1 u2

x

p(x) C x2

1

то 2Cp C2 x2

1,

Так как u p / x ,

.

2

2C

p y ,

Мы получили общее решение уравнения (1.9). Учитывая, что

имеем

y

C x2

1

. Отсюда

двукратным

интегрированием находим

2C

y(x) :

2

y C x3

1

x C ,

y

C

x4

1

x2 C x

C .

6

2C

1

24

4C

1

2

Признак 2. Уравнение не содержит независимого переменного x .

Метод решения: замена

y p( y) . При этом p рассматривается как

новая

неизвестная

функция

от

y :

p p( y) .

Тогда

y dy

dp

dp

dy p p,

dx

dx

dy

dx

dy

d( p p)

dp

dp

dp

dy

dp

dy

p p2 ( p )2 p.

y dx

dx

p

p dx

dy

dx p p dy

dx

dx

yy ( y )2 y2 y ,

y(0) 0,5,

y (0) 0,25.

Пусть имеем систему из n функций

y1 (x),

y2 (x),

..., yn (x) ,

определенных на интервале (a,b) .

Определение. Функции y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) называются линейно

зависимыми на (a,b) , если существуют числа C1 ,

C2 ,

...,

Cn , не все

равные

0,

такие,

что

для

всех

x (a,b)

справедливо

тождество

C1 y1 (x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x) 0.

Если же

это

тождество

выполняется

только

при

C1 C2 ... Cn 0 ,

то

функции

y1 (x),

y2 (x),

..., yn (x)

называются линейно независимыми на (a,b) .

Пример 2.2. Доказать, что функции 1,

cos2 x,

sin2 x образуют линейно

зависимую систему на интервале ( ; ) .

Решение.

Действительно,

равенство

C 1 C cos2 x C sin2 x 0

1

2

3

выполняется

для

всех

x ( ; )

при

C1 1,

C2 C3 1.

Значит,

функции линейно зависимые.

Пример 2.3. Доказать, что система функций 1,

x,

x2

линейно

независимая на интервале ( ; ) .

Решение.

Равенство

C 1 C x C x2 0

должно

выполняться

1

2

3

Равенство примет вид C x C x2

0 . Дифференцируя обе части равенства,

2

3

x 0 , находим

получаем C2 2C3 x 0 ,

откуда,

полагая

C2 0,

тогда

C3 0 . Так как все значения

C1 , C2 ,

C3

равны 0, то система функций

линейно независимая.

Определение.

Пусть

n

функций y1 (x), , y2 (x), ...,

yn (x)

имеют

производные (n 1) -го порядка. Определитель

y1(x)

y2 (x) ...

yn (x)

W (x)

y1(x)

y2 (x) ...

yn (x)

(1.12)

...

...

...

...

y(n 1)

(x)

y(n 1) (x) ...

y(n 1) (x)

1

2

n

Теорема

2.3.

Если

определитель Вронского

системы

функций

y1 (x), y2 (x),

..., yn (x) отличен от 0 в любой точке интервала (a,b) , то

функции образуют линейно независимую систему на этом интервале.

Пример

2.4. Доказать, что функции ex ,

e2 x

образуют

линейно

независимую систему на интервале ( ; ) .

Решение. Находим вронскиан системы функций y1 e x , y2

e2 x :

W(x)

ex

e2 x

ex

e2 x

2e3x e3x e3x .

Так

как W(x) 0 , то

(ex )

(e2 x )

ex

2e2 x

однородного д. у.

n -го порядка (1.11) называется система функций

y1 (x), y2 (x), ...,

yn (x) , удовлетворяющая условиям: 1) каждая функция

произвольные

константы, а

функции y1(x), y2 (x), ..., yn (x) образуют

фундаментальную систему решений д. у. (1.11).

Определение. Линейным неоднородным д. у. n -го порядка

называется уравнение

p (x) y(n) p

(x) y(n 1)

p

(x) y(n 2) ... p (x) y f (x) . (1.13)

n

n 1

n 2

1

a

n

y(n) a

n 1

y(n 1) ... a y a

0

y f ( x) ,

(1.14)

1

где a0 , a1 , ..., an

– постоянные ( an 0 ).

Метод решения. Общее решение уравнения (1.14) складывается из

общего решения y0.0. однородного уравнения

a

n

y(n) a

n 1

y(n 1)

... a y a

0

y 0

(1.15)

1

какова его кратность. Каждому из корней K1 ,

K2 , ..., Kn соответствуют в

выражении для y0.0. свои слагаемые. Именно:

а)

если

корень

K1 K2 ... Km –

действительный корень

кратности m,

то ему соответствуют в выражении для y0.0. m слагаемых

C e x C e x x ... C e x xm 1

, где C ,i 1,...m – произвольные постоянные.

1

2

m

i

Например, если корень имеет кратность m 1,

то ему соответствует одно

слагаемое C e x ; если m 2

– два слагаемых: C e x C e x x ;

1

1

2

б)

если

K1 i

и

K2 i – пара комплексно-сопряженных

Например, если K1,2

i – корни кратности 1, то им в выражении для

y0.0.

соответствуют слагаемые C1e x cos x C2e x sin x ; если эти корни

имеют

кратность

2, то

в выражении для y0.0. войдут слагаемые

C e

x cos x C

2

xe x cos x C

3

e x sin x C

4

xe x sin x .

1

Б)

Частное решение

y ч.н.

неоднородного уравнения (1.14) находим

f (x) e x Ps (x) cos x Qm (x) sin x ,

(1.16)

где Ps (x) и Qm (x) – многочлены степени s и m соответственно;

, –

y ч.н. x

k

e

x

~

~

(1.17)

P (x) cos x Q (x) sin x ,

где

max s,m ;

~

~

–

многочлены степени

с

P (x);

Q (x)

неопределенными коэффициентами;

k

есть кратность числа ( i )

как

Частные случаи. Если

f (x) Ps (x)

– многочлен степени s (тогда в

(1.16) 0),

то y ч.н. x

k ~

~

Ps (x) , где

Ps (x) – многочлен степени s с

неопределенными

коэффициентами; k

– кратность нулевого корня

уравнения).

Например,

если

K 0

не

является

корнем

характеристического

уравнения,

то

~

(x) ;

если

K 0

–

корень

y ч.н. Ps

кратности 1,

то

~

если

K 0

– корень

кратности

2,

то

y ч.н. xPs (x) ;

y ч.н. x

2

~

y ч.н. x

3

~

и т. д.

Ps (x) ; если K 0 – корень кратности 3, то

Ps (x)

Если f (x) e x P (x)

(в (1.16) 0 ), где P (x) многочлен степени s,

s

x ~

s

– некоторое число, то

y ч.н. = x

e

~

Ps (x) , где

Ps (x) – многочлен степени

s с неопределенными коэффициентами;

k – кратность числа как корня

характеристического

уравнения. Например, если

число

не

является

корнем,

то

y ч.н.

= e

x

~

если

–

корень

кратности

1,

то

Ps (x) ;

y ч.н.

xe

x ~

– корень кратности 2, то

y ч.н. x

2

e

x ~

Ps (x) ; если

Ps (x) , и т. д.

Все

рассуждения

справедливы

для

случая

s 0 ,

когда

Ps (x) a const,

~

~

const .

Ps

(x) a

27

y(4) 5y(3) 6y(2) x2 .

Решение.

или K 2 K 2

5K 6 0 .

Имеем K4 5K3

6K2

0

Корни:

K1 0

(кратности 2), K2

2

и

K3 3(простые).

Получаем

y

0.0.

C

C x C e2 x C e3x .

Так

как

i 0 является корнем

1

2

3

4

то y ч.н. x2 Ax2

Bx C .

кратности 2 характеристического уравнения,

Далее решение строится аналогично предыдущей задаче.

Находим: y ч.н = Ax 4 Bx 3

Cx 2 ,

y ч.н= 4 Ax 3 3Bx 2 2Cx,

y ч.н=12Ax2 6Bx 2C,

y ч.н= 24Ax 6B,

y (4) ч.н= 24A. Подставляем

x 2

72 A 1,

72 A 1

x

120A 36B

10A 3B 0 .

0,

1

24 A 30B 12C 0

4 A 5B 2C 0

Решая систему, находим:

A

1

,

B

5

,

C

19

,

108

1

5

19

72

216

y ч.н.=

x4

x3

x2 .

108

72

216

Общее решение уравнения есть

1

5

19

y C C

2

x C

e2x C

4

e3x

x4

x3

x2 .

1

3

72

108

216

Характеристическое уравнение

K2 3K 2 0 имеет простые корни

K 1

и K

2

2 . Значит,

y

0.0.

C ex

C e2 x . Переходим к отысканию

y ч.н..

1

1

2

Правая часть уравнения имеет вид

f (x) xex . Здесь 1,

0,

s 1.

Число

i 1 является

корнем кратности 1 характеристического

уравнения, значит k =1,

y ч.н. Ax B xex .

30