Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Н. А. Лозовая Л. В. Шатохина

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов бакалавриата по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины

и оборудование», 23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы», 35.03.02 «Технология лесозаготовительных

и деревоперерабатывающих производств» всех форм обучения

Красноярск 2022

УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.1я73 Л724

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, профессор Л. В. ШКЕРИНА

(Красноярский государственный педагогический университет имени В. П. Астафьева);

кандидат физико-математических наук А. Г. ЛИХАРЕВ (Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева)

Лозовая, Н. А.

Л724 Дифференциальное исчисление : учеб. пособие / Н. А. Лозовая, Л. В. Шатохина ; СибГУ им. М. Ф. Решетнева. – Красноярск, 2022. – 122 с.

Предназначено для организации самостоятельной работы студентов. Содержит основные понятия и методы дифференциального исчисления функции одной и нескольких переменных. Демонстрирует приложения дифференциального исчисления при решении прикладных задач.

Ориентировано на студентов бакалавриата по направлению подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы», 35.03.02 «Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств» всех форм обучения.

УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.1я73

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..........................................................................................	5
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.............................................................................	6
1. Производная функции одной переменной.......................................	6
1.1. Определение производной.............................. ................................	6
1.2. Вычисление производной ...............................................................	10
1.3. Свойства дифференцируемых функций одной переменной ......	24
1.4. Производные высших порядков.....................................................	30
Задачи для самостоятельного решения.................................................	33
Контрольные вопросы и задания...........................................................	35
2. Дифференциал функции одной переменной ...................................	35
2.1. Понятие дифференциала функции.................................................	35
2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Линеаризация функций ..................................................................	39
2.3. Полные дифференциалы высших порядков функции
одной переменной............................................................................	40
Задачи для самостоятельного решения …............................................	41
Контрольные вопросы и задания ..........................................................	41
3. Применение дифференциального исчисления функции
одной переменной .................................................................................	42
3.1. Уравнение касательной и нормали к кривой ...............................	42
3.2. Правила Лопиталя ..........................................................................	43
3.3. Применение производных к исследованию функции
одной переменной ...........................................................................	46
3.4. Механические приложения производной......................................	57
Задачи для самостоятельного решения.................................................	60
Контрольные вопросы и задания...........................................................	61
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ .............................................................	62
4. Функция нескольких переменных ....................................................	62
4.1. Определение функции нескольких переменных .........................	62
4.2. Линии и поверхности уровня .........................................................	64
4.3. Предел и непрерывность функции двух переменных..................	66
Задачи для самостоятельного решения.................................................	70
Контрольные вопросы и задания...........................................................	71
5. Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных .....................................................................	71
5.1. Частные производные первого и второго порядков
функции двух переменных ............................................................	71

5.2. Полный дифференциал функции двух переменных ...................	76
Задачи для самостоятельного решения.................................................	77
Контрольные вопросы и задания ..........................................................	78
6. Приложения производных и дифференциалов функции
двух переменных ..................................................................................	78
6.1. Линеаризация. Уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности...................................................................	78
6.2. Производная по направлению и градиент.....................................	82
Задачи для самостоятельного решения.................................................	87
Контрольные вопросы и задания...........................................................	88
7. Поиск наибольших и наименьших значений функции
нескольких переменных......................................................................	89
7.1. Экстремум функции двух переменных..........................................	89
7.2. Условный экстремум.......................................................................	93
7.3. Метод наименьших квадратов........................................................	99
Задачи для самостоятельного решения.................................................	103
Контрольные вопросы и задания...........................................................	104
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ..................................................................................................	105
ПОСЛЕСЛОВИЕ ..........................................................................................	110
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .....................................................	111
ПРИЛОЖЕНИЯ ............................................................................................	112

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика является универсальным языком науки и техники, овладение которым на современном этапе обеспечивает качественную подготовку и эффективную профессиональную деятельность. Математика – это средство моделирования реальных процессов и явлений. Она позволяет развить у человека способность к овладению новой информацией и новыми технологиями, а математический инструментарий необходим при решении ряда задач профессиональной деятельности.

Дифференциальное исчисление относится к одному из центральных разделов математики – математическому анализу. Представленный в учебном пособии материал, в соответствии с программой, охватывает два ее раздела: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

и«Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», изучаемые студентами бакалавриата по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 23.03.02 «Наземные транс- портно-технологические комплексы», 35.03.02 «Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств» в процессе освоения дисциплины «Математика».

Авторы пособия выделяют дифференциальное исчисление, так как оно необходимо для решения множества математических и прикладных задач, его аппарат используется при составлении математических моделей технических и технологических процессов, что актуально для перечисленных направлений подготовки. Дифференциальное исчисление создает основу, без которой невозможно как дальнейшее изучение математики, так

идисциплин естественно-научной и профессиональной направленности, таких как физика, теоретическая механика, сопротивление материалов, электротехника и электроника, детали машин и основы конструирования, моделирование и оптимизация процессов и др.

Именно дифференциальное исчисление позволяет понять и усвоить обратную операцию к дифференцированию – интегрирование и закладывает фундамент к изучению интегрального исчисления. Как всякая обратная операция – операция интегрирования сложнее дифференцирования, но без дифференциального исчисления нет и интегрального исчисления.

Пособие ориентировано на самостоятельную работу обучающихся, содержит необходимый теоретический материал и подробные примеры. Предложенные задачи для самостоятельного решения и контрольные вопросы являются средством самоподготовки и самоконтроля студентов. Представленный учебный материал направлен на формирование у будущих бакалавров способности к самоорганизации и самообразованию, способности решать типовые задачи профессиональной деятельности на основе знаний основных законов математических и естественных наук.

Глава 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Определение производной

Одно из важнейших понятий математики – производная. Остановимся на некоторых задачах, приводящих к понятию производной.

Задача о скорости. Рассмотрим движение материальной точки (некоторого тела) М по прямой. Ее положение определяется расстоянием S, которое отсчитывается от некоторой «начальной» точки М. Каждому значению времени соответствует расстояние OM = S до некоторой фиксированной точки. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t) , где S – функция времени t. Это уравнение называется зако-

ном движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М,

то в момент времени t +	t ( t – приращение времени) точка окажется
в положении M1 , где	OM1 = S +	S	( S –	приращение расстояния)
(рис. 1.1). Приращение пути MM1 за промежуток				t обозначили S.
O		M	M1	a
	S(t)		S
	S (t +	t )

Рис. 1.1. Изменение положения точки во времени на оси движения

Тогда	S – средняя скорость v				точки на участке MM		1	, т. е. за
	t			ср			1
	t			= S .
промежуток	времени	t :	v	= S .	Эта	скорость меняется вместе
			ср	t
				t
с изменением	t , причем, чем меньше				t ,	тем лучше vср характеризует
скорость движения точки M в момент t.

	Исходя из этого, мгновенной скоростью vмг			точки в момент време-
ни t	называют предел, к которому стремится средняя скорость v					при
				ср
t →0 . Таким образом,
	v	= lim	S ,
	мг	t→0	t
		t→0	t
где	S = S(t + t) − S(t) – перемещение точки M			за время t .
	Задача о касательной. Прежде чем сформулировать задачу,
дадим определение касательной. Возьмем на непрерывной кривой					L две
точки M и M1 (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Предельный переход секущей в касательную

Прямую MM1 , проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка M1 , двигаясь вдоль кривой L , неограниченно приближается к

точке М. Тогда секущая, поворачиваясь вдоль точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.

Определение 1.1. Касательной к кривой L в точке M называется предельное положение секущей MM1 , когда точка пересечения M1 неог-

раниченно приближается по кривой к точке М.

Из этого определения следует, что M1MT стремится к нулю, когда к нулю стремится хорда MM1 .

Не всякая кривая в любой своей точке имеет касательную. Рассмотрим график непрерывной кривой y = f (x) , имеющий в точке

M (x; y) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k = tg α, где α – угол касательной с осью Ox .

Проведем через точки M и M1 ( M1 – точка графика с абсциссой x + x ) секущую (рис. 1.3).

Обозначим через β – угол между				секущей MM1 и осью Ox .
По рис. 1.3 можно определить: угловой коэффициент секущей равен:
kсек = tg β =		y =	f (x +	x) − f (x)		.
kсек = tg β =		y =				.
		x		x
В силу непрерывности функции при				x →0	приращение y стре-
мится к нулю; поэтому точка M1		неограниченно приближается по кривой
к точке М, а секущая MM1 ,	поворачиваясь около точки М, переходить
в касательную. Угол β → α, т. е.		lim β = α. Следовательно, lim tg β = tg α.
		x→0				x→0
y

			M1	y = f (x)
y + y
				T

		M
y		M
y
α	β	x x +		x	x
O		x x +		x	x

Рис. 1.3. Связь углового коэффициента касательной с угловым коэффициентом секущей

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, существует ли касательная к кривой y = f (x) в заданной точке М, нужно убедиться в существова-

нии конечного или бесконечного предела отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, при стремлении приращения аргумента к нулю.

Угловой коэффициент касательной равен:

k = tg α = lim tg β = lim		y	= lim	f (x +	x) − f (x)	.
		x
x→0	x→0		x→0		x

Рассмотренные задачи привели к необходимости вычисления предела одного и того же типа: отношения приращения одной величины к приращению другой, когда последнее стремится к нулю. Подобные пределы изучают, абстрагируясь от конкретной природы вопроса.

Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a;b). Возьмем некоторое значение аргумента x (a;b) и придадим ему приращение x (положительное или отрицательное) так, чтобы x + x (a;b). Тогда зна-

чение функции

y = f (x)

в начальной точке изменится и станет равным

y + y = f (x +

x) , функция

получит

приращение

y = f (x +

x) − f (x)

(рис. 1.4).

f (x + x)

y = f (x)

f (x)

x +

Рис. 1.4. Приращения аргумента и функции

Определение 1.2. Производной функции y = f (x) в точке x называ-

ется конечный предел отношения приращения

функции y = f (x) к вы-

звавшему его приращению

независимой переменной при стремлении

последнего к нулю и обозначается y′.

Таким образом:

y′ = lim

= lim

f (x +

x) − f (x)

x→0

Это равенство определяет правило (закон) по которому каждому зна-

чению x (a;b)

ставится в соответствие конечное или бесконечное значе-

ние производной, т.е. производная есть функция переменной

x . Такую

функцию обозначают f ′(x).

Иногда в обозначении производной используется индекс, указываю-

щий, по какой переменной взята производная, например, yx′ .

Определение 1.3. Операция нахождения производной функции на-

зывается дифференцированием.

Определение 1.4. Функция y = f (x) называется дифференцируемой

в точке x0 , если ее приращение

в этой точке,

соответствующее прира-

щению x , представимо в виде

y = A x + o(

x),

где A –

некоторая

константа, не зависящее от

x , а o(

x) – бесконечно малая более высоко-

го порядка чем

x .

Значение производной функции y = f (x) в точке x = x0 обозначается

одним из символов: f ′(x0 ), y′x=x0 , y′(x0 ) .

Определение 1.5. Функция y = f (x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) , называется дифференцируемой в этом интервале. В этом случае производная сама является функцией аргумента x . Эту функцию обозначают f ′(x).

Приращение функции y = f (x + x) − f (x) характеризует изменение, которое получила функция в результате изменения аргумента на ве-

личину x . Отношение	y	это среднее изменение функции y = f (x) при
	x

изменении аргумента на величину x . Производная функции y = f (x) в точке x0 , т. е. f ′(x0 ) характеризует изменение значения функции в точке x0 при бесконечно малом изменении аргумента (при x →0 ).

В задаче про скорость прямолинейного движения было получено

V = lim	S	. Это равенство можно переписать в виде: V = St′, т. е. исполь-
t→0	t

зуя определение производной, скорость движущейся точки в каждый момент времени t есть производная от пути S по времени t . В этом заклю-

чается механический смысл производной.

Если эту иллюстрацию обобщить на случай произвольной функции, рассматривая изменение функции как пройденный путь, а изменение аргумента как время, то получим физический смысл производной: производная функции есть скорость изменения функции при изменении ее аргу-

мента.	f
В задаче о касательной получено: k = tg α = lim		. Это равенство
x→0	x
можно переписать: k = f ′(x ), т. е. угловой коэффициент касательной,
0	x0	равен значению
проведенной к графику функции в точке с абсциссой
производной функции f (x) в точке x0 . В этом состоит геометрический

смысл производной.

1.2. Вычисление производной

Продифференцировать функцию – это значит найти ее производную,

′	y	. Однако вычисление производной

т. е. вычислить предел: yx = lim	x
x→0

функции по определению представляет громоздкую задачу.

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]