Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

∑n (yi −i=1

n∑(yi −

i=1n

∑(yi −

i=1

f (x , a,b,c,...))∂f (xi , a,b,c,...)		= 0,
i	∂a
	∂a
f (x	, a,b,c,...))∂f (xi , a,b,c,...)	= 0,
i	∂b
	∂b
f (x	, a,b,c,...))∂f (xi , a,b,c,...)	= 0,
i	∂c
	∂c

............................

Заметим, что в каждом конкретном случае необходимо исследовать вопрос о существовании решения этой системы и наличии минимума функции S (a,b,c,...).

Задача нахождения эмпирических формул разбивается на два этапа: установление вида зависимости y = f (x) и определение неизвестных па-

раметров этой функции.

Для линейной функции y = ax + b задача сводится к отысканию зна-

чений параметров a и b , при которых функция S = ∑(axi + b − yi )2 при-

i=1

нимает наименьшее значение. Для нахождения прямой, наилучшим образом согласованной с опытными данными, нужно решить систему уравнений:

			n	(axi + b − yi )xi = 0,
S′	= 0,		∑2	(axi + b − yi )xi = 0,
S′	= 0,	или	i=1
a		или	n	(axi + b − yi )= 0
Sb′	= 0,		∑2	(axi + b − yi )= 0
			i=1

После алгебраических преобразований система (называется систе-

мой нормальных уравнений) принимает вид:

	n	n	n
a∑xi2		+ b∑xi = ∑xi yi ,
	i=1	i=1	i=1
	n		n
a∑xi + bn = ∑yi .
	i=1		i=1

Решением системы нормальных уравнений являются искомые параметры a и b .

Пример 7.7. Экспериментальным путем получено значение искомой функции y = f (x) при некоторых значениях аргумента, которые записаны

101

в таблице. Методом наименьших			квадратов найти			функцию	в виде
y = ax + b , аппроксимирующую экспериментальные данные.
Экспериментально		полученные		n значений		искомой	функции
y = f (x) при n значениях аргумента приведены в таблице:

xi	–2	–1	0		1	2	3

yi	5,6	5	4,3		4	3,6	3

Решение.

Построим на координатной плоскости Oxy экспериментальные точ-

ки: M1 (−2; 5,6); M2 (−1; 5); M3 (0; 4,3); M4 (1; 4); M5 (2; 3,6); M6 (3; 3) (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Графическое изображение линейной зависимости, аппроксимирующей эмпирические данные в примере 7.7

Из рис. 7.5 видно, что эти точки расположены приблизительно вдоль некоторой прямой, уравнение которой можно записать в виде y = a x + b ,

где a и b следует подобрать так, чтобы функция y = a x + b наилучшим

образом описывала рассматриваемую линейную зависимость. Сделаем это методом наименьших квадратов, используя нормальную систему уравнений:

	6		6	6
a∑xi		2	+b∑xi =∑xi yi,
	i=1		i=1	i=1
	6			6
a∑xi + 6b = ∑yi.
	i=1			i=1
			102

В этой системе неизвестными являются a и b . Для нахождения коэффициентов системы необходимо вычислить соответствующие суммы.

Выполним эти вычисления с помощью таблицы:

I	xi	yi	xi yi	x 2
				i
1	–2	5,6	–11,2	4

2	–1	5	–5	1
3	0	4,3	0	0
4	1	4	4	1
5	2	3,6	7,2	4
6	3	3	9	9
6
∑	3	25,5	4	19
i=1

В последней строке таблицы получены искомые коэффициенты нормальной системы уравнений, которая имеет вид:

19a +3b = 4,3a + 6b = 25,5.

Решая эту систему, находим a = −0,5 и b = 4,5 .

Искомая линейная зависимость имеет вид: y = −0,5x + 4,5.

Методом наименьших квадратов получена линейная функция аппроксимирующая экспериментальные данные (см. рис. 7.5).

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Исследовать на максимум и минимум функции:

а) z =3 x + 6 y − x2 − x y − y2 ;

б) z = x2 − x y + y2 + 9 x − 6 y + 20 ; в) z = x y2 − x2 y2 − x y3 ;

г) z = x3 + y3 −15 x y ;

д) z = y x − y2 − x + 6 y .

7.2.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f (x, y)

вобласти D ограниченной заданной линией:

а) z = x2 + 3 y2 + x − y, D: x =1, y =1, x + y =1;

103

б) z = x2 − x y + y2 − 4 x,	D: x = 0, y = 0, 2 x + 3 y −12 = 0 ;
в) z = x2 − 2 y2 + 4 x y − 6 x −1,		D:	x = 0, y = 0, x + y =3.
7.3. Найти экстремум функции при условии, что х и у связаны урав-
нением:
a) z = x y, если 2 x + 3 y −5		= 0 ;

б) z = 6 − 4x −3y , если x2 + y2 =1;

в) z = x2 + y2 , если 3 x + 4 y −12 = 0 .

7.4. Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) в виде y = a x + b :

x	1	2	3	4	5
y	3,9	4,9	3,4	1,4	1,9

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение экстремума функции нескольких переменных.

2.Каковы необходимые условия экстремума функции двух переменных? Как называются точки, в которых эти условия выполняются?

3.При выполнении каких условий критическая точка M0 будет точ-

кой экстремума?

4.Перечислите условия, при которых точка M0 будет точкой минимума функции z = f (x, y).

5.Перечислите условия, при которых точка M0 будет точкой максимума функции z = f (x, y).

6.Сформулируйте алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z = f (x, y) в замкнутой ограниченной области.

7.Что называется условным экстремумом функции двух переменных

икаков метод его отыскания?

8.В чем суть метода наименьших квадратов?

104

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Производная функции одной переменной

1.1. а) 6x − 4;

б) −3sin3x ;

в) −

;

г)

4x +1

1.2. а) 1 + 6x − x2 ;

б) 10x4 − 2x5 + 21x6 ;

в) 1 −

;

г)

;

д)

; 2;

е) −3tg 3x ;

ж) 2.

(

)

1 −sin t

1.3.Да.

1.4.Выполняется, 4.

1.5. а) c =1,5 ;

б) c =

ln3

1.6. c = 2

1.7. а)

−

2xsin (x2 + y2 )+ yexy

;

б)

(2x2 +1)y .

(

)

(

)

2 ysin x

+ y

+ xe

x 1 − 2 y

1.8. а)

4t + 5

;

б)

sin t

− cost

3t2 + 3

1.9. а) 2xln x−1 ln x ;

б) (tg x)

cos x

−sin x ln tg x .

sin x

1.10. а) y′′′= 60x2 − 42 ;

б) 1920(2 p −1); 9600;

в) −

;

г) ex (x + 3).

cos2 x

1.11. а)

;

б) −

16ey

(6 − 2 y)3

(ey + 7)3

1.12. −3t−6 .

105

2.Дифференциал функции одной переменной

2.1.а) −2sin x ln 2 2cos x dx ;

б) 3ln2 sin x ctg xdx ;

в)		5x4dx				.
		(	x5	)	2

	33			−1

2.2. dy =8xdx, dy = 0,16 в точке x0 =1 и при x = 0,02 .

2.3.	а) 1,08;	б) 0,811;	в) 1,9875 .
2.4.	а) 192(4x −5)2 dx2 ;		б) 18dx3 .

3. Применение дифференциального исчисления функции одной переменной

3.1. а) уравнения: касательной 2x + y +1 = 0 ; нормали x − 2 y − 7 = 0 ;

б) уравнения: касательной x − y +1 = 0 ,

x + y −3 = 0 ; нормали x + y +1 = 0 ,

x − y −3 = 0 .

3.2. а) 7;

б) –1;

в) −

1 ;

г) 8;

д) 1 ;

1 ;

е) 5;

ж)

з) –2;

и) e3 .

3.3. 192 .

125

(0; 3 2 ).

3.4. а) (−∞; 1) ;

б)

3.5. а)

(−∞; + ∞) ;

б)

[0; 2].

3.6. а)

уmin =10 при x =5 ,

уmax = −10 при x = −5 ;

б)

уmin = −e4 при x = 4;

в)

уmin = 0 при x = 2,

уmax =3 при x =1.

3.7. а) (−∞; −1) ;

б) (−2; + ∞) .

3.8. а) (4; + ∞) ;

б)

−

;

в) везде вогнутая.

3.9. а) (0; 3), (1; 2);

б)

;−

, (1;0).

106

3.10. f возрастает на (−∞; − 2) (1; + ∞) , убывает на (–2; 1),

fmax = f (−2) = 25, fmin = f (1) = −2 , график выпуклый на (−∞; − 0,5) , вогну-

тый на (–0,5; +∞), точка перегиба Р(–0,5; 11,5). 3.11. а) fнаиб = f (−5) = 400, fнаим = f (4) = −86 ;

б) fнаиб = f (1) =	1	,	fнаим = f (−1)	= −	1	, .
б) fнаиб = f (1) =	2	,	fнаим = f (−1)	= −	2	, .
3.5.12.	2				2
3.5.12.
а)						б)

4.Функция нескольких переменных

4.1.а) x2 + y2 ≤1 – часть плоскости (замкнутой) внутри единичного

круга с центром в начале координат;

б) x > y – полуплоскость, лежащая ниже биссектрисы y = x ; в) полоса между параллельными прямыми x + y =1 и x + y = −1; г) часть плоскости (открытой) внутри параболы y2 = 4(x +1) ;

д) кольцо (с одной границей) между двумя окружностями x2 + y2 =1

и x2 + y2 = 4 .

4.2. а) семейство эллипсов x2 +9y2 = C ;

б) семейство параллельных прямых 3x + 2 y − 4 = C ; г) семейство прямых C y = 2x ;

д) семейство равнобочных гипербол x y = C (C > 0) .

4.6. а)	2	;	б) не существует;	в) 1.
	3
4.7. а) точка разрыва (0;0);

б) точки разрыва – все точки прямых y = x , y = −x .

107

5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

5.1. Частные производные первого порядка:

а)

∂z

= 3x2

−3a y ;

∂z

= 3y2 −3ax ;

∂x

∂y

б)

∂z

= 4x y + 3y

−3x

;

∂z

= 2x

+ 6 x y ;

∂x

∂y

в)

∂z

= −ye

−x y

;

∂z

+ 6 x y ;

∂x

∂y

г)

∂z

= 2 xsin y ;

∂z

= −x2 cos y ;

∂x

∂y

∂z

= −

sin (x −5y)

∂z

= −

5sin (x −5y)

д)

∂x

;

cos(x −5y)

∂y

cos(x −5y)

5.3. а) dz =

3(x2 d x + y2 d y)

;

x3 + y3

б) d z =

y d x − xd y

;

sin

2 y

в) d z = x

d x

+ ln x d x .

6. Приложения производных и дифференциалов функции двух переменных

6.1. а) 12х +11у −18 ;

б) 1,62 − 2,31х −3,46 у.

6.2. а) 1,08;

б) 0,77.

6.3. а) x − 2 y + z = 0,

x −1

y −1

z −1

;

−1

б) 2 x + 2 y − z −1 = 0,

x −1

y −1

z −3

;

−1

в) x − y − 2 z +1 = 0,

x − 4

y − 4

z − 0,5

;

0,5

−0,5

−1

г) x + 2 y + 3 z −14 = 0,

x −1

y − 2

z −3

;

108

д) x −5 z + 4 = 0,

x −1

y − 2

z − 2

−5

6.4. а)

∂z

grad z

2 ; б)

∂u

= 0,5,

gradu

3 .

∂a

7. Поиск наибольших и наименьших значений функции нескольких переменных

7.1. а) zmax =9

при

x = 0,

y =3,

zmin = не сущ.;

б)

zmin = −1

при

x = −4,

y =1,

zmax = не сущ.;

в) zmax =

при

x =

1 ,

y =

1 ,

zmin = не сущ.;

г)

zmin = −125

при

x = y =5, zmax = не сущ.;

д) zmax =12

при

x = y = 4 , zmin = не сущ.

7.2. а) zнаим.

при

x = y

1 ,

zнаиб. = 4

при

x = y =1;

б) zнаим. = −5

при

x =3

, y =117

zнаиб. =16

при

x = 0,

y = 4;

в) zнаим. = −19

при

x = 0,

y =3,

zнаиб. = −1

при

x = y = 0 .

7.3. а) zmax =1

при

x =11 , y = 5

;

б)

−

;−

;

zmax = z

=11,

zmin = z

=1;

в)

zmin =5,76

при

x =1,44, y =1,92.

7.4. y = −0,75 x + 5,35.

109

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Представленное учебное пособие по дифференциальному исчислению подготовлено для того, чтобы помочь студентам в их самостоятельной работе при изучении рассмотренных тем и создать базу для дальнейшего изучения различных разделов математики.

Авторы постарались достаточно полно представить рассмотреные темы в теоретическом плане, так как знание и понимание теории, умение ориентироваться в ней позволяет находить решения как типовых задач, так и задач прикладного контекста. Заметим, что последовательность изложения материала такова, что ранее изученный материал служит основой для понимания последующих теоретических положений, которые подкрепляются практическими задачами. На примерах рассмотренных задач продемонстрирована необходимость интеграции знаний для получения ответа на поставленные вопросы.

Авторы надеются, что пособие «Дифференциальное исчисление» поможет студентам освоить учебный материал, выполнить практические задания, провести самопроверку знаний и успешно подготовиться к итоговой аттестации, а приобретенные знания будут полезны при изучении дисциплин естественно-научного и профессионального блоков.

Заметим, что математическое образование является одной из важнейших составляющих фундаментальной подготовки студентов. Изучение математики в целом и ее отдельных разделов в частности способствует развитию мышления обучающихся и формированию их общепрофессиональных и профессиональных компетенций, формированию общей культуры человека.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]