Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

Определение 3.7. Точка графика непрерывной функции y = f (x),

отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью теоремы:

Теорема 3.8. Если функция y = f (x) во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную: f ′′(x)< 0 , то график функции в этом интервале выпуклый (выпуклый вверх). Если же f ′′(x)> 0 для любого x (a;b) – график вогнутый (выпуклый вниз).

Определение 3.8. Точки функции, в которых вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует, называются критически-

ми точками II рода.

Точки перегиба графика функции находят с помощью теоремы 3.9.

Теорема 3.9 (достаточное условие существование точек пере-

гиба). Если вторая производная f ′′(x) при переходе через критическую точку II рода x0 , меняет знак на противоположный, то точка графика с абсциссой x0 есть точка перегиба.

Пример 3.11. Функция y = x3 при x = 0 имеет точку перегиба (рис. 3.8). Действительно, вторая производная равна нулю: y′=3x2 , тогда

Рис. 3.8. График функции y = x3

51

Обратное утверждение неверно, т. е. если в точке x = x0 вторая про-

изводная равна нулю или не существует, то это не значит, что в данной точке график функции будет иметь перегиб. В этом можно убедиться на следующем примере.

Пример 3.12. Для функции y = x4 при x = 0 вторая производная обращается в нуль: y′ = 4x3 , тогда y′′ =12x2 x=0 = 0 .

Однако здесь нет точки перегиба (рис. 3.9).

Рис. 3.9. График функции y = x4

Асимптоты функции

Если расстояние от точки M линии y = f (x) до прямой l неограни-

ченно уменьшается при неограниченном удалении точки M от начала координат, то такая прямая называется асимптотой линии.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты:

1) прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции

y = f (x), если lim f (x)= ∞ или хотя бы один из односторонних пределов

x→a

необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы, определяющие k и b .

52

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то функция y = f (x) наклонной асимптоты не имеет.

конечен, то y =b – уравнение горизонтильной асимптоты.

Схема исследования функции

Пусть дана функция одной переменной y = f (x).

Требуется исследовать ее методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Для решения этой задачи рекомендуется следующая схема:

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность и периодичность. Указать симметрию графика функции относительно оси ординат, либо начала координат, если она имеет место.

3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции (если они имеются), указать их характер, исследовать поведение функции вблизи точек разрыва.

4.Найти асимптоты графика функции (если они имеются).

5.Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если они имеются), указать интервалы знакопостоянства функции.

6.Найти точки экстремума, экстремумы функции (если они имеются), указать интервалы монотонности.

7.Найти точки перегиба графика функции (если они имеются), указать интервалы выпуклости и вогнутости.

8.Найти несколько дополнительных точек (если это необходимо)

ипостроить график функции, пользуясь результатами проведенного исследования.

и построить ее график.

Решение.

Действуя согласно схеме полного исследования функции, имеем:

1.Область определения исходной функции есть вся числовая ось за исключением нуля: D(y)=(−∞;0) (0;∞). В нуле функция не определена.

2.Функция не является ни четной, ни нечетной, так как не выполняются эти свойства:

y(−x)= (−x)3 +1 = −x3 +1 ≠ ±y(x). x2

53

Функция также не является периодической по своему виду. Следовательно, график функции не симметричен ни относительно оси Oy , ни от-

носительно начала координат.

3. Функция непрерывна в своей области определения. Функция не определена в точке 0, значит в ней у нее разрыв. Исследуем характер разрыва:

Как видно, оба односторонних предела равны бесконечности, следовательно, в точке x = 0 функция терпит разрыв второго рода.

4. Найдем асимптоты графика функции. Наклонную асимптоту ищем в виде: y = kx + b , где

внуле функция терпит бесконечный разрыв (разрыв второго рода).

5.Точки пересечения с осями координат:

6. Найдем интервалы монотонности, точки экстремума функции. Вычислим первую производную функции:

Определим, в каких точках производная равна нулю, либо не существует:

(y′ = 0) (x3 − 2 = 0) (x = 3 2 ≈1, 26).

Производная не существует в нуле, но эта точка не принадлежит области определения.

Для определения интервалов монотонности у функции и точек экстремумов составим таблицу:

Результат составленной таблицы в следующем: исходная функция возрастает на интервалах (−∞;0) (3 2;+∞) и убывает на интервале

(0; 3 2 ). В точке x = 3 2 у функции экстремальное значение – минимум.

7. Найдем точки перегиба графика функции и укажем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вычислим вторую производную:

y′′ = 0 – таких точек у функции нет. Вторая производная не существует в нуле, но x = 0 D(y).

Составим таблицу по определению знака второй производной функции:

В своей области определения функция всюду выпукла вниз и не имеет точек перегиба.

8. Пользуясь результатами проведенного исследования, построим график функции (рис. 3.10).

Рис. 3.10. График функции y = x3 +1 x2

55

При построении сначала строим асимптоты, затем наносим точки пересечения с осями, экстремумы, точки перегиба (в нашем случае их нет) и соединяем отмеченные точки согласно проведенному исследованию.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1.Находим область определения функции и проверяем, принадлежит ли ей заданный отрезок [a;b];

2.Находим критические точки, принадлежащие заданному отрезку;

3.Вычисляем значение функции в этих критических точках;

4.Вычисляем значения f (а) и f (b) функции на концах отрезка;

5.Сравниваем найденные значения: большее среди них будет наибольшим fнаиб значением функции на отрезке [a;b], а меньшее – наи-

меньшим fнаим значением функции на отрезке [a;b].

Замечание. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции основано на свойствах функции, непрерывной на отрезке: функция имеет на отрезке наименьшее и наибольшее значения, которые достигаются либо в точках экстремума, принадлежащих данному отрезку, либо на концах интервала.

Пример 3.14. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f (x)= 2x3 −9x2 +12x −3 на отрезке [0;3].

Решение.

Для любого x R существует производная заданной функции: f ′(x)=(2x3 −9x2 +12x −3)′ = 6x2 −18x +12 .

Найдем точки, в которых f ′(x)= 0 , для этого решим уравнение:

6x2 −18x +12 = 0 .

Уравнение имеет два корня: x =1 и x = 2 . Оба эти числа являются внутренними точками отрезка [0;3].

Вычисляем значение функции в этих критических точках и на концах отрезка. Получаем: f (1)= 2 , f (2)=1, f (0)= −3, f (3)= 6 .

Из сравнения найденных значений ясно, что наименьшее значение достигается в точке 0 и равно –3, наибольшее значение достигается в точке 3 и равно 6.

Запишем коротко:

3.4. Механические приложения производной

Кривизна линии

Для того чтобы оценить степень искривленности той или иной кривой, используют понятие кривизны.

Рассмотрим плоскую линию, определяемую уравнением y = f (x). Проведем касательную к этой линии в точке M0 (x0 ; y0 ). Обозначим через α угол, образованный касательной с осью Ox (рис. 3.11).

Разные дуги одной и той же линии могут иметь разную среднюю кривизну. Чтобы охарактеризовать степень изогнутости линии в данной точке, вводят понятие кривизны линии в этой точке.

Определение 3.10. Кривизной данной кривой в точке M0 называется предел средней кривизны дуги M0 M при условии, что точка M → M0

57

Пример 3.15. Кривизна окружности постоянна и равна величине,

Замечание:

1 ) формула для вычисления кривизны содержит значения первой и второй производных функции, вычисленные при x = x0 ;

2)при вычислении кривизны кривой следует брать только положительное значение корня в знаменателе (кривизна по определению не может быть отрицательной);

3)кривизна прямой к произвольной точке равна нулю.

Примеры на приложения

Пример 3.17. Найти углы, под которыми пересекаются синусоида y =sin x и косинусоида y = cos x .

Решение.

Абсциссы точек пересечения кривых определяются уравнением: sin x = cos x .

Решая уравнение, получим

x = π4 + nπ (n = 0, ±1, ± 2,…).

Дифференцированием находим угловые коэффициенты касательных к синусоиде и косинусоиде: k1 = cos x; k2 = −sin x .

58

Искомый угол между кривыми определяется как угол между двумя

тельных к кривым в точке их пересечения. В нашем случае получим:

угол ϕ1 ≈109,5 .

Пример 3.18. Из круглого бревна, диаметр которого известен, требуется вырезать стойку прямоугольного сечения так, чтобы она могла воспринимать наибольшую нагрузку. Какими должны быть размеры сечения?

Решение.

1.Стойка является элементом конструкции, работающим на сжатие, она воспринимает наибольшую нагрузку тогда, когда площадь ее поперечного сечения наибольшая.

2.Обозначим диаметр бревна за d . Задача сводится к определению прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в круг диаметра d .

3.Найдем площадь прямоугольника. Обозначим одну сторону пря-

моугольника через x, найдем другую сторону, т. е. y = d 2 − x2 . Тогда

площадь прямоугольника равна S(x) = x d 2 − x2 .

4. Найдем критические точки. Требуется найти производную функции S(x) , приравнять производную к нулю, решить полученное уравнение

2

6. Стойка воспринимает наибольшую нагрузку, когда ее поперечное сечение – квадрат.

59

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Составить уравнение касательной и нормали, построить кривые, касательные и нормали.

а) к параболе y = x2 − 4x в точке с абсциссой x0 =1;

б) к окружности x2 + y2 − 2x + 4 y −3 = 0 в точках пересечения ее

сосью Ox.

3.2.Используя правила Лопиталя, найти пределы:

3.3.Найти кривизну линии y = −x3 в точке с абсциссой x = 12 .

3.4.Найти интервалы убывания функций:

3.10. Найти интервалы монотонности, экстремумы, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции f (x) = 2x3 + 3х2 −12х + 5 .

60