Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

3.11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке:

3.12. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график:

Контрольные вопросы и задания

1.Запишите уравнение касательной и нормали к кривой.

2.Сформулируйте правила Лопиталя.

3.Дайте определение экстремума функции. Сформулируйте необходимое условие экстремума.

4. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции (по первой и по второй производной).

5.Сформулируйте условие возрастания функции.

6.Какая линия называется выпуклой, вогнутой?

7.Как найти точки перегиба графика функции f (x) ?

8.Для функции, график которой изображен на рис. 3.12, укажите:

а) точку максимума; б) точку минимума; в) интервалы возрастания; г) точку перегиба; д) интервал вогнутости.

Рис. 3.12. График функции к вопросу 8

9. Опишите схему исследования функции.

61

Глава 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1.Определение функции нескольких переменных

При изучении различных проблем естествознания приходится рассматривать переменные величины, зависящие более чем от одной переменной. Для исследования такого рода зависимостей используются функции нескольких переменных.

Упорядоченную совокупность n действительных чисел x1, x2 ,..., xn называют точкой, а сами эти числа – координатами этой точки. Запись M (x1, x2 ,..., xn ) означает, что точка M имеет координаты x1, x2 ,..., xn . Множество всевозможных указанных точек называется арифметическим

п-мерным (координатным) пространством и обозначается Rn .

Расстоянием между точками M (x1, x2 ,..., xn ) и M * (x1* , x2* ,..., xn* ) про-

странства Rn называется число

расстоянием между точками называется п-мерным евклидовым про-

странством.

Например:

1)при n =1 – одномерное евклидово пространство R1, представляет собой числовую прямую. Геометрически множество всех вещественных чисел изображается координатной прямой Ox ;

2)при n = 2 – двухмерное евклидово пространство R2 , геометрически представляет собой координатную плоскость Oxy ;

3)при n =3 – трехмерное евклидово пространство R3 , геометрически представляет собой координатное трехмерное пространство Oxyz .

Пусть D ={M } некоторое множество точек п-мерного евклидова пространства Rn .

Определение 4.1. Если каждой точке M D Rn по некоторому закону f поставлено в соответствие единственное действительное число и,

то говорят, что на множестве D задана числовая функция u = f (M ) или u = f (x1, x2 ,..., xn ).

62

Переменные x1, x2 ,..., xn называются независимыми переменными

функции (или аргументами). Переменная u называется зависимой пере-

менной.

Определение 4.2. Если функция задана формулой u = f (x1, x2 ,..., xn ),

разрешенной относительно зависимой переменной, то ее называют явно заданной функцией.

Определение 4.3. Если функция задана формулой F (x1, x2 ,..., xn ,u)= 0 , не разрешенной относительно зависимой переменной,

то ее называют неявно заданной функцией. Например, уравнение вида

F (x, y, z )= 0 задает неявную функцию двух переменных (например, z

от x и y ).

Определение 4.4. Множество D называется областью определения функции f (M ), обозначается D( f ). Число u , соответствующее данной

точке M называется частным значением функции в точке M . Совокупность всех частных значений функции u = f (M ) называется множеством

значений этой функции.

Функцию z = f (x, y), где (x, y) D можно рассматривать как функцию точки M (x, y) координатной плоскости Oxy . В частности, областью

определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.

Определение 4.5. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая только из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой и обозначается D . Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Чтобы найти область определения функции, заданной в виде формулы, нужно записать в виде одного или системы нескольких неравенств условия, при которых заданная формула имеет смысл. Соответствующие неравенствам уравнения определяют границу области определения. Участки границы могут принадлежать или не принадлежать области определения в зависимости от того нестрогое или строгое неравенство соответствует уравнению этого участка границы.

Пример 4.1. Найти область определения функции z = ln (x2 + y2 −9).

Решение.

Эта функция определена, когда аргумент логарифмической функции строго положительный, т. е. x2 + y2 −9 > 0 или x2 + y2 >9 . На плоскости Oxy это внешняя область круга с центром в начале координат, радиус которого равен 3, не включая границу – окружность x2 + y2 =32 .

63

Пример 4.2. Найти область определения функции z = 4 − x2 − y2 .

Решение.

Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е. 4 − x2 − y2 ≥ 0 или x2 + y2 ≤ 4 . Последнему соотношению

удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри круга радиусом R = 2 с центром в начале координат и на его границе. Следовательно, область определения данной функции – указанный круг.

Для функции трех переменных областью определения – некоторая совокупность троек чисел (x; y; z). Каждая тройка чисел задает некоторую

точку M (x; y; z) в пространстве Oxyz и областью определения функции

трех переменных является некоторая совокупность точек пространства. Замечание. При записи координат точки можно использовать раз-

личные формы записи: координаты отделяются знаком «,» либо «;». Пример 4.3. Найти область определения функции

и = 1 −(x2 + y2 + z2 ).

Решение.

Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е. 1 −(x2 + y2 + z2 )≥ 0 или (x2 + y2 + z2 )≤1. Область определе-

ния – это шар радиуса 1 с центром в начале координат, включая шаровую поверхность (замкнутая область).

Области определения функции четырех и более переменных не допускают простого геометрического истолкования и не имеют простого геометрического смысла.

Геометрическое изображение функции двух переменных

Если графиком функции одной переменной y = f (x) в прямоугольной системе координат на плоскости Oxy является линия, то графиком функции двух переменных z = f (x; y) в прямоугольной системе координат в пространстве Oxyz является поверхность.

Определение 4.6. Графиком функции z = f (x, y) называется множество точек пространства R3 с координатами (х, у, f (х, у)).

4.2. Линии и поверхности уровня

Для исследования характера поверхности z = f (x, y) используют линии уровня.

Определение 4.7. Линией уровня функции z = f (x, y) называется множество точек координатной плоскости Oxy , в каждой из которых

64

функция z = f (x, y) имеет одно и то же значение. Линии уровня функции z = f (x, y) определяются уравнением f (x, y) = C , C E ( f ).

Значение z =C , для которого проводится плоскость, характеризует уровень подъема точек над плоскостью Oxy . След на плоскости z =C об-

разуют точки поверхности, для которых этот уровень подъема одинаков, а линию f (x, y) = C образуют те точки области определения функции

z = f (x, y) , для которых функция принимает одно и то же значение, равное

C . Совокупность линий уровня, соответствующих различным значениям постоянной C , называется сетью линий уровня функции z = f (x, y) .

На рис. 4.1 изображены линии уровня при С = 1, С = 4, С = 9.

Рис. 4.1. Семейство линий уровня

Примерами линий уровня могут служить линии равных температур (изотермы), линии равных давлений (изобары), линии равных высот суши над уровнем моря или линии равных глубин океана.

Аналогично тому, как были определены линии уровня для функции двух переменных, определим поверхности уровня для функции трех переменных.

65

В дальнейшем будут рассматриваться функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются на функциях двух переменных и могут быть обобщены на случай большего числа переменных.

Важно, что для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

4.3. Предел и непрерывность функции двух переменных

Для раскрытия понятий предела и непрерывности в точке для функции двух переменных сформулируем определение такой функции.

Определение 4.9. Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x, y). Соответствие f , которое каждой паре чисел (x, y) D сопос-

тавляет одно и только одно число z R , называется функцией двух переменных, определенной на множестве M (x, y) со значениями в R , и запи-

сывается в виде z = f (x, y) или f :D → R . При этом x и y называются

независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y соответствен-

но: S = x y . Областью определения этой функции является множество пар: {(x, y)/ x > 0, y > 0}.

66

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: табличным, графическим, аналитическим (формулой, при помощи одной или нескольких функций).

Предел функции двух переменных. Непрерывность

Для функции двух переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично функции одной переменной.

Определение 4.10. Множество всех точек плоскости Oxy , координа-

ется δ – окрестностью точки M0 (x0 ; y0 ). Другими словами, δ – окрестность точки M0 (x0 ; y0 ) – это все внутренние точки круга с центром в точке M0 (x0 ; y0 ) и радиусом δ.

Определение 4.11. Пусть функция z = f (x; y) определена в некоторой окрестности точкиM0 (x0 ; y0 ), кроме, быть может, самой точки. Чис-

разных путях подхода к предельной точке предел функции не одинаков.

Для функции нескольких переменных, аналогично тому, как это было сделано для функции одной переменной, могут быть введены понятия бесконечно большой и бесконечно малых функций, сформулированы их свойства и свойства пределов.

Функция u = f (M ) называется бесконечно малой в точке M0 , если

lim f (М) = 0 ; функция u = f (M ) – бесконечно большой в точке M0 ,

M →M0

если lim f (М) = ∞.

M →M0

Свойства предела функции двух переменных

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции f (x; y) и g (x; y) определены

на множестве D и имеют в точке M0 (x0 ; y0 ) этого множества пределы A и B соответственно, то и функции f (x; y)± g (x; y), f (x; y) g (x; y),

68

Непрерывность функции нескольких переменных определяется аналогично тому, как это делается для функции одной переменной.

Определение 4.12. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0 , если выполнены следующие три условия:

1) функция z = f (x, y) определена в точке M0 и в некоторой ее окрестности;

2) существует конечный предел функции lim f (M );

M →M0

3) предел функции равен значению функции в этой точке

lim f (M )= f (M0 ).

M →M0

Если в точке M0 хотя бы одно из этих условий (1–3) нарушено, то точка M0 называется точкой разрыва функции z = f (x, y) .

Точки разрыва могут принадлежать области определения данной функции, а могут и не принадлежать ей, могут быть отдельными, изолированными точками, а могут образовывать целые множества. Например:

1) функция f (x, y)= ex2 +y2 непрерывна в любой точке плоскости R2 ; 2) функция f (x, y)= y −13x терпит разрыв во всех точках прямой

y =3x плоскости Oxy ;

1

3) функция f (x, y)= e x2 +y2 имеет разрыв в точке (0, 0) .

Пример 4.8. Исследовать функцию на непрерывность:

является точкой разрыва функции.

69

Геометрически это означает, что в точке O(0;0) поверхность, яв-

ляющаяся графиком функцииz = x2 +1 y2 , имеет «бесконечный шпиль».

Задачи для самостоятельного решения

4.1. Найти область определения функций:

4.2. Определить вид линий уровня функции и построить три из них:

4.7. Найти и исследовать точки разрыва функции:

70